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第四章　三角形
第16讲　线段、角、相交线和平行线
基础题
1.（2024甘肃）若∠A＝55°，则∠A的补角为（　D　）
A.35° B.45° C.115° D.125°
2.（2024雅安）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　A　）
A.55° B.45° C.35° D.30°
3.（2025湖北）数学中的“≠”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示.若∠1＝56°，则∠2的度数是（　D　）
A.34° B.44° C.46° D.56°
4.（2025苏州）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°.若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（　C　）
A.100° B.105° C.110° D.115°
5.（2025广西）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示.测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（　A　）
A.垂线段最短 B.两点确定一条直线
C.两点之间，线段最短 D.两直线平行，内错角相等
6.（2025绥化）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝38°，则∠C的度数是（　C　）
A.16° B.30° C.38° D.76°
7.（2025福建）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为（　B　）
A.5° B.15° C.25° D.35°
第7题图
8.（2025深圳）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜反射后入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为（　B　）
第8题图
A.22° B.32° C.35° D.122°
9.（2025湖南）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时∠CAB＝145°，则∠ABD＝　145°　.
10.（2024连云港）如图，直线a∥b，直线l⊥a，∠1＝120°，则∠2＝　30　°.
11.（2025江西）如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠D.求证：AE∥DF.
证明：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠1.
∵∠1＝∠D，∴∠ACD＝∠D.
∴AE∥DF.
提高题
12.已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合如图，试探索这两个角之间的关系.
图1 图2
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，求∠1与∠2的关系.
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，求∠1与∠2的关系.
（3）由（1）（2）你得出的结论是　如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补　.
（4）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数.
解：（1）∠1＝∠2.
理由：∵AB∥EF，∴∠AGD＝∠2.
∵BC∥DE，∴∠AGD＝∠1.∴∠1＝∠2.
（2）∠1＋∠2＝180°.
理由：∵AB∥EF，∴∠AGE＋∠2＝180°.
∵BC∥DE，∴∠AGE＝∠1，∴∠1＋∠2＝180°.
（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
（4）设另一个角为x°，根据以上结论，得
2x－30＝x或2x－30＝180－x.
解得x＝30或x＝70.
这两个角的度数为30°，30°或110°，70°.
13.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE.
（1）求证：∠E＝∠ECD；
（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状.
（1）证明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，
∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D，
∴BE∥CD，∴∠E＝∠ECD.
（2）解：△BCE是等边三角形.
[提示]由（1）知，BE∥CD，
∴∠ECD＝∠E＝60°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD＝60°，
∴∠B＝180°－∠E－∠BCE＝60°，
∴∠B＝∠BCE＝∠E，
∴△BCE是等边三角形.
第17讲　三角形及其性质
基础题
1.（2025南充）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　D　）
A.120° B.130° C.140° D.150°
2.（2025海口二模）若某三角形的三边长分别为3，5，m，则m的值可以是（　B　）
A.2 B.7 C.8 D.9
3.（2025开封一模）下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AP是∠BAC的平分线的是（　B　）
A.①② B.①③ C.①④ D.①②③
4.物理实验中，小明研究一个小木块在斜坡上滑下时的运动状态，如图，斜坡为Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝13°，小木块△DEF在斜坡AB上，且DE∥BC，EF∥AC，则∠DFE的度数为（　B　）
A.13° B.77° C.87° D.63°
第4题图
5.如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是　三角形具有稳定性　.
第5题图
6.（2025乐山）如图，∠1的度数为　100°　.
第6题图
7.（2025商丘二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积是　6　.
第7题图
8.一副三角板按如图所示的方式放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝　100°　.
9.（2025江西）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图.（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图1中作出BC的中点.
（2）在图2中作出△ABC的重心.
解：（1）如图1，点D即为所求.
（2）如图2，点O即为所求.
