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4.5.2 用二分法求方程的近似解
1.通过求具体方程的近似解了解二分法.
2.根据具体函数图象，能够借助计算器或信息技术用二分法求方程的近似解.
生活情景：如何发现“假币”
在24枚崭新的金币中，混入了一枚外表相同但重量较轻的假币，现在只有一台天平，请问：需要称几次就可发现这枚假币
第一次
假
假
第二次
第三次
第四次
思想：一分为二，逐步缩小范围，逼近准确值.
思考1：我们已经知道，函数f(x)=ln x+2x 6在区间(2，3)内存在一个零点.进一步地，如何求出这个零点呢
2
3
发现：如果能像称金币一样，将零点所在的范围尽量缩小，并借助零点存在定理，就能得到零点的近似值！
已知函数f(x)=ln x+2x 6在区间(2，3)内存在一个零点.
为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.
a
b
探究一　二分法的概念
小组活动：根据以上不断取区间中点的方法，借助如下表格，用计算
工具尝试确定该零点的近似值，
(2，3)
(2.5，3)
(2.5，2.75)
(2.5，2.625)
(2.5，2.562 5)
(2.531 25，2.562 5)
(2.531 25，2.546 875)
(2.531 25，2.539 062 5)
取区间(2，3)的中点2.5，用计算工具算得f(2.5)≈ 0.084.
因为f(2.5)f(3)<0，所以零点在区间(2.5，3)内.
再取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算工具算得f(2.75)≈0.512.
因为f(2.5)f(2.75)<0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.
由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围变小了.
如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小.
(2，3) 2.5 0.084 1
(2.5，3) 2.75 0.512 0.5
(2.5，2.75) 2.625 0.215 0.25
(2.5，2.625) 2.562 5 0.066 0.125
(2.5，2.562 5) 2.531 25 0.009 0.0625
(2.531 25，2.562 5) 2.546 875 0.029 0.03125
(2.531 25，2.546 875) 2.539 062 5 0.010 0.015625
(2.531 25，2.539 062 5) 2.535 156 25 0.001 0.007813
如下表所示，重复步骤，零点所在的范围越来越小.
我们可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值.
例如，当精确度为0.01时，因为|2.539 062 5 2.531 25|=0.007 812 5<0.01，
所以区间(2.531 25，2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值，
也可以将 x=2.531 25 作为函数 f(x)=ln x+2x 6 零点的近似值，
也即方程 ln x+2x 6=0 的近似解.
二分法的概念
对于在区间[a，b]上图象连续不断，且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
判断一个函数能否用二分法的依据
其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.
归纳总结
合作与交流：
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解吗
不是，如函数f(x)=x 2用二分法求出的解就是精确解.
(2)是否所有的函数都可以用二分法求近似零点
不是，如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值，如f(x)=|x|.
(3)用二分法最后一定能求出函数的零点吗
不能，只有达到精确度后，所得区间内任一数才均可视为零点的近似值.
(4)二分法的解题原理是什么
函数零点存在定理.
解：A中，函数无零点.B和D中，函数有零点，但它们在零点左右两侧的函数值符号均相同，因此它们都不能用二分法来求零点.而在C中，函数的图象是一条连续不断的曲线，图象与x轴有公共点，并且在零点的左右两侧的函数值符号相反，故选C.
下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是(　　)
C
做一做1：
1.若函数f(x)的图象如图所示，则其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A.4，4 B.3，4
C.5，4 D.4，3
D
解析：函数的图象与x轴有4个公共点，所以零点的个数为4；左右两侧函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3.故选D.
练一练
思考2：(1)用二分法求函数零点的近似值时，函数需要满足什么条件
函数需要满足的条件是：
①f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断；
②在区间[a，b]端点的函数值满足f(a)f(b)<0.
探究二　二分法的应用
(2)在《庄子·天下》中有一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，
若给所取木棍规定一个长度，是否就可以停止取半
同样给区间规定一个长度，是否也可以结束周而复始的运算
可以，所以用二分法求函数零点的近似值时，规定了精确度.
给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b=c；
③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a=c.
(4)判断是否达到精确度ε：
若|a b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)~(4).
归纳总结
解：经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，
所以函数在区间(1，1.5)内存在零点x0.
取区间(1，1.5)的中点x1=1.25，经计算f(1.25)<0，
因为f(1.25)f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).
重复上述步骤，使零点所在的范围越来越小，
得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
用二分法求函数f(x)=x3 x 1在区间[1，1.5]内零点的近似值(精确度为0.01).
做一做2：
则x0∈(1.320 312 5，1.328 125).
因为|1.328 125 1.320 312 5|=0.007 812 5<0.01，
所以函数f(x)=x3 x 1在区间[1，1.5]上零点的近似值可取为1.328 125.
