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浙江省浙工大附实2025-2026学年第一学期10月阶段性作业检测八年级数学学科试题卷
1．（2025八上·浙江月考）下列四种网络运营商的标志中，为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故答案为：D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
2．（2025八上·浙江月考）椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便.下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：C选项椅子下面又开的两只脚与地面形成三角形，具有稳定性，
故答案为：C.
【分析】根据三角形稳定性的概念，判断各选项椅子设计是否利用了此特性.
3．（2025八上·浙江月考）下列长度的三条线段能组成三角形的是 (　　)
A．3， 4， 8 B．5， 6， 11
C．7， 9， 17 D．6， 8， 10
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵3+4=7<8，∴不能构成三角形，不符合题意，
B、∵5+6=11，∴不能构成三角形，不符合题意；
C、∵7+9=16<17，∴不能构成三角形，不符合题意；
D、∵6+8=14>10，∴能构成三角形，符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据三角形三边关系即可求解.
4．（2025八上·浙江月考） 如图， ∠ACD是△ABC的一个外角， 则∠ACD的度数为(　　)
A．133° B．135° C．130° D．143°
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由题意可得：∠ACD=∠A+∠B=71°+62°=133°，
故答案为：A .
【分析】利用三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和求出∠ACD的度数.
5．（2025八上·浙江月考）下列命题中的真命题是 (　　)
A．相等的角是对顶角 B．垂线段最短
C．若a， b满足|a|=|b|， 则a=b D．同位角相等
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、垂线段最短，是真命题，符合题意；
C、若a，b满足|a|=|b|，则a=±b，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据对顶角的概念、垂线段最短、绝对值的性质、平行线的性质判断.
6．（2025八上·浙江月考）如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗 下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连接交于点，由选项D中图可知：作点关于直线的对称点，
∴，
，
当、、三点共线时，的距离最短，
故选：D．
【分析】由选项D中图可知：作点关于直线的对称点，连接交于点，由对称性可知，，，据此判断即可．
7．（2025八上·浙江月考）热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”.如图，已知∠D=∠BCA=90°，∠E=45°，若 ， 连接AF ， 则∠CAF的度数为(　　)
A．45° B．60° C．67.5° D．135°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠D=∠BCA=90°，∠E=45°，
∴∠DFE=45°，
∵AC//EF，
∴∠ACF=∠DFE=45°，
∵CA=CF，
∴
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠DFE=45°，由平行线的性质，求出∠ACF=45°，由等边对等角，求出∠CAF即可.
8．（2025八上·浙江月考）若等腰三角形的一边长为4cm，周长为18cm，则此等腰三角形的底边长是(　　)
A．4cm B．10cm C．4cm或10cm D．4cm或7cm
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为4cm时，
∵等腰三角形的周长为18cm，
∴此等腰三角形的底边长=18-4-4=10(cm)
∵4+4=8 <10.
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的底边长为4cm时，
∵等腰三角形的周长为18cm，
∴此等腰三角形的腰长(cm)
∵4+7=11>7
∴能组成三角形；
综上所述：此等腰三角形的底边长是4cm，
故答案为：A.
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为4cm时；当等腰三角形的底边长为4cm时，然后分别进行计算即可解答.
9．（2025八上·浙江月考） 如图， 已知AE=AC， ∠C=∠E， 下列条件中， 无法判定△ABC≌△ADE的是(　　)
A．∠B=∠D B．BC=DE C．∠1=∠2 D．AB=AD
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加∠B=∠D，由"AAS"可证△ABC≌△ADE，故选项A不合题意；
B、添加BC=DE，由"SAS"可证△ABC≌△ADE，故选项B不合题意；
C、添加∠1=∠2，由"ASA"可证△ABC≌△ADE，故选项C不合题意；
D、添加AB=AD，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解.
10．（2025八上·浙江月考） 如图， 把△ABC沿DE折叠， 使点A落在点A'处， 若∠A=40°， 则∠1+∠2等于(　　)
A．40° B．60° C．80° D．90°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，
∴∠ADE+∠AED=180°-∠A=140°，
∵折叠，
∴∠ADA'=2∠ADE，∠AEA'=2∠AED，
∴∠ADA'+∠AEA'=2×140°=280°，
∴∠1+∠2=180°-∠ADA'+180°-∠AEA'=360°-280°=80°；
故答案为：C .
