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湖南省长沙市明德教育集团2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七上·长沙期末）在，0，，，，中有理数的个数有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
2．（2025七上·长沙期末）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七上·长沙期末）徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，1月份的泰山，山脚平均气温为零下3摄氏度，山顶平均气温为零下9摄氏度，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是（　　）摄氏度
A． B． C．12 D．6
4．（2025七上·长沙期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七上·长沙期末）下列式子中，属于一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七上·长沙期末）下列生活现象，可以用基本事实“两点之间线段最短”解释的是（　　）
A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B．开山挖隧道，把上坡下坡的盘山公路改为平直的隧道
C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
D．建筑工人通过在两个柱子之间拉一条绳子砌墙
7．（2025七上·长沙期末）下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七上·长沙期末）已知，则下列变形错误的是（　　） ．
A． B． C． D．
9．（2025七上·长沙期末）将一副直角三角尺如图放置，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七上·长沙期末）教室摆放了A、B、C、D四个桶，每个桶均装满了同样数量的小球，甲、乙、丙、丁四位同学趁下课时间在教室进行玩球游戏，游戏的规则如下：
（1）甲先从A桶拿出4个小球放入B桶；
（2）然后乙从B桶拿出一半的小球放入C桶；
（3）接着丙从C桶拿出四分之一的小球放入D桶；
（4）随后丁数了数各桶的小球，发现D桶内的小球的数量比C桶内的小球的数量多了2个，问原来每个桶里装了多少个球（　　）
A．8个 B．12个 C．16个 D．20个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025七上·长沙期末）比较大小：　 　（填“”“”或“”）.
12．（2025七上·长沙期末）若的补角是，则　 　度．
13．（2025七上·长沙期末）冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成，若用2024个山楂穿了串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦的山楂个数是　 　．
14．（2025七上·长沙期末）如果关于的方程的解是，则　 　．
15．（2025七上·长沙期末）已知，那么　 　．
16．（2025七上·长沙期末）在远古时期，人们通常通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是　 　天．
三、解答题（本大题共9个小题，第17，18，19题每小题6分，第20，21题每小题8分，第22，23题每小题9分，第24，25题每小题10分，共72分）
17．（2025七上·长沙期末）计算：．
18．（2025七上·长沙期末）先化简，后求值：，其中．
19．（2025七上·长沙期末）解下列方程：
（1）
（2）
20．（2025七上·长沙期末）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为米，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修条长米，宽米的小路，剩余部分种草．
（1）小路的面积为 平方米；种花的面积为 平方米（结果保留）．
（2）当时，请计算该长方形场地上种草的面积（取3）．
21．（2025七上·长沙期末）如图，已知线段，点C在线段的延长线上，且，D为线段的中点．
（1）求线段的长；
（2）点E在线段上，且，请判断点E否为线段的中点，并说明理由．
22．（2025七上·长沙期末）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的帐算错了．
23．（2025七上·长沙期末）定义一种新运算：①当时， ，②当时， ，如： ，根据此定义，完成以下各题：
（1）计算：
（2）求值：
（3）已知：，，，化简：
24．（2025七上·长沙期末）若关于的二次多项式记为，即：，把关于的一次多项式记为，即，这样我们把称为的“多项式”，把关于的方程的解称为的“值”．如：的“多项式”为；方程的解是，则的“值”为．
（1）若，则的“多项式” ．
（2）若，且的“值”与一元一次方程的解的和为，求的值．
（3）已知关于的二次多项式，且无论为何值，的“值”始终相等，求的值．
25．（2025七上·长沙期末）如图1，直线和直线相交于，且，点分别是射线、上一点，射线绕点以的速度逆时针旋转，射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转时间为，其中为的角平分线．
（1）当时， ．
（2）如图2，当为多少秒时，恰好分别为的角平分线？并求出此时的度数．
（3）当，且时，求旋转时间的值？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的概念
【解析】【解答】解：根据有理数的概念可知，是0，，，，是有理数，共5个，
-π是无理数，
故答案为：B．
【分析】根据有理数的概念即可得出答案．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1290000000=1.29×109.