提高题
10.（2024郑州模拟）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为－1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是（　C　）
A.1＜x＜7 B.2＜x＜6
C.3＜x＜5 D.3＜x＜4
11.（2025成都一模）如果一个三角形的三边长a，b，c均为偶数，且满足a＜b＜c，则称该三角形为“幸运三角形”.当b＝8时，“幸运三角形”有　 3　个；当b＝2n（n为不小于2的正整数）时，“幸运三角形”有　个.（用含n的代数式表示）
12.如图，点A在第一象限，点A（a，6），点B（b，0），且a，b满足（a－2）2＋｜b＋4｜＝0.
（1）求△AOB的面积.
（2）在坐标轴上是否存在一点P（不和点B重合），使S△AOP＝S△AOB？若存在，请直接写出所有符合题意的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来.
解：（1）∵（a－2）2＋｜b＋4｜＝0，
∴a－2＝0，b＋4＝0.
∴a＝2，b＝－4.
∴A（2，6），B（－4，0）.
∴S△AOB＝OB·yA＝×｜－4｜×6＝12.
（2）当点P在x轴上时，如图1.
图1 图2
设点P的坐标为（m，0），则｜m｜×6＝12.
∴m＝4或m＝－4（舍去）.
∴P（4，0）.
当点P在y轴上时，如图2.
设点P的坐标为（0，n），则｜n｜×2＝12.
∴n＝12或n＝－12.
∴点P的坐标为（0，12）或（0，－12）.
综上，存在点P，使S△AOP＝S△AOB，点P坐标为（4，0）或（0，12）或（0，－12）.
第四章　三角行
第18讲　特殊三角形
基础题
1.（2025陕西）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（　C　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.（2024云南）已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（　C　）
A. B.2 C.3 D.
3.（2025郑州一模）如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，点D是AB边上的中点，DE∥AC，交BC于点E.若∠A＝40°，则∠CDE的度数是（　C　）
A.40° B.35° C.50° D.45°
4.（2025德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD＝1，则GE的长为（　B　）
A.3 B.2 C.1 D.
5.（2024自贡）如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°.则新钢架减少用钢（　D　）
A.（24－12）m B.（24－8）m
C.（24－6）m D.（24－4）m
6.（2024湖南）若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为　100　°.
7.（2025郑州惠济区一模）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC.
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BE，若AB＝8，求BE的长.
解：（1）如图，直线l即为所求.
（2）如图，连接BE.
∵DE为线段AB的垂直平分线，
∴BE＝AE.
∴∠EBA＝∠A＝45°.
∴∠BEA＝90°.
∴sin A＝＝.
∴BE＝AB·＝8×＝4.
提高题
8.（2024眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　D　）
A.24 B.36 C.40 D.44
【解析】如图，直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，
图1 图2
∵图1中大正方形的面积是24，∴a2＋b2＝c2＝24，∵小正方形的面积是4，∴（a－b）2＝a2＋b2－2ab＝4，∴ab＝10，∴图2中最大的正方形的面积为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab＝24＋2×10＝44.故选D.
9.（2024南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（　C　）
A. B. C.2 D.3
【解析】先利用30°的正切值求出AC＝×6＝2，再在Rt△ACD中，用∠CAD的正切值求出CD＝×2＝2，最后利用角平分线的性质及垂线段最短即可解决问题.
10.（2024内江）如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为　100°　.
【解析】∵AC＝AE，BC＝BD，∴设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°，∴∠A＝180°－2x°，∠B＝180°－2y°，∵∠ACB＋∠A＋∠B＝180°，∠BDC＋∠AEC＋∠DCE＝180°，∴∠ACB＋（180°－2x°）＋（180°－2y°）＝180°，180°－（x°＋y°）＝∠DCE，∴∠ACB＋360°－2（x°＋y°）＝180°，∴∠ACB＋2∠DCE＝180°，∵∠DCE＝40°，∴∠ACB＝100°.
11.（2024湖北）如图，由三个全等的三角形（△ABE，△BCF，△CAD）与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC.连接BD并延长交AC于点G.若AE＝ED＝2.则（1）∠FDB的度数是　30°　；（2）DG的长是　.
