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湖南省常德市初中联盟校2024-2025学年九年级上学期期末数学试题
1．（2024九上·常德期末）同学们，函数是中学数学学习的重要内容，你们已经学习了一次函数、反比例函数、三角函数、二次函数等，对于函数有了一定的了解，请问函数是（　　）
A．一次函数 B．二次函数 C．反比例函数 D．正比例函数
2．（2024九上·常德期末）用配方法解一元二次方程 -4x=5时，此方程可变形为（　　）.
A． =1 B． =1 C． =9 D． =9
3．（2024九上·常德期末）已知 ，那么 的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·常德期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·常德期末）2024年5月12日是母亲节，常德市第四中学某学习小组为了解常德市武陵区大约有多少中学生知道自己母亲的生日，随机调查了100个中学生，调查结果发现：只有30个学生知道自己母亲的生日．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法中正确的是（　　）
A．本次调查的方式是采用普查的方式
B．常德市武陵区大约有的中学生知道自己母亲的生日
C．样本是30个中学生，样本容量是30
D．常德市武陵区大约有70个中学生不知道自己母亲的生日
6．（2024九上·常德期末）如图所示，在中，是直角边上一点，于点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九上·常德期末）把抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·常德期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，里面的大量数学问题充分体现了我国古代人的聪明智慧．《九章算术》中有一个问题专门记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水岸，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（　　）
A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米
9．（2024九上·常德期末）式子的值是（　　）
A． B．0 C． D．2
10．（2024九上·常德期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，给下以下结论：①2a﹣b＝0；②9a＋3b＋c＜0；③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＋3＝0有两个相等实数根；④8a＋c＜0，其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．1
11．（2024九上·常德期末）在反比例函数 的图象每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是　 　．
12．（2024九上·常德期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　 　．
13．（2024九上·常德期末）已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为　 　．
14．（2024九上·常德期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似，原点O是位似中心，则与的面积比为　 　．
15．（2024九上·常德期末）某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况.如表：
节水量/m3 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
家庭数/个 2 4 6 7 1
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是　 　m3.
16．（2024九上·常德期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE＝6，sinA＝，则菱形ABCD的周长是　 　．
17．（2024九上·常德期末）已知拋物线的图象经过三点，则该拋物线的顶点坐标是　 　．
18．（2024九上·常德期末）已知，如图所示，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，以下结论：①； ②；③；④；⑤；其中正确结论是　 　（填序号）．
19．（2024九上·常德期末）解一元二次方程：．
20．（2024九上·常德期末）已知，如图所示，在中，点D在边上，点E在边上，且．求证：．
21．（2024九上·常德期末）常德市第四中学体育组老师为了解学校九年级学生体育测试的情况，以九年级某班学生的体育期末测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图（说明：A等级：90分分；B等级：75分分；C等级：60分分；D等级：60分以下）
请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）样本中D等级的学生人数占全班学生人数的百分比是______；
（3）扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数是______；
（4）常德市第四中学九年级现有370名学生，请你用此样本估计体育测试中A等级的学生人数约为多少人？
22．（2024九上·常德期末）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率．
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
23．（2024九上·常德期末）一次函数与反比例函数，交于点和点，过点A作轴，垂足为C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）连接，求的面积．
（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围．
24．（2024九上·常德期末）如图，在某一路段，规定汽车限速行驶，交通警察在此限速路段的道路上设置了监测区，其中点为监测点，已知点在同一直线上，且米，．
（1）求线段的长；
（2）如果道路的限速为60千米/时，一辆汽车通过段的时间为100秒，请你判断该车是否是超速，并说明理由．（参考数据：）
25．（2024九上·常德期末）如图，在矩形ABCD中，，，动点M以的速度从A点出发，沿向点B运动，同时动点N以的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为秒（）．
（1）当为何值时，的面积等于矩形面积的？
（2）是否存在某一时刻，使得以A、M、N为顶点的三角形与相似 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
26．（2024九上·常德期末）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作轴于点，将沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求的面积；
（3）拋物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数的概念；反比例函数的概念；二次函数的定义；正比例函数的概念
【解析】-【解答】解：根据一次函数、反比例函数、二次函数等函数的概念可知：是反比例函数，
故答案为：C．
【分析】根据各种函数得概念与所给函数解析式进行判断即可得出答案．
2．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．∵ -4x=5，∴ -4x+4=5+4，∴ =9．
故答案为：D．
【分析】配方法解一元二次方程，参考完全平方公式进行配方变形，可知在等式两侧同时加上22 ，然后进行公式变形即可，由此得知答案：D。
3．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】将原式变形为，据此计算即可.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵，则方程没有实数根，∴A符合题意；
B、∵方程整理得，，则方程有两个相等的实数根，∴B不符合题意；
C、∵，则方程有两个相等的实数根，∴C不符合题意；
D、∵方程整理为，，则方程有两个不相等的实数根，∴D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）逐项分析判断即可.