故答案为：C.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．【答案】D
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可知， 山脚平均气温与山顶平均气温的温差=（摄氏度），
故答案为：D．
【分析】根据温差=最高气温-最低气温计算即可得出答案．
4．【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、不是同类项不能合并，故A不符合题意．
B、， 故B不符合题意．
C、不是同类项不能合并，故C不符合题意．
D、，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项的法则计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，不是一元一次方程，故A不符合题意；
B、 是一元二次方程，不是一元一次方程，故B不符合题意；
C、，是一元一次方程，故C符合题意；
D、，是不等式，不是等式，故D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据一元一次方程的定义逐项进行判断即可．
6．【答案】B
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短
【解析】【解答】解：A、可以用“两点确定一条直线”，进行解释，故A不符合题意；
B、可以用“两点之间线段最短”解释，故B符合题意；
C、可以用“两点确定一条直线”，进行解释，故C不符合题意；
D、可以用“两点确定一条直线”，进行解释，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据线段的性质，直线的性质，逐项进行判断即可．
7．【答案】C
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：A、不能作为一个正方体的展开图，
∴此选项不符合题意；
B、不能作为一个正方体的展开图，
∴此选项不符合题意；
C、能作为一个正方体的展开图，
∴此选项符合题意；
D、不能作为一个正方体的展开图，
∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点可求解．
8．【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、根据等式两边加上相同的数，等式成立，不符合题意；
B、移项得，不符合题意；
C、等式两边乘上相同的数，成立，不符合题意；
D、等式除以同一个不为零的数，等式才成立，需要强调，符合题意；
故答案为：D．
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一判断即可.
9．【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：根据题意，，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据题意可得，∠BOD=50°，进而可得：∠BOC=90°+∠BOD即可得出答案．
10．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设每个桶中有x个球，
根据题意可知，A桶中剩余小球数量为个，
桶中放入4个后B小球数量为个，
C桶放入后小球数量为个，剩余小球数量为个，
D桶小球数量为个，
∵D桶内的小球的数量比C桶内的小球的数量多了2个，
∴．
整理得：x-1=2，
解得：，
故答案为：B．
【分析】
设每个桶中有x个球，根据题意分别表示出，A桶、B桶、C桶、D桶中的小球数量，再根据“ D桶内的小球的数量比C桶内的小球的数量多了2个 ”列方程解答即可得出答案．
11．【答案】
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，，
又∵，
∴．
故答案为：
【分析】
本题考查了有理数的大小比较，特别是比较两个负数的大小，先求两个数的绝对值，根据“两个负数，绝对值大的反而小”进行比较即可．
12．【答案】
【知识点】角的运算；补角
【解析】【解答】解：∵的补角是，
∴．
故答案为：80．
【分析】根据两个角的和为，则这两个角互为补角，即可得出答案．
13．【答案】
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：根据题意可知， 每串冰糖葫芦的山楂个数是，
故答案为：．
【分析】根据平均数的定义列出代数式即可得出答案．
14．【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：由关于的方程的解是，
∴将x=-1代入方程，得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】把方程的解代入原方程，再解方程即可得出答案．
15．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
∵，
∴原式=2×2+1=5，
故答案为：．
【分析】根据题意将变形为，整体代入即可得出答案．
16．【答案】
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：根据题意可得：1×3+6×2+62×1=51（天），
故答案为：51．
【分析】根据进制的转化即可得出答案．
17．【答案】解：
=-1+6-5
=0.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】根据有理数混合运算法则进行计算即可．
18．【答案】解：原式=-5a+3a-1-3a+2
=（-5a+3a-3a）+（-1+2）
=-5a+1，
当a=-1时，原式=-5×（-1）+1=6
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先去括号，合并同类项，求得最简整式，再代入求值即可．
19．【答案】（1）解：合并同类项，得：2x=9，
系数化为1，得：.
（2）解：去分母，得：2（x+1）-4=x，
去括号，得：2x+2-4=x，
移项，得：2x-4x=-2+4，
合并同类项，得：x=2.
