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(共27张PPT)
4.5.1　函数的零点与方程的解
1.了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的公共点的横坐标之间的联系．
2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间．
3.能借助函数单调性及图象判断零点的个数．
中外历史上的方程求解（视频）
y
6
3
x
2
在图象上显示为：
O
一元二次方程的实数根
相应二次函数的零点
方程x2 5x+6=0的根为x1=2,x2=3
二次函数f(x)=x2 5x+6的零点就是2和3．
对于一般的函数y=f（x），它的函数零点该如何研究呢？
做一做1：画出下列函数的图象（小组合作完成）
(1) f(x)=x1 f(x)=x22x+1
(2) f(x)= f(x)=
(3) f(x)=2x1 f(x)=log2x
思考：当函数和x轴有交点时,其交点横坐标与方程 f(x)=0 的解有什么关系
再任意画几个函数的图象,观察其图象,看看其交点横坐标与相应方程 f(x)=0 的解有什么关系
探究一：函数的零点
1.函数的零点
零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点．
问：函数的“零点”是点吗
函数y=f(x)的零点不是点，而是方程f(x)=0的实数解,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
等价关系：
方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点
根据零点的定义判断对错与填空．
(1)任何函数都有零点． (　 )
(2)函数y=x2的零点是(2,0)． (　 )
(3)如右图所示,函数f(x)的零点是________．
解：(1)错,函数的图象与x轴无公共点的函数没有零点,如y=．
(2)错,函数的零点是函数的图象与x轴的公共点的横坐标,而不是公共点．
(3)根据图象,函数的图象与x轴的公共点的横坐标是 1,3,所以零点为 1,3．
×
×
1,3
试一试
函数零点的求法
求函数的零点通常有两种方法：
一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的根求得函数的零点；
二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点．
归纳总结
1.求下列函数的零点
(1)f(x)=2x+3；
(2)f(x)=2x 4．
解：(1)(方法1)函数f(x)=2x+3的零点就是使2x+3=0的实数x,求该函数的零点就是求方程2x+3=0的实数解．由2x+3=0,得x= ,
所以函数f(x)=2x+3的零点是x= ．
(方法2)画出函数的图象,如图,函数的图象与x轴公共点的横坐标为 ,则函数f(x)=2x+3的零点为 ．
练一练
(2) (方法1)函数f(x)=2x 4的零点就是使2x 4=0的实数x,求该函数的零点就是求方程2x 4=0的实数解．由2x 4=0,得x=2,所以函数f(x)=2x 4的零点是x=2．
(方法2)画出函数的图象,如图,函数的图象与x轴公共点的横坐标为2,则函数f(x)=2x 4的零点为2．
1.求下列函数的零点
(2)f(x)=2x 4．
练一练
探究二　函数零点存在定理
做一做2：观察函数的图象并填空.
x
y
O
a
b
c
d
O
y
x
g
e
1. 在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．在区间(a,b)上______(有/无)零点；
2. 在区间(b,c)上f(b)·f(c) _____ 0(“＜”或“＞”)．在区间(b,c)上______(有/无)零点；
3. 在区间(c,d)上f(c)·f(d) _____ 0(“＜”或”＞”)．在区间(c,d)上______(有/无)零点；
4. 在区间(e,g)上f(e)·f(g) _____ 0(“＜”或”＞”)．在区间(e,g)上______(有/无)零点；
有
<
<
有
<
有
<
无
说一说：与同桌交流，尝试归纳在怎样的条件下,函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点
x
y
O
a
b
c
d
O
y
x
g
e
零点存在定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b) 内至少有一个有零点,
即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的解．
定理要求具备两个条件：
①函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线；
② f (a)· f (b)＜0．
归纳总结
x
y
O
a
b
O
y
x
b
a
O
y
x
b
a
O
y
x
b
a
思考：如果不满足这两个条件可以吗？
①函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线；
② f (a)· f (b)＜0．
探究三　函数零点区间及零点个数的判断
(1)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x 3的零点所在的区间为( )
A.( ,0) B.(0,) C.() D. ()