5．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：A. 本次“随机调查了100个中学生”， 调查的方式是抽样调查，故A错误；
B. 根据样本估计总体可知，常德市武陵区大约有=的中学生知道自己母亲的生日，故B正确；
C. 样本是100个中学生，样本容量是100，故C错误；
D.根据样本估计总体可知， 常德市武陵区大约有1-=的中学生不知道自己母亲的生日，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据抽样调查、总体、个体、样本的定义逐项进行分析判断即可得出答案．
6．【答案】C
【知识点】求正弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】∵MN⊥AB，∠C=90°，
∴∠ANM=∠C=90°，
在△ANM和△ACB中，
∴（AA），
∴∠AMN=∠B，
∵，
∴sinB=sin∠AMN=，
故答案为：C．
【分析】根据题意易证，可得∠AMN=∠B，进而得出sinB=sin∠AMN即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后得到点的坐标为（3，4），所以平移后所得抛物线的函数表达式为，
故答案为：C.
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可得出答案．
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵米，米，
∴（米），
由题意得：，
在△ABE和△CDE中，
∴（AA），
∴，
即，
解得：米，
故答案为：B．
【分析】根据已知可得米，易得，再利用相似三角形的性质即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：原式=
故答案为：B．
【分析】把特殊角的三角函数值代入再进行运算即可得出答案.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①由函数图象可知，抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a﹣b＝2a-（-2a）=4a
∵a≠0，
∴2a-b≠0，故①错误；
②根据函数图象可知，当x=-1时，y＝ax2＋bx＋c＜0，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴当x＝3时，y＝ax2＋bx＋c＝9a＋3b＋c＜0，故②正确；
③根据函数图象可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标为（1，﹣3），
∴将二次函数y＝ax2＋bx＋c图象沿y轴正方向平移3个单位长度即可得到y＝ax2＋bx＋c＋3，
此时二次函数y＝ax2＋bx＋c＋3的图象与x轴只有一个交点，
∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＋3＝0有两个相等实数根，故③正确；
④ 根据函数图象可知， 当x＝﹣2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a﹣2b＋c＞0，
由（1）可知，b＝﹣2a，
∴4a﹣2×（﹣2a）＋c＝8a＋c＞0，故④错误，
综上所述：正确的结论有②③．
故答案为：A．
【分析】①由函数图象可知，抛物线的对称轴为x＝1，即可得出2a﹣b＝4a≠0，即可判断①；②根据二次函数的对称性可知，x=-1与x=3的函数值相等，即可判断②；③将二次y＝ax2＋bx＋c图象沿y轴正方向平移3个单位长度，可得出二次函数y＝ax2＋bx＋c＋3的图象与x轴只有一个交点，进而得出一元二次方程ax2＋bx＋c＋3＝0有两个相等实数根，即可判断③；④将x＝﹣2代入二次函数解析式中，可得出y＝4a﹣2b＋c＞0，再结合b＝﹣2a即可得出8a＋c＞0，即可判断④．综上即可得出结论．
11．【答案】m＞2
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 在反比例函数 的图象每一条曲线上，y都随x的增大而减小，
∴m-2＞0
解之：m＞2
故答案为：m＞2
【分析】根据反比例函数的性质：，当k＞0时，y随x的增大而减小，当k＜0时，y随x的增大而增大，据此建立关于m的不等式求解即可。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 一元二次方程 中，a=1，b=-6，c=-m，
∵ 于的一元二次方程有两个实数根 ，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题意可知，一元二次方程有两个实数根可知，据此列出不等式求解即可得出答案.
13．【答案】8
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题可知：
．
不成立，
由三角形的三边关系可知它的第三边长为3，
三角形周长为2+3+3=8．
故答案为：8．
【分析】将方程左边进行因式分解后求出方程的两个根，利用三角形的三边关系可以判断出三角形的第三边长是3，由此即可求出周长．
14．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵与位似，原点O是位似中心，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】根据点的坐标可得的长，根据位似图形的性质可得，进而得出 ，然后相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案.
15．【答案】130
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：
（0.2×2+0.25×4+0.3×6+0.4×7+0.5×1）÷20=0.325（m3），
因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：
400×0.325=130（m3），
故答案为130.