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据解方程的基本步骤进行解答即可；
（2）利用去分母法解方程进行解答即可．
（1）解：，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得．
20．【答案】（1）
（2）解：根据题意可知，空地的面积为3ab平方米，
∴种草得面积=，
当时，种草面积=（平方米），
答：该长方形场地上种草的面积为112平方米．
112平方米
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，小路的面积为平方米，种花的面积=×4=平方米，
故答案为：．
【分析】（1）小路的面积根据面积公式计算即可，种花的面积恰好是一个圆，根据圆的面积公式计算即可得出答案，
（2）根据题意可知，种草面积=，再把代入求值即可得出答案.
（1）解：根据题意，小路的面积为平方米，种花的面积为平方米，
故答案为：．
（2）解：根据题意，得种草面积为，
当时，
（平方米），
答：该长方形场地上种草的面积为112平方米．
21．【答案】（1）解：∵，，．
为中点，
，
∴
（2）解：点E是线段的中点，
证明如下：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点E是线段的中点
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）利用AB、BC的长先求解的长，再根据中点的含义可求出CD的长，即可求出BD的长.
（2）利用已知条件可求出CE的长，再求出BE和DE的长，据此可证得BE=DE，即可证得结论．
（1）解：∵，，
．
为中点，
，
∴．
（2）解：点E是线段的中点，证明如下：
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点E是线段的中点．
22．【答案】解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．
由题意得：30x+45（x+4）＝1755
解得：x＝21
则x+4＝25．
答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元．
（2）设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支．
根据题意，得21y+25（105﹣y）＝2447．
解得：y＝44.5 （不符合题意）．
所以王老师肯定搞错了．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元，再根据等量关系“ 钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元 ”列方程组并求解即可；
（2）设单价为21元的钢笔为y支，则单价为25元的毛笔为（105-y）支，再根据等量关系“ 买这两种笔需支领2447元 ”列方程并求解发现y＝44.5 ，显然答案与生活实际不相符.
23．【答案】（1）解：根据新运算的定义可知，3＞-1，
∴ =2×3-（-1）=6+1=7.
（2）解：根据新运算的定义可知，-1＜2，5＞1，
∴
= （2×5-1）
=3 9
∵3＜9，
∴原式==6.
（3）解：∵a+b+c=0，a＞b＞c，ab＜0，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴a=-b-c，b+c＜a，a+b＞c，a+c＞b，
∴
=-[2（a+c）-b]-[2（a+b）-c]
=（a-b-c）-（2a+2c-b）-（2a+2b-c）
=a-b-c-2a-2c+b-2a-2b+c
=（a-2a-2a）+（-b+b-2b）+（-c-2c+c）
=abc
=（a+b+c）
∵a+b+c=0，
∴原式=×0=0.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；化简含绝对值有理数；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）按照定义的新运算进行计算即可得出答案；
（2）按照定义的新运算进行计算即可得出答案；
（3）由题意可得，进而得出再根据定义的新运算进行计算并化简即可得出答案．
（1）解：
（2）解：
∴原式
（3）解：由题意，，，

．
24．【答案】（1）
（2）解：∵中b=-6，c=-2，
∴g（x）=2ax-6，
∴ 2ax-6=x-1，
解得：x=，
∵ 的解为x=5，且的“值”与一元一次方程的解的和为，
∴，
解得：，
经检验，是方程的解，
∴；
（3）解：中a=2，b=-3t，c=2，
∴g1（x）=4x-3t，
∴4x-3t=x-1，
解得：，
中a=1，b=2mt+n，
∴g2（x）=2x-（2mt+n），
∴2x-（2mt+n）=x-1，
解得：x=2mt+n-1，
∵无论为何值，的“值”始终相等，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】多项式的项、系数与次数；解含分数系数的一元一次方程；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：（1）中a=1，b=3，c=2，
∴2a=2，
∴的“多项式”；
故答案为∶.