【解析】（1）利用三角形全等及AE＝DE可得BF＝DF，再利用三角形的外角性质结合可求得∠FDB＝∠FBD＝∠EFD＝30°；（2）作CH⊥BG交BG的延长线于点H，利用直角三角形的性质求得CH＝1，DH＝，证明△ADG∽△CHG，利用相似三角形的性质列式计算即可求解.
12.（2025周口三模）如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝60°，AB＝2，点M，N分别在线段AC，AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△CDM为直角三角形时，AM的长为　或2－2　.
【解析】∵∠B＝90°，∠A＝60°，AB＝2，∴∠C＝30°，AC＝2AB＝4，∵将△ANM沿直线MN折叠得到△DNM，∴AM＝DM，AN＝DN，∠A＝∠MDN＝60°.根据题意，可分两种情况讨论：①如图1，当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形，设AM＝DM＝x（x＞0），则CM＝AC－AM＝4－x，∵∠C＝30°，∴CM＝2DM，即4－x＝2x，解得x＝，∴AM＝；②如图2，当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，设AM＝DM＝x（x＞0），则CM＝AC－AM＝4－x，CD＝2x，∴CD2＝DM2＋CM2，即（2x）2＝x2＋（4－x）2，解得x＝2－2（负值已舍去），∴AM＝2－2.综上所述，AM的长为或2－2.
第19讲　全三角形
基础题
1.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O，若∠1＝40°，则∠BDE的度数为（　D　）
A.30° B.40° C.60° D.70°
第1题图
2.（2024广州）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（　C　）
A.18 B.9 C.9 D.6
第2题图
3.（2025达州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，连接BD，则△BDC的周长为（　C　）
A.21 B.14 C.13 D.9
4. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P＋∠Q＝　45　度.
第4题图
5.如图，△ABC的面积为10 cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△BCP的面积为　5　 cm2.
第5题图
6.（2025陕西）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC.求证：BE＝AC.
证明：∵点D是BC延长线上一点，DE∥AB，
∴∠D＝∠ABC.
在△BDE和△ABC中，，
∴△BDE≌△ABC（SAS）.
∴BE＝AC.
7.（2025浙江模拟）小甬按如图方式测量旗杆的高度AB，将A处的绳子笔直拉至地面C处，使B，C间距离等于小甬直立时眼睛离地的高度DE，在C处放置一块直角三角板PMN，使直角顶点P落在C处，边PN与绳子重合，随后小甬后退至D处直立，使眼睛E与点M，P在同一直线上.小甬认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由.
解：认同.
理由：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°.∴∠ACB＋∠A＝90°.
∵∠ACE＝90°，
∴∠ACB＋∠ECD＝90°.∴∠A＝∠ECD.
又∵BC＝DE，
∴△ABC≌△CDE（AAS）.
∴AB＝CD，即CD的长等于旗杆高度AB.
提高题
8.如图，△ACB在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点O是AC的中点，点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为　（－5，0）　.
9.如图1，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上.
（1）【动手操作】
如图2，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为　135　°；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图3，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由.
解：（1）画出图形如图1.
图1 图2
∠PBE的度数为135°.
（2）PA＝PE，理由如下：
过P作PM∥AB交AC于M，如图2.
∴∠MPC＝∠ABC＝45°，
∴△PCM是等腰直角三角形，
∴CP＝CM，∠PMC＝45°，
∴CA－CM＝CB－CP，即AM＝BP，∠AMP＝135°＝∠PBE，
∵∠APE＝90°，∴∠EPB＝90°－∠APC＝∠PAC，
∴△APM≌△PEB（ASA），∴PA＝PE.
（3）当P在线段BC上时，过P作PM∥AB交AC于M，如图3.
图3 图4
由（2）可知，BE＝PM，BP＝AM，
∵AB＝（AM＋CM），∴AB＝BP＋CM，
∵PM＝CM，∴AB＝BP＋BE；
当P在线段CB的延长线上时，过P作PN⊥BC交BE于N，如图4.