【分析】根据三角形的内角和定理，折看的性质，推出∠ADA'+∠AEA'的度数，再根据平角的定义，进行求解即可.
11．（2025八上·浙江月考）如果∠A＞∠B，∠B＞∠C，那么∠A＞∠C.这个命题的条件是　 　，结论是　 　.
【答案】∠A＞∠B，∠B＞∠C；∠A＞∠C
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解： 命题的格式为“如果P，那么Q”，其中P是条件，Q是结论。
题目中的命题为“如果∠A＞∠B，∠B＞∠C，那么∠A＞∠C”。
因此，条件是“∠A＞∠B，∠B＞∠C”，结论是“∠A＞∠C”。
故答案为：∠A＞∠B，∠B＞∠C；∠A＞∠C.
【分析】 根据命题的结构，“如果”引导的部分是条件，“那么”引导的部分是结论。
12．（2025八上·浙江月考）等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是　 　.
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两个底角相等
∴等腰三角形的另一个底角也等于40°，
∵三角形的内角和等于180°，
∴它的项角的度数=180°-40°-40°=100°，
故答案为：100°.
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等可得出等腰三角形有两个40°的底角，再根据三角形的内角和等于180°可求得项角的度数.
13．（2025八上·浙江月考） 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE=2，则DE的长是 　 　.
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
∵DE//AB
∴∠ABD=∠BDE
∴∠DBE=∠BDE
∴DE=BE
∵BE=2，
∴DE=2
故答案为：2.
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD=∠BDE，等量代换得到∠DBE=∠BDE，得到DE=BE，于是得到结论.
14．（2025八上·浙江月考） 如图所示， 在△ABC中， 点D， E分别为BC， AD的中点， 且 则阴影部分的面积为　 　cm2.
【答案】1
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵D是BC的中点，
∴BD=CD
∴
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴
故答案为：1 .
【分析】根据三角形的中线即可求解.
15．（2025八上·浙江月考）如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为12，腰AB的垂直平分线EF 分别交 AB，AC于点E，F，若D为底边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为　 　.
【答案】8
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接AD交EF与点M'，连结AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴，解得AD=6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM.
∴BM+MD=MD+AM.
∴当点M位于点M'处时，MB+MD有最小值，最小值6.
∴△BDM的周长的最小值为DB+AD=2+6=8
故答案为：8 .
【分析】连接AD交EF与点M'，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM=MB，则BM+DM=AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长.
16．（2025八上·浙江月考） 如图， C是线段AB上的一点， △ACD和△BCE都是等边三角形， AE交CD于M， BD交CE于N，交AE于O， 连接MN， 则①△ACE≌△DCB；②∠AOB=150°； ③DN=AM； ④△CMN是等边三角形.其中，正确的结论有　 　
【答案】①③④
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵∠ACD=∠BCE=60°
∴∠DCE=60°.
在△ACE和△DCB中，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，①正确；
∴∠BDC=∠EAC，DB=AE，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CBD=∠AEC，
∵∠AOB=180°-∠OAB-∠DBC，
∴∠AOB=180°-∠AEC-∠OAB=120°，②错误；
在△ACM和△DCN中，
∴△ACM≌△DCN(ASA)，
∴AM=DN，③正确；
∵△ACM≌△DCN，
∴∠AMC=∠DNC，CM=CN.
∵∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形，④正确；
故答案为：①③④ .
【分析】易证△ACE≌△DCB，可得①正确；即可求得∠AOB=120°，可得③错误；再证明△ACM≌△DCN，可得②④正确和CM=CN，即可证明⑤正确；即可解题.
17．（2025八上·浙江月考） 如图， 在△ABC中， AB=DE，AC=DF，BF=CE ， 求证：
证明：
　 　
即　 　=　 　.
在△ABC和△DEF中，
　 　=　 　
∴△ABC≌△DEF (　 　).
【答案】CE；BC；EF；BC；EF；SSS
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵BF=CE，
∴BF+CF=CE+CF
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∵AB=DE，AC=DF，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)
故答案为：CE；BC；EF；BC；EF；SSS.
【分析】先通过已知条件推出三角形全等的条件，再利用SSS定理即可得出结论.