【分析】（1）根据“多项式”的定义即可得出答案；
（2）根据“值”的定义求出方程的解，再根据题意列分式方程即可得出答案；
（3）根据“值”的定义求出方程的解，根据始终相等列出方程即可得出答案．
（1）解：∵，
∴的“多项式”；
故答案为∶；
（2）解：解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的“值”与一元一次方程的解的和为，
∴，
∴，
经检验，是方程的解，
∴；
（3）解：∵
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵无论为何值，的“值”始终相等，
∴，
∴，
∴，，
∴．
25．【答案】（1）
（2）解：设运动秒时，恰好分别为的角平分线，
根据题意可知，∠AOM=10°t，∠BON=30°t，
∵恰好分别为的角平分线，
∴2∠AOM=∠AOD，2∠BON=∠BOD，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴2∠AOM+2∠BON=180°，
即2×10°t+2×30°t=180°，
解得：，
当时，α=∠BOD=2∠BON=2×30°×=135°.
（3）解：设运动秒时，
当点Q在左侧时，如图所示，
根据题意可知，∠AOM=10°t，∠BON=30°t，
∴=40°t-180°，
∵为的角平分线．
∴=20°t-90°，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在右侧时，如图所示，
根据题意可知，∠AOM=10°t，∠BON=30°t，
∴=180°-40°t，
∵为的角平分线，
∴=90°-20°t，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，当或时，，且．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，当时，，，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）当时，，，根据计算即可得出答案；
（2）设运动秒时，恰好分别为的角平分线，根据题意可知，∠AOM=10°t，∠BON=30°t，由角的平分线概念易得，列出方程求解即可；
（3）设运动秒时，根据题意可知，∠AOM=10°t，∠BON=30°t，根据，且，分点Q在左侧和右侧两种情况讨论即可得出答案.
（1）解：∵射线绕点以的速度逆时针旋转，射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转时间为，
∴当时，，，
∴．
故答案为：．
（2）解：设运动秒时，恰好分别为的角平分线，根据题意，得，，
∵恰好分别为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
（3）解：设运动秒时，
当点Q在右侧时，
根据题意，得，，
∴．
∵为的角平分线．
∴．
∵，且，
∴，
∴，
∴，
解得；
当点Q在左侧时，如图，
根据题意，得，，
∴．
∵为的角平分线．
∴．
∵，
∴，
根据题意，得，
∴，
解得；
综上所述，当或时，，且．
1 / 1湖南省长沙市明德教育集团2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七上·长沙期末）在，0，，，，中有理数的个数有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】B
【知识点】有理数的概念
【解析】【解答】解：根据有理数的概念可知，是0，，，，是有理数，共5个，
-π是无理数，
故答案为：B．
【分析】根据有理数的概念即可得出答案．
2．（2025七上·长沙期末）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1290000000=1.29×109.
故答案为：C.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．（2025七上·长沙期末）徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，1月份的泰山，山脚平均气温为零下3摄氏度，山顶平均气温为零下9摄氏度，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是（　　）摄氏度
A． B． C．12 D．6
【答案】D
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可知， 山脚平均气温与山顶平均气温的温差=（摄氏度），
故答案为：D．
【分析】根据温差=最高气温-最低气温计算即可得出答案．
4．（2025七上·长沙期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、不是同类项不能合并，故A不符合题意．
B、， 故B不符合题意．
C、不是同类项不能合并，故C不符合题意．
D、，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项的法则计算求解即可。
5．（2025七上·长沙期末）下列式子中，属于一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，不是一元一次方程，故A不符合题意；
B、 是一元二次方程，不是一元一次方程，故B不符合题意；
C、，是一元一次方程，故C符合题意；
D、，是不等式，不是等式，故D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据一元一次方程的定义逐项进行判断即可．
6．（2025七上·长沙期末）下列生活现象，可以用基本事实“两点之间线段最短”解释的是（　　）
A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B．开山挖隧道，把上坡下坡的盘山公路改为平直的隧道
C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
D．建筑工人通过在两个柱子之间拉一条绳子砌墙
【答案】B
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短
【解析】【解答】解：A、可以用“两点确定一条直线”，进行解释，故A不符合题意；
B、可以用“两点之间线段最短”解释，故B符合题意；
C、可以用“两点确定一条直线”，进行解释，故C不符合题意；
D、可以用“两点确定一条直线”，进行解释，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据线段的性质，直线的性质，逐项进行判断即可．
7．（2025七上·长沙期末）下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：A、不能作为一个正方体的展开图，
∴此选项不符合题意；
B、不能作为一个正方体的展开图，
∴此选项不符合题意；
C、能作为一个正方体的展开图，
∴此选项符合题意；
D、不能作为一个正方体的展开图，
∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点可求解．
8．（2025七上·长沙期末）已知，则下列变形错误的是（　　） ．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、根据等式两边加上相同的数，等式成立，不符合题意；
B、移项得，不符合题意；
C、等式两边乘上相同的数，成立，不符合题意；
D、等式除以同一个不为零的数，等式才成立，需要强调，符合题意；
故答案为：D．
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一判断即可.