【分析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答．
16．【答案】40
【知识点】菱形的性质；已知正弦值求边长；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴△ADE是直角三角形，
∴，
∴AD=10，
∵菱形四个边是相等的，
∴菱形ABCD的周长=10×4=40.
【分析】根据直角三角形判定定理可得△ADE是直角三角形，再根据锐角三角函数的定义可得，则AD=10，再根据菱形的性质即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：因为拋物线的图象经过三点，将三点代入抛物线可得：，
解得：，
所以拋物线的解析式为，
故拋物线的顶点坐标是．
故答案为：.
【分析】根据待定系数法求出函数解析式，再转化为顶点式即可得解．
18．【答案】②③⑤
【知识点】正方形的性质；求特殊角的三角函数值；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵点E是BC的中点，
∴BE=BC=AB，
∴tan∠BAE==，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC，∠B=∠C=90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=BC=CD=AB，
∵CF=CD，
∴==2，==2，
∴=，
在△ABE和△ECF中，
，
∴△ABE∽△ECF（SAS）故②正确；
∴∠BAE=∠CEF，
在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，故③正确；
∵ ，
∴DF=，
∵，，
，
和不相似，故④错误．
∵，
，
，
且，
，故⑤正确；
综上所述，正确的为：②③⑤，
故答案为：②③⑤．
【分析】根据正方形的性质和中点定义可得tan∠BAE==，即可求得，即可判断①；根据，，可证，即可判断②；则，进一步证明，则，即可判断③；由得到和不相似，即可判断④；由得到，且，则，即可判断⑤．
19．【答案】解：变形为：，
整理得：3x2-9x+30=0，
∴3（x-2）（x-5）=0，
∴x-2=0或x-5=0，
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先将一元二次方程进行变形后整理得3x2-9x+30=0，再利用因式分解得到3，进而得出或即可求解．
20．【答案】解：∵ ，∠DEC=∠EAD+∠ADE，∠ADB=∠EAD+∠C，
∴∠ADE=∠C，
在△AED和△ADC中，
，
∴△AED∽△ADC（AA）.
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和可得∠ADE=∠C，再结合公共角即可证明△AED∽△ADC.
21．【答案】（1）解：由条形统计图和扇形统计图可知，A等级人数为10人，所占比例为20%，
∴样本总人数为10÷20%=50人，
∴样本中D等级的人数=50-10-23-12=5人，
则把条形统计图补充完整，如下图所示：
.
（2）
（3）
（4）解：体育测试中A等级的学生人数=370×20%=74人，
估计体育测试中A等级的学生人数约为74人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）由扇形统计图可知，样本中D等级的学生人数占全班学生人数的百分比为：1-20%-46%-24%=10%，
故答案为：；
（3）解：由扇形统计图可知，A等级的学生人数所占百分比为，
∴A等级所在的扇形的圆心角度数=，
故答案为：.
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图求出总人数，进而得出D等级的学生人数，再把条形统计图补全即可；
（2）用1减去A、B、C等级所占百分比即可得出答案；
（3）由扇形统计图可知，A等级的学生人数所占百分比，再乘以360°即可得出答案，；
（4）用样本中A等级的学生所占百分比即可估计出总体中A等级的学生所占百分比，进而得出答案.
（1）解：总人数为（人），
则样本中D等级的学生人数为：（人），
补全条形统计图：
（2）解：样本中D等级的学生人数占全班学生人数的百分比为：
，
故答案为：；
（3）解：∵A等级的学生人数占全班学生人数的百分比为，
∴扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数为：，
故答案为：；
（4）解：（人）
答：估计体育测试中A等级的学生人数约为74人．
22．【答案】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得，（舍去），
答：四、五这两个月的月平均增长率.
（2）解：设降价m元，商场月获利4250元，
根据题意得：，
解得，（舍去），
答：当商品降价5元时，商场月获利4250元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，准确列出等量关系式是解题关键．
（1）设四月，五月的月平均增长率为x，
三月份销售量为256件，四月份的销售量是在三月份基础上增长的，所以四月份销售件数为：256(1+x)件；五月份的销售量是在四月份基础上又增长x，所以五月份销售量为件，由此可得方程：，解得x的值即可，需注意增长率x＞0，故负值需舍去，由此可得出答案；
（2）设降价m元，
原来每件利润为40-25=15元，降价m元后，每件利润为(40-m-25)元，由原来月销售量为400件，每降价1元，月销售量增加5件可知：降价m元后，月销售量为(400+5m)件，根据总利润=单件利润×销售数量可得方程：，解得m的值即可得出答案.