∵∠ABD＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠PBN＝180°－∠ABC－∠ABD＝45°，
∴△BPN是等腰直角三角形，∠ABP＝135°，
∴BP＝NP，BN＝BP，∠PNB＝45°，∴∠PNE＝135°＝∠ABP，
∵∠APE＝90°，∴∠EPN＝90°－∠APN＝∠APB，
∴△EPN≌△APB（ASA），∴EN＝BA，
∵BE＝EN＋BN，∴BE＝BA＋BP.
综上所述，当P在线段BC上时，AB＝BP＋BE；当P在线段CB的延长线上时，BE＝BA＋BP.
第20讲　相似三角形
基础题
1.（2024连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　D　）
A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁
2.（2025绥化）两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是（　B　）
A.14 cm B.18 cm C.30 cm D.34 cm
3.（2024重庆）若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是（　D　）
A.1∶3 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶9
4.（2024湖南）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点.下列结论中，错误的是（　D　）
A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC
C.BC＝2DE D.＝
第4题图
5.（2025广东）如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是　1∶3　.
第5题图
提高题
6.（2025黑龙江）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长度为（　A　）
A. B. C.2 D.
7.（2024德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（　D　）
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】∵PB⊥PC，∴点P在以BC为直径的圆上.如图所示，∵四边形ABCD是黄金矩形，∴令AB＝CD＝（－1）a，AD＝BC＝2a，∴⊙M的半径为a.∵（－1）a－a＝（－2）a＞0，∴AD边与⊙M相离，∴AD边上满足PB⊥PC的点P的个数为0.
8.（2024上海）如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD.
（1）求证：AD2＝DE·DC；
（2）F为线段AE延长线上一点，且满足EF＝CF＝BD，求证：CE＝AD.
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，AB＝DC，∴∠AED＋∠DAE＝90°，∵AE⊥BD，∴∠DAE＋∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠AED，∴△ADE∽△BAD，∴＝，
∴AD2＝DE·BA，∵AB＝DC，
∴AD2＝DE·DC.
（2）如图，连接AC，交BD于点O，由（1）知∠ADB＝∠AED，∵∠FEC＝∠AED，
∴∠ADO＝∠FEC.
∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD＝BD，∵EF＝CF＝BD，∴OA＝OD＝EF＝CF，
∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE，
∵∠ADO＝∠FEC，
∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE，
∴△ODA≌△FEC（AAS），∴CE＝AD.
9.（2024临夏州）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE＝∠DAF.
【模型建立】（1）求证：AF⊥BE；
【模型应用】（2）若AB＝2，AD＝3，DF＝BF，求DE的长；
【模型迁移】（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DF＝BF，求的值.
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠ABE＝∠DAF，∴∠AOE＝∠BAF＋∠ABE＝∠BAF＋∠DAF＝∠BAD＝90°，∴AF⊥BE.
（2）解：如图1，延长AF交CD于点G，∵GD∥AB，∴△GDF∽△ABF，∴＝，∵DF＝BF，AB＝2，AD＝3，
∴GD＝AB＝×2＝1，
∵∠BAE＝∠ADG＝90°，∠ABE＝∠DAG，∴△ABE∽△DAG，∴＝＝，
∴AE＝AB＝×2＝，
∴DE＝AD－AE＝3－＝.
（3）解：如图2，延长AF交CD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADH＝90°，设AB＝AD＝2m，
∵HD∥AB，∴△HDF∽△ABF，∴＝＝，∵DF＝BF，∴HD＝AB＝×2m＝m，HF＝AF，∴AH＝＝＝m，∴AF＝AH＝×m＝m，∴＝＝，∴的值为.
第21讲　锐角三角函数及其应用
基础题
1.（2025广西）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，则sin B的值为（　B　）
A. B. C. D.
2.（2025深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC为10米，斜道AC长为30米，则sin A的值为（　D　）
A. B.3 C. D.
3.（2024山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　C　）
A.155° B.125° C.115° D.65°
4.（2024德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB，CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（　B　）
A.20米 B.15米 C.12米 D.（10＋5）米
5.（2024湖南）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为　（6－2）　分米（结果用含根号的式子表示）.