18．（2025八上·浙江月考）如图，已知
（1）用尺规作图法作出. 的角平分线AD；(不写作法，保留作图痕迹)
（2）作AB的中垂线m (不写作法，保留作图痕迹).
【答案】（1）解：如图，AD就是所求角平分线；
（2）解：如图所示，直线m即为所求；
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)根据角平分线的作法即可完成作图；
(2)根据垂直平分线的作法即可完成作图.
19．（2025八上·浙江月考） 已知：如图， MN是 的边AC的垂直平分线，MN与AB，AC分别相交于点D，E，连接CD.
（1） 若CD=3， 则AD的长为　 　；
（2） 若AB=5，BD=2，求CD的长；
（3） 若 的周长为10， BC=4， 求AB的长.
【答案】（1）3
（2）解：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AD=CD
∵AB=5，BD=2，
∴AD=AB-BD=5-2=3
∴CD = AD =3
（3）解：∵MN是AC的垂直平分线
∴AD=CD.
∵△BDC的周长为BD+CD+BC，且△BDC的周长为10，BC=4，
∴BD+CD=10-4=6
∵AB=BD+AD，且AD=CD
∴AB= BD+CD=6.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：(1)∵MN是△ABC的边AC的垂直平分线，
∴AD=CD=3
故答案为：3.
【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质，可得AD=CD，即可求解；
(2)根据线段垂直平分线的性质，可得AD=CD，再根据AB=AD+BD，即可求解；
(3)根据线段垂直平分线的性质，可得AD=CD，再根据△BDC的周长为BD+CD+BC，即可求解.
20．（2025八上·浙江月考）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，已知 各顶点在格点上.
（1） 画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(点A与点A1， 点B与点B1对应)；
（2） △A1B1C1的面积为　 　.
【答案】（1）解：△A1B1C1如图所示：
（2）5
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：(2)，
故答案为：5.
【分析】(1)根据关于直线对称点的性质确定对应点位置；
(2)通过用△ABC所在矩形面积减去周围多余三角形的面积来计算.
21．（2025八上·浙江月考） 如图， AD平分∠CAE， DE⊥AE，DF⊥AC， 垂足分别为E， F， 点B在AE上， 且BE=CF.
（1） 求证： BD=CD
（2） 若AC=12，AB=8， 求BE的长.
【答案】（1）证明：∵AD平分∠CAE，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∵BE=FC，∠E=∠DFC=90°
∴△BED≌△CFD(SAS)
∴BD=CD
（2）解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴CF=BE
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)
∴AE=AF.
∴AC=AF+CE=AE+BE=AB+2BE
∵AB=8，AC=12.
∴BE=2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用角平分线的性质和全等三角形的判定方法(SAS)，即可得出结论；
(2)利用全等三角形的性质即可解决问题.
22．（2025八上·浙江月考）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE．
（1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数？
（2）若∠BAC=a(a>30°)， ∠BAD=30°，求∠EDC的度数？
（3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？（不必证明）
【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C= (180°-∠BAC)=45°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30=75°，
∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-30°=60°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED= (180°-∠DAC)=60°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=75°-60=15°，
答：∠EDC的度数是15°.
（2）解：与(1)类似：∠B=∠C= (180°-∠BAC)= ，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=
∵∠DAC=∠BAC-∠BAD= -30°，
∴∠ADE=∠AED= (180° ∠DAC)=105° α
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=
答：∠EDC的度数是15°
（3）解：∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC= ∠BAD
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）在等腰△ABC中，AB=AC，已知∠BAC=90°，∠BAD=30°，则∠B=45°，则外角∠ADC=∠B+∠BAD；在等腰三角形ADE中，由∠DAC=∠BAC-∠BAD得∠DAC的度数，则可求∠ADE的度数；则∠EDC=∠ADC-∠ADE；（2）方法与（1）类似，用α分别表示出∠ADC和∠ADE，再求∠EDC；（3）由（1）和（2）的结果，可知∠EDC= .
23．（2025八上·浙江月考）如图，△ABC是等边三角形，点D沿△ABC的边从点A运动到点B，再从点B运动到点C，点E是边BC上一点，运动过程中始终满足BD=CE.
（1） 如图1， 当点D在AB边上时， 连接AE，CD相交于点G.
①求证： AE=CD.
②求∠CGE的度数.