零点所在区间 中点的值 中点函数值符号
(1，1.5) 1.25 f(1.25)<0
(1.25，1.5) 1.375 f(1.375)>0
(1.25，1.375) 1.312 5 f(1.312 5)<0
(1.312 5，1.375) 1.343 75 f(1.343 75)>0
(1.312 5，1.343 75) 1.328 125 f(1.328 125)>0
(1.312 5，1.328 125) 1.320 312 5 f(1.320 312 5)<0
用二分法求函数f(x)=x3 x 1在区间[1，1.5]内零点的近似值(精确度为0.01).
规律方法　
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，
逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，
终止计算，得到函数零点的近似值.
(3)确定函数的零点个数时，要结合函数的单调性.
2.证明函数f(x)=2x+3x 6在区间(1，2)内有唯一零点，并求出这个零点的近似值(精确度为0.1).
解：∵f(1)= 1<0，f(2)=4>0，即f(1)f(2)<0，
又f(x)是增函数，∴函数f(x)=2x+3x 6在区间(1，2)内有唯一零点.设该零点为x0，则x0∈(1，2).取x1=1.5，f(1.5)≈1.328>0，
∵f(1)f(1.5)<0，∴x0∈(1，1.5).取x2=1.25，f(1.25)≈0.128>0，
∵f(1)f(1.25)<0，∴x0∈(1，1.25).取x3=1.125，f(1.125)≈ 0.444<0，
∵f(1.125)f(1.25)<0，∴x0∈(1.125，1.25).取x4=1.187 5，f(1.1875)≈ 0.160<0，
∵f(1.1875)f(1.25)<0，∴x0∈(1.1875，1.25).
∵|1.25 1.1875|=0.0625<0.1，
∴可取x0=1.25，则函数的零点的近似值可取为1.25.
练一练
解：令f(x)=2x3+3x 3，经计算，f(0)= 3<0，
f(1)=2>0，因为f(0)f(1)<0，
所以函数f(x)在区间(0，1)内存在零点x0.
取区间(0，1)的中点0.5，f(0.5)<0，
因为f(0.5)f(1)<0，所以x0∈(0.5，1).
如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表：
用二分法求方程2x3+3x 3=0的一个正实数近似解(精确度为0.1).
做一做3：
则x0∈(0.687 5，0.75).
因为|0.687 5 0.75|=0.062 5<0.1，
所以方程2x3+3x 3=0的一个精确度为0.1的正实数的近似解可取为0.687 5.
零点所在区间 中点的值 中点函数值符号
(0，1) 0.5 f(0.5)<0
(0.5，1) 0.75 f(0.75)>0
(0.5，0.75) 0.625 f(0.625)<0
(0.625，0.75) 0.687 5 f(0.687 5)<0
用二分法求方程2x3+3x 3=0的一个正实数近似解(精确度为0.1).
规律方法
用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复步骤.
因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算.右图就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图.
定义 f(x)
输入ε，a，b
f(a)f(c)<0
b=c
|a b|< ε
输出解x=a
f(c)=0
a=c
是
否
a=c
是
是
否
否
开始
结束
(1)知识：
二分法的思想和步骤
函数零点的分类
二分法的适用范围
(2)思想：
数形结合的思想
二分法思想
转化思想
方法技巧
二分法求函数零点的要点：
定区间，找中点，中值计算两边看；
零点落在异号间，区间长度缩一半；
周而复始怎么办 精确度上来判断.
解析：令f(x)=log2x+x 2，则f(1)=log21+1 2= 1<0，f(2)=log22+2 2=1>0，
故f(1)f(2)<0，由函数零点存在定理可知，函数的零点在区间(1，2)内，
故方程log2x+x=2的近似解可以取的一个区间是(1，2).
故选B.
1. 用二分法求方程log2x+x=2的近似解时，可以取的一个区间是(　　)
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
B
解析：令f(x)=x3 2x 3，f(1)= 4<0，f(2)=1>0，f(1.5)=1.53 6<0，
所以确定的下一个有根的区间是(1.5，2).
2. 求方程x3 2x 3=0在区间(1，2)内的实数根，用二分法确定的下一个有根的区间是　　　　.
(1.5，2)
3.用二分法求方程2x+x=4在区间[1，2]内的近似解(精确度为0.2).
解：令f(x)=2x+x 4，则f(1)=2+1 4<0，f(2)=22+2 4>0.
则函数零点x0∈(1.375，1.5).
∵|1.375 1.5|=0.125<0.2，∴2x+x=4在区间[1，2]内的近似解可取为1.375.
零点所在区间 中点的值 中点函数值符号
(1，2) 1.5 0.33>0
(1，1.5) 1.25 0.37<0
(1.25，1.5) 1.375 0.031<0

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