图1图2
6.（2025广安）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛.如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为30°，A，C两点的距离为24 m.无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为36.9°（点O，A，B，C在同一平面内）.求无人机从A点到B点的上升高度AB.（结果精确到0.1 m.参考数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75，≈1.73）
解：如图，标记点D，点E.
由题意得，DB∥AE∥CO，
∴∠BCO＝∠DBC＝36.9°，∠ACO＝∠EAC＝30°.
在Rt△ACO中，AC＝24 m，
∴AO＝AC＝12（m），CO＝AO＝12（m）.
在Rt△BCO中，BO＝CO·tan 36.9°≈12×0.75＝9（m）.
∴AB＝BO－AO＝9－12≈3.6（m）.
∴无人机从A点到B点的上升高度AB约为3.6 m.
7.（2025湖南）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB.在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l.
（1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度；
（2）如图2，为避免（1）中的连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？
（结果保留整数，参考数据：sin 76.1°≈0.97，cos 76.1°≈0.24，tan 76.1°≈4.04）
解：（1）由题意得，AG⊥GM，四边形BGMN为矩形，
在Rt△AGM中，AG＝＝＝
5（分米），MN＝BG.
∵AB＝19分米，
∴BG＝AB－AG＝19－5＝14（分米）.
∴MN＝BG＝14（分米）.
∴该连衣裙MN的长度为14分米.
（2）如图，过M作MK⊥AB于K.
在Rt△AKM中，AM＝13分米，∠BAM＝76.1°，
∴AK＝AM·cos 76.1°＝13×0.24＝3.12（分米）.
∵AB＝19分米，
∴BK＝AB－AK＝19－3.12＝15.88（分米）.
由（1）知，该连衣裙的长度MN为14分米，
∴BK－MN＝15.88－14＝1.88≈2（分米）.
∴该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米.
提高题
8.（2024眉山）如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为　（4－2）　米.
【解析】如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，由坡度i＝1∶2可得＝，在Rt△BEH中，利用勾股定理可求得BH＝2米，EH＝4米.在Rt△AEH中，易求AH＝EH＝4米，所以AB＝AH－BH＝（4－2）米.
9.（2024赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度.如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且AC＝10米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为45°，古树底部A的俯角为65°，则古树AB的高度约为　11.5　米.（结果精确到0.1米.参考数据：sin 65°≈0.906，cos 65°≈0.423，tan 65°≈2.145）
10.（2024乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地.
送行二步与人齐，五尺人高曾记.
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺（假设秋千的绳索拉得很直）.
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h.根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α，β和h的式子表示；如果不能，请说明理由.
解：（1）如图，过点A'作A'B⊥OA于点B.
设秋千绳索的长度为x尺.
由题可知，OA＝OA'＝x尺，AB＝5－1＝4（尺），A'B＝10尺，
∴OB＝OA－AB＝（x－4）尺.
在Rt△OA'B中，由勾股定理，得A'B2＋OB2＝OA'2，
∴102＋（x－4）2＝x2，解得x＝14.5.
答：秋千绳索的长度为14.5尺.
（2）能.由题意可知，∠OPA'＝∠OQA″＝90°，OA'＝OA″＝OA.