（2） 如图2， 当点D在BC边上时， 延长AB至点F， 使BF =BE， 连接AE，DF. 判断AE与DF是否相等 并说明理由.
【答案】（1）解：①如图1，∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC.
∵BD=CE.
∴△ACE≌△CBD(SAS)
∴AE=CD
②∵△ACE≌△CBD.
∴∠CAE=∠BCD.
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=60°
∴∠CGE=∠ACD+∠CAE=∠ACD+∠BCD=60°
（2）解：AE=DF，理由如下：
如图2，在AB上截取AH=BF，连接DH，可得HF=AB.
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC=HF
∵BF=BE，BD=CE
∴BH=CE=BD.
∴△BDH是等边三角形
∴∠BHD=∠ACB=60°
∴△ACE≌△FHD(SAS)
∴AE=DF
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)①由SAS可证△ACE≌△CBD，可得AE=CD；
②由全等三角形的性质可得∠CAE=∠BCD，由外角的性质可求解；
(2)由SAS可证△ACE≌△FHD，可得AE=DF，即可求解.
24．（2025八上·浙江月考）【综合与实践题】
【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.
例： 如图①， 在四边形ABCD中， AB∥DC，E是AD的中点， BE平分∠ABC， 试判断BC， CD，AB之间的等量关系.
小颖的方法：如图②，延长BE、CD的相交于点F，构造△ABE≌△DFE和等腰三角形BCF 即可判断.
（1）【问题解决】按照小颖的方法，判断BC，CD，AB之间的等量关系，并说明理由.
（2）【自主探究】如图③，在△ABC中，D是BC的中点，点E在AC上，连接BE交AD于点F，AE=EF，试说明： AC=BF.
（3）【拓展延伸】如图④， 在四边形ABDC中， AB∥CD， AB=5， CD=1.6， 点F在AE上且满足 求DF的长.
【答案】（1）解：BC=CD+AB，
理由如下：
延长BE交CD的延长线于点F，如图②所示：
∵AB//DC，
∴∠A=∠FDE，∠ABE=∠F，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DFE中，
∴△ABE≌△DFE(AAS)
∴AB= DF，
∴CF=CD+DF=CD+CB
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE
又∵∠ABE=∠F
∴∠CBE=∠F.
∴BC=CG=CD+CB；
（2）证明：延长AD到M，使DM=DF，连接CM，如图③所示：
∵点D是BC的中点，
∴CD=BD，
在△CDM和△BDF中
∴△CDM≌△BDF(SAS)，
∴CM=BF，∠M=∠BFD
∵∠AFE=∠BFD
∴∠M=∠AFE
∵AE=EF
∴∠EAF=∠AFE
∴∠M=∠EAF
∴CM=AC
∴AC=BF；
（3）解：过点A作AH⊥BC于点H，延长CD，AE相交于点N，如图④所示：
∴，
∵S△ABE=S△ACE，
∴CE=BE
∵AB//CD
∴∠N=∠BAE，∠NCE=∠ABE，
在ANCE和AABE中
∴△NCE≌△ABE(AAS)
∴CN=AB.
∵∠DFE=∠BAE，∠N=∠BAE
∴∠DFE=∠N.
∴DF= DN，
∴DN=CN-CD=AB-CD，
∴DF=AB-CD，
又∵AB=5，CD=1.6，
∴DF=AB-CD=5-1.6=3.4
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】(1)延长BE交CD的延长线于点F，证明△ABE和△DFE全等得AB=DF.进而得CF=CD+CB，再根据BE平分∠ABC得∠ABE=∠CBE=∠F，则BC=CF，由此可得出BC，CD，AB之间的等量关系；
(2)延长AD到M，使DM=DF，连接CM，证明△CDM和△BDF全等得CM=BF，∠M=∠BFD，再根据∠AFE=∠BFD，AE=EF得∠EAF=∠AFE=∠M，进而得CM=AC，由此即可得出结论；
(3)过点A作AH⊥BC于点H，延长CD，AE相交于点N，根据三角形面积公式及S△ABE=S△ACE得CE=BE，证明△NCE和△ABE全等得CN=AB，再根据∠DEE=∠BAE=∠N得DF=DN，则DF=DN=CN-CD=AB-CD，然后根据AB=5，CD=1.6，即可得出答案.