（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x，
根据题意，得，
解得，（舍去），
答：四、五这两个月的月平均增长率；
（2）解：设降价m元，商场月获利4250元，
根据题意，得
，
解得，（舍去），
答：当商品降价5元时，商场月获利4250元．
23．【答案】（1）解：∵点 和点在反比例函数上，
∴，
解得：
∴反比例函数的解析式为，点A（2，4），
∵点A（2，4）和点在一次函数上，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为.
（2）解：由（1）可知，点A（2，4），点，
∵轴，
∴点C（0，4），AC＝4，点B到AC的距离为4-（-2）=6，
∴S△ABC=×4×6=12.
（3）解：当一次函数的图象在反比例函数图象上方时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，
由图像可知，当-4＜x＜0或x＞2时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，
∴一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围是-4＜x＜0或x＞2.
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得出函数解析式；
（2）由（1）可知点A（2，4），点，进而求出△ABC的底和高，再根据三角形的面积公式即可求出答案；
（3）直接观察图象，即可得出答案．
（1）解：把点代入，得：
，解得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入，得：，
∴点，
把点，点代入，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵点，轴，
∴，
∴的面积为；
（3）解：观察图象得：当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，
即一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围为或．
24．【答案】（1）解：∵米，，
在中，（米），
答：线段的长为900米；
（2）解：在中，（米），
∴该车车速为（米/秒），
米/秒（千米/小时），
∵54千米/小时千米/小时，
∴该汽车没有超速．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；已知正弦值求边长；已知正切值求边长
【解析】【分析】
（1）直接解直角三角形即可；
（2）先解直角三角形求出米，然后求出该车车速为（米/秒），最后进行比较即可．
（1）解：∵米，，
在中，（米），
答：线段的长为900米；
（2）解：在中，（米），
∴该车车速为（米/秒），
米/秒（千米/小时），
∵54千米/小时千米/小时，
∴该汽车没有超速．
25．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，BC=6 cm，AB=3 cm，
∴BC=AD=6 cm，
根据题意可得，AM=t cm，DN=2t cm，
∴AN=AD-DN=（6-2t）cm，
∵S△AMN=S矩形ABCD，
∴AM·AN=AB·BC，
即12t·（6-2t）=×3×6，
解得：，，
∴当或时，的面积等于矩形面积的.
（2）解：存在某一时刻，使得以A、M、N为顶点的三角形与相似 ，
理由：①当时
∴，
即
解得：，
②当时
∴，
即
解得：
综上所述，当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似.
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；一元二次方程的应用-几何问题；四边形-动点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据题意求出△ANM的直角边，再根据的面积等于矩形面积的，即可得出答案；
（2）根据与相似，分为两种情况讨论即可得出答案.
（1）由题意可知：，
∴
∵的面积等于矩形面积的
∴
解之得：，
∴或时，的面积等于矩形面积的
（2）存在．理由如下：
∵与相似
∴分为两种情况：
①当时
∴，即
解得：
②当时
∴，即
解得：
综上所述，当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似
26．【答案】（1）解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处
∴
把A，E两点坐标代入得，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线与y轴交于点B
∴令时，
∴
设直线AB的解析式为
把A，B两点坐标代入得解得
∴直线AB的解析式为；
∴点C在直线AB上轴于点
当时
∴
∴
∴，，
∴
∴的面积是2．
（3）解：存在，理由如下：
当点P在直线EC上时，
∵点C在抛物线的对称轴为直线
∴
设直线EC的解析式为
，解得
设直线EC交抛物线于点P
∴x+1=-x2+2x+3
解得：（舍去）
即：
当直线EP//AB时，则，
直线AB的解析式为，则设直线EP的解析式为
当时，，即：
直线EP的解析式为
∴-x-1=-x2+2x+3
解得：（舍去）
即：
综上，符合条件的P点坐标是或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；几何图形的面积计算-割补法；二次函数的对称性及应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）先由翻折可得出E点坐标，再由题意知抛物线与x轴的两个交点坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）先由抛物线上点的坐标特征求出点B坐标，可由待定系数法求得直线AB的解析式，再利用直线上点的坐标特征可得点C坐标，则可利用割补法得即可；
（3）由抛物线的对称性可得CE＝CA，则当直线EC交抛物线于点P时，必然满足，此时联立直线EC与抛物线的解析式并解方程即可；另因为内错角相等两直线平行，即当PE//AB时，必然满足，则可设出直线PE的解析式，再利用待定系数法求出PE的解析式，再与抛物线解析式联立方程并求解即可．
1 / 1湖南省常德市初中联盟校2024-2025学年九年级上学期期末数学试题
1．（2024九上·常德期末）同学们，函数是中学数学学习的重要内容，你们已经学习了一次函数、反比例函数、三角函数、二次函数等，对于函数有了一定的了解，请问函数是（　　）
A．一次函数 B．二次函数 C．反比例函数 D．正比例函数
【答案】C
【知识点】一次函数的概念；反比例函数的概念；二次函数的定义；正比例函数的概念
【解析】-【解答】解：根据一次函数、反比例函数、二次函数等函数的概念可知：是反比例函数，
故答案为：C．
【分析】根据各种函数得概念与所给函数解析式进行判断即可得出答案．
2．（2024九上·常德期末）用配方法解一元二次方程 -4x=5时，此方程可变形为（　　）.