9．（2025七上·长沙期末）将一副直角三角尺如图放置，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：根据题意，，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据题意可得，∠BOD=50°，进而可得：∠BOC=90°+∠BOD即可得出答案．
10．（2025七上·长沙期末）教室摆放了A、B、C、D四个桶，每个桶均装满了同样数量的小球，甲、乙、丙、丁四位同学趁下课时间在教室进行玩球游戏，游戏的规则如下：
（1）甲先从A桶拿出4个小球放入B桶；
（2）然后乙从B桶拿出一半的小球放入C桶；
（3）接着丙从C桶拿出四分之一的小球放入D桶；
（4）随后丁数了数各桶的小球，发现D桶内的小球的数量比C桶内的小球的数量多了2个，问原来每个桶里装了多少个球（　　）
A．8个 B．12个 C．16个 D．20个
【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设每个桶中有x个球，
根据题意可知，A桶中剩余小球数量为个，
桶中放入4个后B小球数量为个，
C桶放入后小球数量为个，剩余小球数量为个，
D桶小球数量为个，
∵D桶内的小球的数量比C桶内的小球的数量多了2个，
∴．
整理得：x-1=2，
解得：，
故答案为：B．
【分析】
设每个桶中有x个球，根据题意分别表示出，A桶、B桶、C桶、D桶中的小球数量，再根据“ D桶内的小球的数量比C桶内的小球的数量多了2个 ”列方程解答即可得出答案．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025七上·长沙期末）比较大小：　 　（填“”“”或“”）.
【答案】
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，，
又∵，
∴．
故答案为：
【分析】
本题考查了有理数的大小比较，特别是比较两个负数的大小，先求两个数的绝对值，根据“两个负数，绝对值大的反而小”进行比较即可．
12．（2025七上·长沙期末）若的补角是，则　 　度．
【答案】
【知识点】角的运算；补角
【解析】【解答】解：∵的补角是，
∴．
故答案为：80．
【分析】根据两个角的和为，则这两个角互为补角，即可得出答案．
13．（2025七上·长沙期末）冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成，若用2024个山楂穿了串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦的山楂个数是　 　．
【答案】
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：根据题意可知， 每串冰糖葫芦的山楂个数是，
故答案为：．
【分析】根据平均数的定义列出代数式即可得出答案．
14．（2025七上·长沙期末）如果关于的方程的解是，则　 　．
【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：由关于的方程的解是，
∴将x=-1代入方程，得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】把方程的解代入原方程，再解方程即可得出答案．
15．（2025七上·长沙期末）已知，那么　 　．
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
∵，
∴原式=2×2+1=5，
故答案为：．
【分析】根据题意将变形为，整体代入即可得出答案．
16．（2025七上·长沙期末）在远古时期，人们通常通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是　 　天．
【答案】
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：根据题意可得：1×3+6×2+62×1=51（天），
故答案为：51．
【分析】根据进制的转化即可得出答案．
三、解答题（本大题共9个小题，第17，18，19题每小题6分，第20，21题每小题8分，第22，23题每小题9分，第24，25题每小题10分，共72分）
17．（2025七上·长沙期末）计算：．
【答案】解：
=-1+6-5
=0.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】根据有理数混合运算法则进行计算即可．
18．（2025七上·长沙期末）先化简，后求值：，其中．
【答案】解：原式=-5a+3a-1-3a+2
=（-5a+3a-3a）+（-1+2）
=-5a+1，
当a=-1时，原式=-5×（-1）+1=6
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先去括号，合并同类项，求得最简整式，再代入求值即可．
19．（2025七上·长沙期末）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：合并同类项，得：2x=9，
系数化为1，得：.