1 / 1浙江省浙工大附实2025-2026学年第一学期10月阶段性作业检测八年级数学学科试题卷
1．（2025八上·浙江月考）下列四种网络运营商的标志中，为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·浙江月考）椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便.下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是 (　　)
A． B．
C． D．
3．（2025八上·浙江月考）下列长度的三条线段能组成三角形的是 (　　)
A．3， 4， 8 B．5， 6， 11
C．7， 9， 17 D．6， 8， 10
4．（2025八上·浙江月考） 如图， ∠ACD是△ABC的一个外角， 则∠ACD的度数为(　　)
A．133° B．135° C．130° D．143°
5．（2025八上·浙江月考）下列命题中的真命题是 (　　)
A．相等的角是对顶角 B．垂线段最短
C．若a， b满足|a|=|b|， 则a=b D．同位角相等
6．（2025八上·浙江月考）如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗 下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025八上·浙江月考）热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”.如图，已知∠D=∠BCA=90°，∠E=45°，若 ， 连接AF ， 则∠CAF的度数为(　　)
A．45° B．60° C．67.5° D．135°
8．（2025八上·浙江月考）若等腰三角形的一边长为4cm，周长为18cm，则此等腰三角形的底边长是(　　)
A．4cm B．10cm C．4cm或10cm D．4cm或7cm
9．（2025八上·浙江月考） 如图， 已知AE=AC， ∠C=∠E， 下列条件中， 无法判定△ABC≌△ADE的是(　　)
A．∠B=∠D B．BC=DE C．∠1=∠2 D．AB=AD
10．（2025八上·浙江月考） 如图， 把△ABC沿DE折叠， 使点A落在点A'处， 若∠A=40°， 则∠1+∠2等于(　　)
A．40° B．60° C．80° D．90°
11．（2025八上·浙江月考）如果∠A＞∠B，∠B＞∠C，那么∠A＞∠C.这个命题的条件是　 　，结论是　 　.
12．（2025八上·浙江月考）等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是　 　.
13．（2025八上·浙江月考） 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE=2，则DE的长是 　 　.
14．（2025八上·浙江月考） 如图所示， 在△ABC中， 点D， E分别为BC， AD的中点， 且 则阴影部分的面积为　 　cm2.
15．（2025八上·浙江月考）如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为12，腰AB的垂直平分线EF 分别交 AB，AC于点E，F，若D为底边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为　 　.
16．（2025八上·浙江月考） 如图， C是线段AB上的一点， △ACD和△BCE都是等边三角形， AE交CD于M， BD交CE于N，交AE于O， 连接MN， 则①△ACE≌△DCB；②∠AOB=150°； ③DN=AM； ④△CMN是等边三角形.其中，正确的结论有　 　
17．（2025八上·浙江月考） 如图， 在△ABC中， AB=DE，AC=DF，BF=CE ， 求证：
证明：
　 　
即　 　=　 　.
在△ABC和△DEF中，
　 　=　 　
∴△ABC≌△DEF (　 　).
18．（2025八上·浙江月考）如图，已知
（1）用尺规作图法作出. 的角平分线AD；(不写作法，保留作图痕迹)
（2）作AB的中垂线m (不写作法，保留作图痕迹).
19．（2025八上·浙江月考） 已知：如图， MN是 的边AC的垂直平分线，MN与AB，AC分别相交于点D，E，连接CD.
（1） 若CD=3， 则AD的长为　 　；
（2） 若AB=5，BD=2，求CD的长；
（3） 若 的周长为10， BC=4， 求AB的长.
20．（2025八上·浙江月考）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，已知 各顶点在格点上.
（1） 画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(点A与点A1， 点B与点B1对应)；
（2） △A1B1C1的面积为　 　.
21．（2025八上·浙江月考） 如图， AD平分∠CAE， DE⊥AE，DF⊥AC， 垂足分别为E， F， 点B在AE上， 且BE=CF.
（1） 求证： BD=CD
（2） 若AC=12，AB=8， 求BE的长.
22．（2025八上·浙江月考）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE．
（1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数？
（2）若∠BAC=a(a>30°)， ∠BAD=30°，求∠EDC的度数？
（3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？（不必证明）
23．（2025八上·浙江月考）如图，△ABC是等边三角形，点D沿△ABC的边从点A运动到点B，再从点B运动到点C，点E是边BC上一点，运动过程中始终满足BD=CE.