A． =1 B． =1 C． =9 D． =9
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．∵ -4x=5，∴ -4x+4=5+4，∴ =9．
故答案为：D．
【分析】配方法解一元二次方程，参考完全平方公式进行配方变形，可知在等式两侧同时加上22 ，然后进行公式变形即可，由此得知答案：D。
3．（2024九上·常德期末）已知 ，那么 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】将原式变形为，据此计算即可.
4．（2024九上·常德期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵，则方程没有实数根，∴A符合题意；
B、∵方程整理得，，则方程有两个相等的实数根，∴B不符合题意；
C、∵，则方程有两个相等的实数根，∴C不符合题意；
D、∵方程整理为，，则方程有两个不相等的实数根，∴D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）逐项分析判断即可.
5．（2024九上·常德期末）2024年5月12日是母亲节，常德市第四中学某学习小组为了解常德市武陵区大约有多少中学生知道自己母亲的生日，随机调查了100个中学生，调查结果发现：只有30个学生知道自己母亲的生日．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法中正确的是（　　）
A．本次调查的方式是采用普查的方式
B．常德市武陵区大约有的中学生知道自己母亲的生日
C．样本是30个中学生，样本容量是30
D．常德市武陵区大约有70个中学生不知道自己母亲的生日
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：A. 本次“随机调查了100个中学生”， 调查的方式是抽样调查，故A错误；
B. 根据样本估计总体可知，常德市武陵区大约有=的中学生知道自己母亲的生日，故B正确；
C. 样本是100个中学生，样本容量是100，故C错误；
D.根据样本估计总体可知， 常德市武陵区大约有1-=的中学生不知道自己母亲的生日，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据抽样调查、总体、个体、样本的定义逐项进行分析判断即可得出答案．
6．（2024九上·常德期末）如图所示，在中，是直角边上一点，于点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求正弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】∵MN⊥AB，∠C=90°，
∴∠ANM=∠C=90°，
在△ANM和△ACB中，
∴（AA），
∴∠AMN=∠B，
∵，
∴sinB=sin∠AMN=，
故答案为：C．
【分析】根据题意易证，可得∠AMN=∠B，进而得出sinB=sin∠AMN即可得出答案.
7．（2024九上·常德期末）把抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后得到点的坐标为（3，4），所以平移后所得抛物线的函数表达式为，
故答案为：C.
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可得出答案．
8．（2024九上·常德期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，里面的大量数学问题充分体现了我国古代人的聪明智慧．《九章算术》中有一个问题专门记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水岸，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（　　）
A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵米，米，
∴（米），
由题意得：，
在△ABE和△CDE中，
∴（AA），
∴，
即，
解得：米，
故答案为：B．
【分析】根据已知可得米，易得，再利用相似三角形的性质即可得出答案.
9．（2024九上·常德期末）式子的值是（　　）
A． B．0 C． D．2
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：原式=
故答案为：B．
【分析】把特殊角的三角函数值代入再进行运算即可得出答案.