在Rt△OA'P中，cos α＝，∴OP＝OA'·cos α＝OA·cos α，
同理，OQ＝OA″·cos β＝OA·cos β，
∵OQ－OP＝h，∴OA·cos β－OA·cos α＝h，∴OA·（cos β－cos α）＝h，
∴OA＝.第四章　三角形
第16讲　线段、角、相交线和平行线
基础题
1.（2024甘肃）若∠A＝55°，则∠A的补角为（　 　）
A.35° B.45° C.115° D.125°
2.（2024雅安）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　 　）
A.55° B.45° C.35° D.30°
3.（2025湖北）数学中的“≠”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示.若∠1＝56°，则∠2的度数是（　 　）
A.34° B.44° C.46° D.56°
4.（2025苏州）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°.若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（　 　）
A.100° B.105° C.110° D.115°
5.（2025广西）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示.测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（　 　）
A.垂线段最短 B.两点确定一条直线
C.两点之间，线段最短 D.两直线平行，内错角相等
6.（2025绥化）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝38°，则∠C的度数是（　 　）
A.16° B.30° C.38° D.76°
7.（2025福建）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为（　 　）
A.5° B.15° C.25° D.35°
第7题图
8.（2025深圳）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜反射后入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为（　 　）
第8题图
A.22° B.32° C.35° D.122°
9.（2025湖南）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时∠CAB＝145°，则∠ABD＝ .
10.（2024连云港）如图，直线a∥b，直线l⊥a，∠1＝120°，则∠2＝ °.
11.（2025江西）如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠D.求证：AE∥DF.
提高题
12.已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合如图，试探索这两个角之间的关系.
图1 图2
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，求∠1与∠2的关系.
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，求∠1与∠2的关系.
（3）由（1）（2）你得出的结论是 .
（4）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数.
13.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE.
（1）求证：∠E＝∠ECD；
（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状.
第17讲　三角形及其性质
基础题
1.（2025南充）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　 　）
A.120° B.130° C.140° D.150°
2.（2025海口二模）若某三角形的三边长分别为3，5，m，则m的值可以是（　 　）
A.2 B.7 C.8 D.9
3.（2025开封一模）下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AP是∠BAC的平分线的是（　 　）
A.①② B.①③ C.①④ D.①②③
4.物理实验中，小明研究一个小木块在斜坡上滑下时的运动状态，如图，斜坡为Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝13°，小木块△DEF在斜坡AB上，且DE∥BC，EF∥AC，则∠DFE的度数为（　 　）
A.13° B.77° C.87° D.63°
第4题图
5.如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 .
第5题图
6.（2025乐山）如图，∠1的度数为 .
第6题图
7.（2025商丘二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积是 .
第7题图
8.一副三角板按如图所示的方式放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝ .
9.（2025江西）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图.（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图1中作出BC的中点.
（2）在图2中作出△ABC的重心.
提高题
10.（2024郑州模拟）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为－1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是（　 　）
A.1＜x＜7 B.2＜x＜6
C.3＜x＜5 D.3＜x＜4
11.（2025成都一模）如果一个三角形的三边长a，b，c均为偶数，且满足a＜b＜c，则称该三角形为“幸运三角形”.当b＝8时，“幸运三角形”有 个；当b＝2n（n为不小于2的正整数）时，“幸运三角形”有 　个.（用含n的代数式表示）
12.如图，点A在第一象限，点A（a，6），点B（b，0），且a，b满足（a－2）2＋｜b＋4｜＝0.
（1）求△AOB的面积.
（2）在坐标轴上是否存在一点P（不和点B重合），使S△AOP＝S△AOB？若存在，请直接写出所有符合题意的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来.
第四章　三角行
第18讲　特殊三角形
基础题
1.（2025陕西）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（　 　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.（2024云南）已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（　 　）
A. B.2 C.3 D.
3.（2025郑州一模）如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，点D是AB边上的中点，DE∥AC，交BC于点E.若∠A＝40°，则∠CDE的度数是（　 　）
A.40° B.35° C.50° D.45°
4.（2025德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD＝1，则GE的长为（　 　）
A.3 B.2 C.1 D.
5.（2024自贡）如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°.则新钢架减少用钢（　 　）
A.（24－12）m B.（24－8）m
C.（24－6）m D.（24－4）m
6.（2024湖南）若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 °.
7.（2025郑州惠济区一模）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC.
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BE，若AB＝8，求BE的长.
提高题
8.（2024眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　 　）
A.24 B.36 C.40 D.44
9.（2024南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（　 　）
A. B. C.2 D.3
10.（2024内江）如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 .