解：(1)由指数函数和一次函数的性质,可知函数f(x)在定义域R上单调递增．因为f()= 2<0,f()= 1>0,所以f()f()<0,所以零点在区间()内．
C
做一做3：
x 3 2 1 0 1 2 3 4
f(x) 6 m 4 6 6 4 n 6
(2)二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是( )
A. ( 3, 1),(2,4) B. ( 3, 1),( 1,1)
C. ( 1,1),(1,2) D. ( ∞, 3),(4,+∞)
(2)显然二次函数f(x)在定义域R上的图象是一条连续不断的曲线,且f( 3)=6>0,
f( 1)= 4<0,所以方程在区间( 3, 1)内必有实数根,又f(2)= 4<0,f(4)=6>0,所以在区间(2,4)内必有实数根,故选A．
A
做一做3：
判断单调函数零点所在区间的方法：
1. 先判断函数在区间上的图象是否为一条连续不断的曲线．
2. (1)代入：将区间端点值代入函数解析式求出函数值；
(2)判断：把所得的函数值相乘,并进行符号判断；
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,
若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点．
归纳总结
2.函数f(x)=ln x 的零点所在的大致区间是( )
A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (e,+∞)
解析：由题意知,函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增．
∵f(1)= 2<0,f(2)=ln 2 1<0,∴在区间(1,2)内f(x)无零点．
又f(3)=ln 3 >0,∴f(2)f(3)<0,∴f(x)在区间(2,3)内有零点．
∴f(x)在区间(3,4),(e,+∞)内均无零点．故选B．
B
练一练
(1)函数f(x)=的零点个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
解析：(1)当x≤0时,
由f(x)=x2+2x 3=0,得x1= 3,x2=1(舍去)；
当x>0时,由f(x)= 2+ln x=0,得x=e2．
故函数的零点个数是2．故选B．
B
做一做4：(完成下列练习，与同学交流，比较你们的方法是否相同)
(2)判定函数f(x)=ln x+x2 3的零点的个数．
解析：(方法1)∵f(1)=ln 1+12 3= 2<0,f(2)=ln 2+22 3=ln 2+1>0,
∴f(1)f(2)<0．
又f(x)=ln x+x2 3在区间(1,2)上的图象是一条连续不断的曲线,
∴f(x)在区间(1,2)上必有零点．
又f(x)在定义域(0,+∞)上是单调递增的,
∴零点只有一个．
解析：(方法2)函数f(x)=ln x+x2 3的零点个数,即为方程ln x+x2 3=0根的个数,即为函数y=ln x与y=3 x2的图象交点个数．
在同一直角坐标系中,作出两函数的图象(如图)．
由图象知,函数y=3 x2与y=ln x的图象在x∈(0,+∞)
只有一个交点,从而方程ln x+x2 3=0有一个根,
即函数f(x)=ln x+x2 3有一个零点．
(2)判定函数f(x)=ln x+x2 3的零点的个数．
判断函数f(x)存在零点的3种方法：
(1)方程法：若方程f(x)=0的解可求或能判断解的个数,则可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．
(2)图象法：由f(x)=g(x) h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一直角坐标系内作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点．若函数y=f(x)在区间(a,b)上是单调函数,则函数f(x)在区间(a,b)内只有一个零点．
归纳总结
3.求函数f(x)=2x+lg(x+1)2零点的个数．
解：∵f(0)=1+02=1<0,f(1)=2+lg 22>0,
又f(x)=2x+lg(x+1)2在区间(1,+∞)上是单调递增函数,
∴f(x)在(0,1)上必定存在零点,且函数f(x)有且只有一个零点．
练一练
本节课你主要学习了哪些内容
1. 函数的零点
2. 方程、函数、函数图象之间的关系
3. 函数零点的存在性定理
对于函数y＝f(x),把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的根．
1. 函数y=ln x的零点是( )
A. (0,0) B. 0 C. 1 D. 不存在
C
2. 下列各图象表示的函数中,没有零点的是( )
D
3. 函数f(x)=2x 的零点所在的区间是( )
A. (1,+∞)
B. (,1)
C. ()
D. ()
B
4. 函数f(x)=x3 ()x的零点有　　　　　个．
1
5. 若函数y=ax2 x 1只有一个零点,求实数a的值．
解：当a=0时,该函数为y= x 1,显然该函数的图象与x轴只有一个公共点,即函数只有一个零点．
当a≠0时,函数y=ax2 x 1为二次函数,
因为函数y=ax2 x 1只有一个零点,
所以关于x的方程ax2 x 1=0有两个相等的实根,
所以Δ=1+4a=0,即a= ．
综上可知,实数a的值为0或 ．

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