（1） 如图1， 当点D在AB边上时， 连接AE，CD相交于点G.
①求证： AE=CD.
②求∠CGE的度数.
（2） 如图2， 当点D在BC边上时， 延长AB至点F， 使BF =BE， 连接AE，DF. 判断AE与DF是否相等 并说明理由.
24．（2025八上·浙江月考）【综合与实践题】
【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.
例： 如图①， 在四边形ABCD中， AB∥DC，E是AD的中点， BE平分∠ABC， 试判断BC， CD，AB之间的等量关系.
小颖的方法：如图②，延长BE、CD的相交于点F，构造△ABE≌△DFE和等腰三角形BCF 即可判断.
（1）【问题解决】按照小颖的方法，判断BC，CD，AB之间的等量关系，并说明理由.
（2）【自主探究】如图③，在△ABC中，D是BC的中点，点E在AC上，连接BE交AD于点F，AE=EF，试说明： AC=BF.
（3）【拓展延伸】如图④， 在四边形ABDC中， AB∥CD， AB=5， CD=1.6， 点F在AE上且满足 求DF的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故答案为：D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
2．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：C选项椅子下面又开的两只脚与地面形成三角形，具有稳定性，
故答案为：C.
【分析】根据三角形稳定性的概念，判断各选项椅子设计是否利用了此特性.
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵3+4=7<8，∴不能构成三角形，不符合题意，
B、∵5+6=11，∴不能构成三角形，不符合题意；
C、∵7+9=16<17，∴不能构成三角形，不符合题意；
D、∵6+8=14>10，∴能构成三角形，符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据三角形三边关系即可求解.
4．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由题意可得：∠ACD=∠A+∠B=71°+62°=133°，
故答案为：A .
【分析】利用三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和求出∠ACD的度数.
5．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、垂线段最短，是真命题，符合题意；
C、若a，b满足|a|=|b|，则a=±b，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据对顶角的概念、垂线段最短、绝对值的性质、平行线的性质判断.
6．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连接交于点，由选项D中图可知：作点关于直线的对称点，
∴，
，
当、、三点共线时，的距离最短，
故选：D．
【分析】由选项D中图可知：作点关于直线的对称点，连接交于点，由对称性可知，，，据此判断即可．
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠D=∠BCA=90°，∠E=45°，
∴∠DFE=45°，
∵AC//EF，
∴∠ACF=∠DFE=45°，
∵CA=CF，
∴
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠DFE=45°，由平行线的性质，求出∠ACF=45°，由等边对等角，求出∠CAF即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为4cm时，
∵等腰三角形的周长为18cm，
∴此等腰三角形的底边长=18-4-4=10(cm)
∵4+4=8 <10.
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的底边长为4cm时，
∵等腰三角形的周长为18cm，
∴此等腰三角形的腰长(cm)
∵4+7=11>7
∴能组成三角形；
综上所述：此等腰三角形的底边长是4cm，
故答案为：A.
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为4cm时；当等腰三角形的底边长为4cm时，然后分别进行计算即可解答.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加∠B=∠D，由"AAS"可证△ABC≌△ADE，故选项A不合题意；
B、添加BC=DE，由"SAS"可证△ABC≌△ADE，故选项B不合题意；
C、添加∠1=∠2，由"ASA"可证△ABC≌△ADE，故选项C不合题意；
D、添加AB=AD，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，
∴∠ADE+∠AED=180°-∠A=140°，
∵折叠，
∴∠ADA'=2∠ADE，∠AEA'=2∠AED，
∴∠ADA'+∠AEA'=2×140°=280°，
∴∠1+∠2=180°-∠ADA'+180°-∠AEA'=360°-280°=80°；
故答案为：C .
【分析】根据三角形的内角和定理，折看的性质，推出∠ADA'+∠AEA'的度数，再根据平角的定义，进行求解即可.
11．【答案】∠A＞∠B，∠B＞∠C；∠A＞∠C
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解： 命题的格式为“如果P，那么Q”，其中P是条件，Q是结论。
题目中的命题为“如果∠A＞∠B，∠B＞∠C，那么∠A＞∠C”。
因此，条件是“∠A＞∠B，∠B＞∠C”，结论是“∠A＞∠C”。
故答案为：∠A＞∠B，∠B＞∠C；∠A＞∠C.