10．（2024九上·常德期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，给下以下结论：①2a﹣b＝0；②9a＋3b＋c＜0；③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＋3＝0有两个相等实数根；④8a＋c＜0，其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①由函数图象可知，抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a﹣b＝2a-（-2a）=4a
∵a≠0，
∴2a-b≠0，故①错误；
②根据函数图象可知，当x=-1时，y＝ax2＋bx＋c＜0，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴当x＝3时，y＝ax2＋bx＋c＝9a＋3b＋c＜0，故②正确；
③根据函数图象可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标为（1，﹣3），
∴将二次函数y＝ax2＋bx＋c图象沿y轴正方向平移3个单位长度即可得到y＝ax2＋bx＋c＋3，
此时二次函数y＝ax2＋bx＋c＋3的图象与x轴只有一个交点，
∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＋3＝0有两个相等实数根，故③正确；
④ 根据函数图象可知， 当x＝﹣2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a﹣2b＋c＞0，
由（1）可知，b＝﹣2a，
∴4a﹣2×（﹣2a）＋c＝8a＋c＞0，故④错误，
综上所述：正确的结论有②③．
故答案为：A．
【分析】①由函数图象可知，抛物线的对称轴为x＝1，即可得出2a﹣b＝4a≠0，即可判断①；②根据二次函数的对称性可知，x=-1与x=3的函数值相等，即可判断②；③将二次y＝ax2＋bx＋c图象沿y轴正方向平移3个单位长度，可得出二次函数y＝ax2＋bx＋c＋3的图象与x轴只有一个交点，进而得出一元二次方程ax2＋bx＋c＋3＝0有两个相等实数根，即可判断③；④将x＝﹣2代入二次函数解析式中，可得出y＝4a﹣2b＋c＞0，再结合b＝﹣2a即可得出8a＋c＞0，即可判断④．综上即可得出结论．
11．（2024九上·常德期末）在反比例函数 的图象每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是　 　．
【答案】m＞2
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 在反比例函数 的图象每一条曲线上，y都随x的增大而减小，
∴m-2＞0
解之：m＞2
故答案为：m＞2
【分析】根据反比例函数的性质：，当k＞0时，y随x的增大而减小，当k＜0时，y随x的增大而增大，据此建立关于m的不等式求解即可。
12．（2024九上·常德期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 一元二次方程 中，a=1，b=-6，c=-m，
∵ 于的一元二次方程有两个实数根 ，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题意可知，一元二次方程有两个实数根可知，据此列出不等式求解即可得出答案.
13．（2024九上·常德期末）已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为　 　．
【答案】8
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题可知：
．
不成立，
由三角形的三边关系可知它的第三边长为3，
三角形周长为2+3+3=8．
故答案为：8．
【分析】将方程左边进行因式分解后求出方程的两个根，利用三角形的三边关系可以判断出三角形的第三边长是3，由此即可求出周长．
14．（2024九上·常德期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似，原点O是位似中心，则与的面积比为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵与位似，原点O是位似中心，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】根据点的坐标可得的长，根据位似图形的性质可得，进而得出 ，然后相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案.
15．（2024九上·常德期末）某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况.如表：
节水量/m3 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
家庭数/个 2 4 6 7 1
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是　 　m3.
【答案】130
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：
（0.2×2+0.25×4+0.3×6+0.4×7+0.5×1）÷20=0.325（m3），
因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：
400×0.325=130（m3），
故答案为130.
【分析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答．
16．（2024九上·常德期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE＝6，sinA＝，则菱形ABCD的周长是　 　．
【答案】40
【知识点】菱形的性质；已知正弦值求边长；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴△ADE是直角三角形，
∴，
∴AD=10，
∵菱形四个边是相等的，
∴菱形ABCD的周长=10×4=40.
【分析】根据直角三角形判定定理可得△ADE是直角三角形，再根据锐角三角函数的定义可得，则AD=10，再根据菱形的性质即可求出答案.
17．（2024九上·常德期末）已知拋物线的图象经过三点，则该拋物线的顶点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：因为拋物线的图象经过三点，将三点代入抛物线可得：，
解得：，
所以拋物线的解析式为，
故拋物线的顶点坐标是．
故答案为：.
【分析】根据待定系数法求出函数解析式，再转化为顶点式即可得解．
18．（2024九上·常德期末）已知，如图所示，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，以下结论：①； ②；③；④；⑤；其中正确结论是　 　（填序号）．
【答案】②③⑤
【知识点】正方形的性质；求特殊角的三角函数值；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵点E是BC的中点，
∴BE=BC=AB，
∴tan∠BAE==，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC，∠B=∠C=90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=BC=CD=AB，
∵CF=CD，
∴==2，==2，
∴=，
在△ABE和△ECF中，
，
∴△ABE∽△ECF（SAS）故②正确；
∴∠BAE=∠CEF，
在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，故③正确；
∵ ，
∴DF=，
∵，，
，
和不相似，故④错误．
∵，
，
，
且，
，故⑤正确；
综上所述，正确的为：②③⑤，
故答案为：②③⑤．
【分析】根据正方形的性质和中点定义可得tan∠BAE==，即可求得，即可判断①；根据，，可证，即可判断②；则，进一步证明，则，即可判断③；由得到和不相似，即可判断④；由得到，且，则，即可判断⑤．
19．（2024九上·常德期末）解一元二次方程：．
【答案】解：变形为：，
整理得：3x2-9x+30=0，
∴3（x-2）（x-5）=0，
∴x-2=0或x-5=0，
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先将一元二次方程进行变形后整理得3x2-9x+30=0，再利用因式分解得到3，进而得出或即可求解．
20．（2024九上·常德期末）已知，如图所示，在中，点D在边上，点E在边上，且．求证：．
【答案】解：∵ ，∠DEC=∠EAD+∠ADE，∠ADB=∠EAD+∠C，
∴∠ADE=∠C，
在△AED和△ADC中，
，
∴△AED∽△ADC（AA）.