11.（2024湖北）如图，由三个全等的三角形（△ABE，△BCF，△CAD）与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC.连接BD并延长交AC于点G.若AE＝ED＝2.则（1）∠FDB的度数是 ；（2）DG的长是 　.
12.（2025周口三模）如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝60°，AB＝2，点M，N分别在线段AC，AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△CDM为直角三角形时，AM的长为 .
第19讲　全三角形
基础题
1.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O，若∠1＝40°，则∠BDE的度数为（　 　）
A.30° B.40° C.60° D.70°
第1题图
2.（2024广州）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（　 　）
A.18 B.9 C.9 D.6
第2题图
3.（2025达州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，连接BD，则△BDC的周长为（　 　）
A.21 B.14 C.13 D.9
4. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P＋∠Q＝ 度.
第4题图
5.如图，△ABC的面积为10 cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△BCP的面积为 cm2.
第5题图
6.（2025陕西）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC.求证：BE＝AC.
7.（2025浙江模拟）小甬按如图方式测量旗杆的高度AB，将A处的绳子笔直拉至地面C处，使B，C间距离等于小甬直立时眼睛离地的高度DE，在C处放置一块直角三角板PMN，使直角顶点P落在C处，边PN与绳子重合，随后小甬后退至D处直立，使眼睛E与点M，P在同一直线上.小甬认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由.
提高题
8.如图，△ACB在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点O是AC的中点，点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为 .
9.如图1，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上.
（1）【动手操作】
如图2，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为 °；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图3，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由.
第20讲　相似三角形
基础题
1.（2024连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　 　）
A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁
2.（2025绥化）两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是（　 　）
A.14 cm B.18 cm C.30 cm D.34 cm
3.（2024重庆）若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是（　 　）
A.1∶3 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶9
4.（2024湖南）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点.下列结论中，错误的是（　 　）
A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC
C.BC＝2DE D.＝
第4题图
5.（2025广东）如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是 .
第5题图
提高题
6.（2025黑龙江）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长度为（　 　）
A. B. C.2 D.
7.（2024德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（　 　）
A.3 B.2 C.1 D.0
8.（2024上海）如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD.
（1）求证：AD2＝DE·DC；
（2）F为线段AE延长线上一点，且满足EF＝CF＝BD，求证：CE＝AD.
9.（2024临夏州）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE＝∠DAF.
【模型建立】（1）求证：AF⊥BE；
【模型应用】（2）若AB＝2，AD＝3，DF＝BF，求DE的长；
【模型迁移】（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DF＝BF，求的值.
第21讲　锐角三角函数及其应用
基础题
1.（2025广西）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，则sin B的值为（　 　）
A. B. C. D.
2.（2025深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC为10米，斜道AC长为30米，则sin A的值为（　 　）
A. B.3 C. D.
3.（2024山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　 　）
A.155° B.125° C.115° D.65°
4.（2024德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB，CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（　 　）
A.20米 B.15米 C.12米 D.（10＋5）米
5.（2024湖南）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 分米（结果用含根号的式子表示）.
图1图2
6.（2025广安）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛.如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为30°，A，C两点的距离为24 m.无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为36.9°（点O，A，B，C在同一平面内）.求无人机从A点到B点的上升高度AB.（结果精确到0.1 m.参考数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75，≈1.73）
7.（2025湖南）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB.在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l.
（1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度；
（2）如图2，为避免（1）中的连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？
（结果保留整数，参考数据：sin 76.1°≈0.97，cos 76.1°≈0.24，tan 76.1°≈4.04）
提高题
8.（2024眉山）如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为 米.
9.（2024赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度.如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且AC＝10米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为45°，古树底部A的俯角为65°，则古树AB的高度约为 米.（结果精确到0.1米.参考数据：sin 65°≈0.906，cos 65°≈0.423，tan 65°≈2.145）
10.（2024乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地.
送行二步与人齐，五尺人高曾记.
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺（假设秋千的绳索拉得很直）.
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h.根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α，β和h的式子表示；如果不能，请说明理由.

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