【分析】 根据命题的结构，“如果”引导的部分是条件，“那么”引导的部分是结论。
12．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两个底角相等
∴等腰三角形的另一个底角也等于40°，
∵三角形的内角和等于180°，
∴它的项角的度数=180°-40°-40°=100°，
故答案为：100°.
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等可得出等腰三角形有两个40°的底角，再根据三角形的内角和等于180°可求得项角的度数.
13．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
∵DE//AB
∴∠ABD=∠BDE
∴∠DBE=∠BDE
∴DE=BE
∵BE=2，
∴DE=2
故答案为：2.
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD=∠BDE，等量代换得到∠DBE=∠BDE，得到DE=BE，于是得到结论.
14．【答案】1
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵D是BC的中点，
∴BD=CD
∴
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴
故答案为：1 .
【分析】根据三角形的中线即可求解.
15．【答案】8
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接AD交EF与点M'，连结AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴，解得AD=6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM.
∴BM+MD=MD+AM.
∴当点M位于点M'处时，MB+MD有最小值，最小值6.
∴△BDM的周长的最小值为DB+AD=2+6=8
故答案为：8 .
【分析】连接AD交EF与点M'，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM=MB，则BM+DM=AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长.
16．【答案】①③④
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵∠ACD=∠BCE=60°
∴∠DCE=60°.
在△ACE和△DCB中，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，①正确；
∴∠BDC=∠EAC，DB=AE，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CBD=∠AEC，
∵∠AOB=180°-∠OAB-∠DBC，
∴∠AOB=180°-∠AEC-∠OAB=120°，②错误；
在△ACM和△DCN中，
∴△ACM≌△DCN(ASA)，
∴AM=DN，③正确；
∵△ACM≌△DCN，
∴∠AMC=∠DNC，CM=CN.
∵∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形，④正确；
故答案为：①③④ .
【分析】易证△ACE≌△DCB，可得①正确；即可求得∠AOB=120°，可得③错误；再证明△ACM≌△DCN，可得②④正确和CM=CN，即可证明⑤正确；即可解题.
17．【答案】CE；BC；EF；BC；EF；SSS
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵BF=CE，
∴BF+CF=CE+CF
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∵AB=DE，AC=DF，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)
故答案为：CE；BC；EF；BC；EF；SSS.
【分析】先通过已知条件推出三角形全等的条件，再利用SSS定理即可得出结论.
18．【答案】（1）解：如图，AD就是所求角平分线；
（2）解：如图所示，直线m即为所求；
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)根据角平分线的作法即可完成作图；
(2)根据垂直平分线的作法即可完成作图.
19．【答案】（1）3
（2）解：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AD=CD
∵AB=5，BD=2，
∴AD=AB-BD=5-2=3
∴CD = AD =3
（3）解：∵MN是AC的垂直平分线
∴AD=CD.
∵△BDC的周长为BD+CD+BC，且△BDC的周长为10，BC=4，
∴BD+CD=10-4=6
∵AB=BD+AD，且AD=CD
∴AB= BD+CD=6.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：(1)∵MN是△ABC的边AC的垂直平分线，
∴AD=CD=3
故答案为：3.
【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质，可得AD=CD，即可求解；
(2)根据线段垂直平分线的性质，可得AD=CD，再根据AB=AD+BD，即可求解；
(3)根据线段垂直平分线的性质，可得AD=CD，再根据△BDC的周长为BD+CD+BC，即可求解.
20．【答案】（1）解：△A1B1C1如图所示：
（2）5
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：(2)，
故答案为：5.
【分析】(1)根据关于直线对称点的性质确定对应点位置；
(2)通过用△ABC所在矩形面积减去周围多余三角形的面积来计算.
21．【答案】（1）证明：∵AD平分∠CAE，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∵BE=FC，∠E=∠DFC=90°
∴△BED≌△CFD(SAS)
∴BD=CD
（2）解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴CF=BE
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)
∴AE=AF.
∴AC=AF+CE=AE+BE=AB+2BE
∵AB=8，AC=12.
∴BE=2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用角平分线的性质和全等三角形的判定方法(SAS)，即可得出结论；
(2)利用全等三角形的性质即可解决问题.