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和可得∠ADE=∠C，再结合公共角即可证明△AED∽△ADC.
21．（2024九上·常德期末）常德市第四中学体育组老师为了解学校九年级学生体育测试的情况，以九年级某班学生的体育期末测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图（说明：A等级：90分分；B等级：75分分；C等级：60分分；D等级：60分以下）
请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）样本中D等级的学生人数占全班学生人数的百分比是______；
（3）扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数是______；
（4）常德市第四中学九年级现有370名学生，请你用此样本估计体育测试中A等级的学生人数约为多少人？
【答案】（1）解：由条形统计图和扇形统计图可知，A等级人数为10人，所占比例为20%，
∴样本总人数为10÷20%=50人，
∴样本中D等级的人数=50-10-23-12=5人，
则把条形统计图补充完整，如下图所示：
.
（2）
（3）
（4）解：体育测试中A等级的学生人数=370×20%=74人，
估计体育测试中A等级的学生人数约为74人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）由扇形统计图可知，样本中D等级的学生人数占全班学生人数的百分比为：1-20%-46%-24%=10%，
故答案为：；
（3）解：由扇形统计图可知，A等级的学生人数所占百分比为，
∴A等级所在的扇形的圆心角度数=，
故答案为：.
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图求出总人数，进而得出D等级的学生人数，再把条形统计图补全即可；
（2）用1减去A、B、C等级所占百分比即可得出答案；
（3）由扇形统计图可知，A等级的学生人数所占百分比，再乘以360°即可得出答案，；
（4）用样本中A等级的学生所占百分比即可估计出总体中A等级的学生所占百分比，进而得出答案.
（1）解：总人数为（人），
则样本中D等级的学生人数为：（人），
补全条形统计图：
（2）解：样本中D等级的学生人数占全班学生人数的百分比为：
，
故答案为：；
（3）解：∵A等级的学生人数占全班学生人数的百分比为，
∴扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数为：，
故答案为：；
（4）解：（人）
答：估计体育测试中A等级的学生人数约为74人．
22．（2024九上·常德期末）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率．
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
【答案】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得，（舍去），
答：四、五这两个月的月平均增长率.
（2）解：设降价m元，商场月获利4250元，
根据题意得：，
解得，（舍去），
答：当商品降价5元时，商场月获利4250元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，准确列出等量关系式是解题关键．
（1）设四月，五月的月平均增长率为x，
三月份销售量为256件，四月份的销售量是在三月份基础上增长的，所以四月份销售件数为：256(1+x)件；五月份的销售量是在四月份基础上又增长x，所以五月份销售量为件，由此可得方程：，解得x的值即可，需注意增长率x＞0，故负值需舍去，由此可得出答案；
（2）设降价m元，
原来每件利润为40-25=15元，降价m元后，每件利润为(40-m-25)元，由原来月销售量为400件，每降价1元，月销售量增加5件可知：降价m元后，月销售量为(400+5m)件，根据总利润=单件利润×销售数量可得方程：，解得m的值即可得出答案.
（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x，
根据题意，得，
解得，（舍去），
答：四、五这两个月的月平均增长率；
（2）解：设降价m元，商场月获利4250元，
根据题意，得
，
解得，（舍去），
答：当商品降价5元时，商场月获利4250元．
23．（2024九上·常德期末）一次函数与反比例函数，交于点和点，过点A作轴，垂足为C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）连接，求的面积．
（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围．
【答案】（1）解：∵点 和点在反比例函数上，
∴，
解得：
∴反比例函数的解析式为，点A（2，4），
∵点A（2，4）和点在一次函数上，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为.
（2）解：由（1）可知，点A（2，4），点，
∵轴，
∴点C（0，4），AC＝4，点B到AC的距离为4-（-2）=6，
∴S△ABC=×4×6=12.