（2）解：去分母，得：2（x+1）-4=x，
去括号，得：2x+2-4=x，
移项，得：2x-4x=-2+4，
合并同类项，得：x=2.
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据解方程的基本步骤进行解答即可；
（2）利用去分母法解方程进行解答即可．
（1）解：，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得．
20．（2025七上·长沙期末）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为米，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修条长米，宽米的小路，剩余部分种草．
（1）小路的面积为 平方米；种花的面积为 平方米（结果保留）．
（2）当时，请计算该长方形场地上种草的面积（取3）．
【答案】（1）
（2）解：根据题意可知，空地的面积为3ab平方米，
∴种草得面积=，
当时，种草面积=（平方米），
答：该长方形场地上种草的面积为112平方米．
112平方米
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，小路的面积为平方米，种花的面积=×4=平方米，
故答案为：．
【分析】（1）小路的面积根据面积公式计算即可，种花的面积恰好是一个圆，根据圆的面积公式计算即可得出答案，
（2）根据题意可知，种草面积=，再把代入求值即可得出答案.
（1）解：根据题意，小路的面积为平方米，种花的面积为平方米，
故答案为：．
（2）解：根据题意，得种草面积为，
当时，
（平方米），
答：该长方形场地上种草的面积为112平方米．
21．（2025七上·长沙期末）如图，已知线段，点C在线段的延长线上，且，D为线段的中点．
（1）求线段的长；
（2）点E在线段上，且，请判断点E否为线段的中点，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，，．
为中点，
，
∴
（2）解：点E是线段的中点，
证明如下：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点E是线段的中点
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）利用AB、BC的长先求解的长，再根据中点的含义可求出CD的长，即可求出BD的长.
（2）利用已知条件可求出CE的长，再求出BE和DE的长，据此可证得BE=DE，即可证得结论．
（1）解：∵，，
．
为中点，
，
∴．
（2）解：点E是线段的中点，证明如下：
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点E是线段的中点．
22．（2025七上·长沙期末）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的帐算错了．
【答案】解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．
由题意得：30x+45（x+4）＝1755
解得：x＝21
则x+4＝25．
答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元．
（2）设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支．
根据题意，得21y+25（105﹣y）＝2447．
解得：y＝44.5 （不符合题意）．
所以王老师肯定搞错了．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元，再根据等量关系“ 钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元 ”列方程组并求解即可；
（2）设单价为21元的钢笔为y支，则单价为25元的毛笔为（105-y）支，再根据等量关系“ 买这两种笔需支领2447元 ”列方程并求解发现y＝44.5 ，显然答案与生活实际不相符.
23．（2025七上·长沙期末）定义一种新运算：①当时， ，②当时， ，如： ，根据此定义，完成以下各题：
（1）计算：
（2）求值：
（3）已知：，，，化简：
【答案】（1）解：根据新运算的定义可知，3＞-1，
∴ =2×3-（-1）=6+1=7.
（2）解：根据新运算的定义可知，-1＜2，5＞1，
∴
= （2×5-1）
=3 9
∵3＜9，
∴原式==6.