22．【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C= (180°-∠BAC)=45°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30=75°，
∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-30°=60°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED= (180°-∠DAC)=60°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=75°-60=15°，
答：∠EDC的度数是15°.
（2）解：与(1)类似：∠B=∠C= (180°-∠BAC)= ，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=
∵∠DAC=∠BAC-∠BAD= -30°，
∴∠ADE=∠AED= (180° ∠DAC)=105° α
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=
答：∠EDC的度数是15°
（3）解：∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC= ∠BAD
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）在等腰△ABC中，AB=AC，已知∠BAC=90°，∠BAD=30°，则∠B=45°，则外角∠ADC=∠B+∠BAD；在等腰三角形ADE中，由∠DAC=∠BAC-∠BAD得∠DAC的度数，则可求∠ADE的度数；则∠EDC=∠ADC-∠ADE；（2）方法与（1）类似，用α分别表示出∠ADC和∠ADE，再求∠EDC；（3）由（1）和（2）的结果，可知∠EDC= .
23．【答案】（1）解：①如图1，∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC.
∵BD=CE.
∴△ACE≌△CBD(SAS)
∴AE=CD
②∵△ACE≌△CBD.
∴∠CAE=∠BCD.
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=60°
∴∠CGE=∠ACD+∠CAE=∠ACD+∠BCD=60°
（2）解：AE=DF，理由如下：
如图2，在AB上截取AH=BF，连接DH，可得HF=AB.
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC=HF
∵BF=BE，BD=CE
∴BH=CE=BD.
∴△BDH是等边三角形
∴∠BHD=∠ACB=60°
∴△ACE≌△FHD(SAS)
∴AE=DF
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)①由SAS可证△ACE≌△CBD，可得AE=CD；
②由全等三角形的性质可得∠CAE=∠BCD，由外角的性质可求解；
(2)由SAS可证△ACE≌△FHD，可得AE=DF，即可求解.
24．【答案】（1）解：BC=CD+AB，
理由如下：
延长BE交CD的延长线于点F，如图②所示：
∵AB//DC，
∴∠A=∠FDE，∠ABE=∠F，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DFE中，
∴△ABE≌△DFE(AAS)
∴AB= DF，
∴CF=CD+DF=CD+CB
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE
又∵∠ABE=∠F
∴∠CBE=∠F.
∴BC=CG=CD+CB；
（2）证明：延长AD到M，使DM=DF，连接CM，如图③所示：
∵点D是BC的中点，
∴CD=BD，
在△CDM和△BDF中
∴△CDM≌△BDF(SAS)，
∴CM=BF，∠M=∠BFD
∵∠AFE=∠BFD
∴∠M=∠AFE
∵AE=EF
∴∠EAF=∠AFE
∴∠M=∠EAF
∴CM=AC
∴AC=BF；
（3）解：过点A作AH⊥BC于点H，延长CD，AE相交于点N，如图④所示：
∴，
∵S△ABE=S△ACE，
∴CE=BE
∵AB//CD
∴∠N=∠BAE，∠NCE=∠ABE，
在ANCE和AABE中
∴△NCE≌△ABE(AAS)
∴CN=AB.
∵∠DFE=∠BAE，∠N=∠BAE
∴∠DFE=∠N.
∴DF= DN，
∴DN=CN-CD=AB-CD，
∴DF=AB-CD，
又∵AB=5，CD=1.6，
∴DF=AB-CD=5-1.6=3.4
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】(1)延长BE交CD的延长线于点F，证明△ABE和△DFE全等得AB=DF.进而得CF=CD+CB，再根据BE平分∠ABC得∠ABE=∠CBE=∠F，则BC=CF，由此可得出BC，CD，AB之间的等量关系；
(2)延长AD到M，使DM=DF，连接CM，证明△CDM和△BDF全等得CM=BF，∠M=∠BFD，再根据∠AFE=∠BFD，AE=EF得∠EAF=∠AFE=∠M，进而得CM=AC，由此即可得出结论；
(3)过点A作AH⊥BC于点H，延长CD，AE相交于点N，根据三角形面积公式及S△ABE=S△ACE得CE=BE，证明△NCE和△ABE全等得CN=AB，再根据∠DEE=∠BAE=∠N得DF=DN，则DF=DN=CN-CD=AB-CD，然后根据AB=5，CD=1.6，即可得出答案.
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