（3）解：当一次函数的图象在反比例函数图象上方时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，
由图像可知，当-4＜x＜0或x＞2时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，
∴一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围是-4＜x＜0或x＞2.
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得出函数解析式；
（2）由（1）可知点A（2，4），点，进而求出△ABC的底和高，再根据三角形的面积公式即可求出答案；
（3）直接观察图象，即可得出答案．
（1）解：把点代入，得：
，解得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入，得：，
∴点，
把点，点代入，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵点，轴，
∴，
∴的面积为；
（3）解：观察图象得：当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，
即一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围为或．
24．（2024九上·常德期末）如图，在某一路段，规定汽车限速行驶，交通警察在此限速路段的道路上设置了监测区，其中点为监测点，已知点在同一直线上，且米，．
（1）求线段的长；
（2）如果道路的限速为60千米/时，一辆汽车通过段的时间为100秒，请你判断该车是否是超速，并说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）解：∵米，，
在中，（米），
答：线段的长为900米；
（2）解：在中，（米），
∴该车车速为（米/秒），
米/秒（千米/小时），
∵54千米/小时千米/小时，
∴该汽车没有超速．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；已知正弦值求边长；已知正切值求边长
【解析】【分析】
（1）直接解直角三角形即可；
（2）先解直角三角形求出米，然后求出该车车速为（米/秒），最后进行比较即可．
（1）解：∵米，，
在中，（米），
答：线段的长为900米；
（2）解：在中，（米），
∴该车车速为（米/秒），
米/秒（千米/小时），
∵54千米/小时千米/小时，
∴该汽车没有超速．
25．（2024九上·常德期末）如图，在矩形ABCD中，，，动点M以的速度从A点出发，沿向点B运动，同时动点N以的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为秒（）．
（1）当为何值时，的面积等于矩形面积的？
（2）是否存在某一时刻，使得以A、M、N为顶点的三角形与相似 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，BC=6 cm，AB=3 cm，
∴BC=AD=6 cm，
根据题意可得，AM=t cm，DN=2t cm，
∴AN=AD-DN=（6-2t）cm，
∵S△AMN=S矩形ABCD，
∴AM·AN=AB·BC，
即12t·（6-2t）=×3×6，
解得：，，
∴当或时，的面积等于矩形面积的.
（2）解：存在某一时刻，使得以A、M、N为顶点的三角形与相似 ，
理由：①当时
∴，
即
解得：，
②当时
∴，
即
解得：
综上所述，当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似.
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；一元二次方程的应用-几何问题；四边形-动点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据题意求出△ANM的直角边，再根据的面积等于矩形面积的，即可得出答案；
（2）根据与相似，分为两种情况讨论即可得出答案.
（1）由题意可知：，
∴
∵的面积等于矩形面积的
∴
解之得：，
∴或时，的面积等于矩形面积的
（2）存在．理由如下：
∵与相似
∴分为两种情况：
①当时
∴，即
解得：
②当时
∴，即
解得：
综上所述，当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似
26．（2024九上·常德期末）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作轴于点，将沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求的面积；
（3）拋物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处
∴
把A，E两点坐标代入得，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线与y轴交于点B
∴令时，
∴
设直线AB的解析式为
把A，B两点坐标代入得解得
∴直线AB的解析式为；
∴点C在直线AB上轴于点
当时
∴
∴
∴，，
∴
∴的面积是2．
（3）解：存在，理由如下：
当点P在直线EC上时，
∵点C在抛物线的对称轴为直线
∴
设直线EC的解析式为
，解得
设直线EC交抛物线于点P
∴x+1=-x2+2x+3
解得：（舍去）
即：
当直线EP//AB时，则，
直线AB的解析式为，则设直线EP的解析式为
当时，，即：
直线EP的解析式为
∴-x-1=-x2+2x+3
解得：（舍去）
即：
综上，符合条件的P点坐标是或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；几何图形的面积计算-割补法；二次函数的对称性及应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）先由翻折可得出E点坐标，再由题意知抛物线与x轴的两个交点坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）先由抛物线上点的坐标特征求出点B坐标，可由待定系数法求得直线AB的解析式，再利用直线上点的坐标特征可得点C坐标，则可利用割补法得即可；
（3）由抛物线的对称性可得CE＝CA，则当直线EC交抛物线于点P时，必然满足，此时联立直线EC与抛物线的解析式并解方程即可；另因为内错角相等两直线平行，即当PE//AB时，必然满足，则可设出直线PE的解析式，再利用待定系数法求出PE的解析式，再与抛物线解析式联立方程并求解即可．
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