（3）解：∵a+b+c=0，a＞b＞c，ab＜0，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴a=-b-c，b+c＜a，a+b＞c，a+c＞b，
∴
=-[2（a+c）-b]-[2（a+b）-c]
=（a-b-c）-（2a+2c-b）-（2a+2b-c）
=a-b-c-2a-2c+b-2a-2b+c
=（a-2a-2a）+（-b+b-2b）+（-c-2c+c）
=abc
=（a+b+c）
∵a+b+c=0，
∴原式=×0=0.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；化简含绝对值有理数；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）按照定义的新运算进行计算即可得出答案；
（2）按照定义的新运算进行计算即可得出答案；
（3）由题意可得，进而得出再根据定义的新运算进行计算并化简即可得出答案．
（1）解：
（2）解：
∴原式
（3）解：由题意，，，

．
24．（2025七上·长沙期末）若关于的二次多项式记为，即：，把关于的一次多项式记为，即，这样我们把称为的“多项式”，把关于的方程的解称为的“值”．如：的“多项式”为；方程的解是，则的“值”为．
（1）若，则的“多项式” ．
（2）若，且的“值”与一元一次方程的解的和为，求的值．
（3）已知关于的二次多项式，且无论为何值，的“值”始终相等，求的值．
【答案】（1）
（2）解：∵中b=-6，c=-2，
∴g（x）=2ax-6，
∴ 2ax-6=x-1，
解得：x=，
∵ 的解为x=5，且的“值”与一元一次方程的解的和为，
∴，
解得：，
经检验，是方程的解，
∴；
（3）解：中a=2，b=-3t，c=2，
∴g1（x）=4x-3t，
∴4x-3t=x-1，
解得：，
中a=1，b=2mt+n，
∴g2（x）=2x-（2mt+n），
∴2x-（2mt+n）=x-1，
解得：x=2mt+n-1，
∵无论为何值，的“值”始终相等，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】多项式的项、系数与次数；解含分数系数的一元一次方程；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：（1）中a=1，b=3，c=2，
∴2a=2，
∴的“多项式”；
故答案为∶.
【分析】（1）根据“多项式”的定义即可得出答案；
（2）根据“值”的定义求出方程的解，再根据题意列分式方程即可得出答案；
（3）根据“值”的定义求出方程的解，根据始终相等列出方程即可得出答案．
（1）解：∵，
∴的“多项式”；
故答案为∶；
（2）解：解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的“值”与一元一次方程的解的和为，
∴，
∴，
经检验，是方程的解，
∴；
（3）解：∵
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵无论为何值，的“值”始终相等，
∴，
∴，
∴，，
∴．
25．（2025七上·长沙期末）如图1，直线和直线相交于，且，点分别是射线、上一点，射线绕点以的速度逆时针旋转，射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转时间为，其中为的角平分线．
（1）当时， ．
（2）如图2，当为多少秒时，恰好分别为的角平分线？并求出此时的度数．
（3）当，且时，求旋转时间的值？
【答案】（1）
（2）解：设运动秒时，恰好分别为的角平分线，
根据题意可知，∠AOM=10°t，∠BON=30°t，
∵恰好分别为的角平分线，
∴2∠AOM=∠AOD，2∠BON=∠BOD，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴2∠AOM+2∠BON=180°，
即2×10°t+2×30°t=180°，
解得：，
当时，α=∠BOD=2∠BON=2×30°×=135°.
（3）解：设运动秒时，
当点Q在左侧时，如图所示，
根据题意可知，∠AOM=10°t，∠BON=30°t，
∴=40°t-180°，
∵为的角平分线．
∴=20°t-90°，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在右侧时，如图所示，
根据题意可知，∠AOM=10°t，∠BON=30°t，
∴=180°-40°t，
∵为的角平分线，
∴=90°-20°t，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，当或时，，且．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，当时，，，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）当时，，，根据计算即可得出答案；
（2）设运动秒时，恰好分别为的角平分线，根据题意可知，∠AOM=10°t，∠BON=30°t，由角的平分线概念易得，列出方程求解即可；
（3）设运动秒时，根据题意可知，∠AOM=10°t，∠BON=30°t，根据，且，分点Q在左侧和右侧两种情况讨论即可得出答案.
（1）解：∵射线绕点以的速度逆时针旋转，射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转时间为，
∴当时，，，
∴．
故答案为：．
（2）解：设运动秒时，恰好分别为的角平分线，根据题意，得，，
∵恰好分别为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
（3）解：设运动秒时，
当点Q在右侧时，
根据题意，得，，
∴．
∵为的角平分线．
∴．
∵，且，
∴，
∴，
∴，
解得；
当点Q在左侧时，如图，
根据题意，得，，
∴．
∵为的角平分线．
∴．
∵，
∴，
根据题意，得，
∴，
解得；
综上所述，当或时，，且．
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