资源简介

(共28张PPT)
5.1.1 任意角
学习目标
1.了解角的概念的推广过程，理解任意角的概念
2.掌握终边相同角的含义及其表示.
3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法
“程菲跳”是体操运动中女子跳马项目的技术动作，该动作学名为“踺子后手翻转体180°接直体前空翻转体540°”，是体操史上第一个以中国女子体操运动员名字命名的跳马动作.
新课引入
现实生活中随处可见超出0° 360°范围的角。
新课引入
后空翻转体720°
新课引入
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0° 360°范围内的角.
0
A
P
α
两个齿轮旋转，被动轮和主动轮旋转的方向不同，它们形成的角一样吗？超出0° 360°的角是怎么形成的呢？
新课学习
我们规定一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样,零角的始边与终边重合.
为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“∠”可以简记成“”.
o
A
B
o
A
B
正角
负角
新课学习
图（1）中的角是个正角，它等于750°；图（2）中正角=210°，负角=-150°，=-660°.
如果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所成的角总是负角。
(1) (2)
新课学习
任
意
角
正角
负角
零角
按逆时针方向旋转
按顺时针方向旋转
没有做任何旋转
o
A
B
o
A
B
o
A(B)
新课学习
设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称.
我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为
（1）：把角的终边旋转角
（2）
设是任意的两个角，是任意角的相反角.我们规定：
新课学习
C
新课学习
我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
象限角
30°
-120°
30°角是第一象限角
-120°角是第三象限角.
你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗？
探究
将角按上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应.反之，对于直角坐标系内任意一条射线，如右图,以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
不难发现，-32°交的终边是，那么328°，-392°，…角的终边都是，并且与-32°角终边相同的这些角都可以表示成-32°的角与个（∈Z）周角的和，如
328°=-32°+360°（这里= ）
1
-392°=-32°-360°（这里= ）
-1
新课学习
一般地，我们有：
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
S={|=+·360°,∈Z},
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置.因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律.
终边相同的角
新课学习
象限角的集合表示
象限角 角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
{|·360°＜＜90°+·360°，∈Z}
{|90°+·360°＜＜180°+·360°，∈Z}
{|180°+·360°＜＜270°+·360°，∈Z}
{|270°+·360°＜＜360°+·360°，∈Z}
例题剖析
例1 在0° 360°范围内，找出与-95012′角终边相同的角，并判断它是第几象限角.
解：-95012′=12948′-3×360，所以在0360范围内，与-95012′角终边相同的角是12948′，它是第二象限角.
所有与角终边相同的角，连同在内（而且只有这样的角)，可以用式子“+·360°,∈Z”表示.在运用时，需注意以下几点：
(1)是整数，这个条件不能漏掉.
(2)是任意角.
(3)·360°与之间用“+”连接，如·360°-30°应看成·360°+（-30°）（∈Z）.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍.
对终边相同的角的说明
方法提炼
在某个范围内找与已知角终边相同的角的方法
求在某个范围内与已知角终边相同的角时，首先将这样的角表示成·360°+∈Z）的形式，然后由·360°+,（∈Z）在限制范围内，建立不等式，通过求解不等式，确定的值,求出满足条件的角.或者采用赋值法求解,看角是否在限制范围内，从而求出满足条件的角.
例题剖析
例2 写出终边在轴上的角的集合.
解：在0360范围内，终边在轴上的角有两个，即90，270角.因此，所有与90角终边相同的角构成集合
={|=90+·360°,∈Z}，
而所有与270角终边相同的角构成集合
={|=+·360°,∈Z}，
于是，终边在轴上的角的集合
例题剖析
=∪
= {|=90+·180°,∈Z}∪{|=90+180°+·180°,∈Z}
={|=90+·180°,∈Z}∪{|=90+(+1)180°,∈Z}
={|=90+·180°,∈Z}
角终边的位置 角的集合表示
在 轴的非负半轴上
在 轴的非正半轴上
在 轴的非负半轴上
在 轴的非正半轴上
在 轴上
在 轴上
在坐标轴上
轴线角的集合表示
方法提炼
{|·360°，∈Z}
{|·360°+180°，∈Z}
{|·360°+90°，∈Z}
{·360°+270°，∈Z}}
{·180°，∈Z}}
{·180°+90°，∈Z}}
{·90°，∈Z}}
例题剖析
例3 写出终边在直线上的角的集合.中满足不等式-360 ≤＜720的元素有哪些？
解：在直角坐标系中画出直线，可以发现它与轴的夹角是45，在0360范围内，终边在直线上的角有两个：45，
2.因此，终边在直线上的角构成集合 ={|=+·360°,∈Z}∪{|=+·360°,∈Z}，
={|=+·180°,∈Z}
例题剖析
中适合不等式360 ≤＜720的元素有
45-2×180=-315
45-1×180=-135
45+0×180=45
45+1×180=225
45+2×180=405
45+3×180=585
随堂小测
1、判断正误：
（1）“大于90的角都是钝角. ( )
（2）零角的终边与始边重合. （ ）
（3）从13:00到13:10，分针转过的角度为60.( )
（4）一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大. （ ）
（5）第二象限角大于第一象限角. （ ）
（6）相等的角的终边一定相同. ( )
（7）终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍. （ ）
×
√
√
√
×
×
×
随堂小测
2、与45终边相同的角是 （ ）
A.-45 B.225
C.395 D.-315
3、与610角终边相同的角表示为（其中∈Z） （ ）
A.·360°+230° B.·360°+250°
C.·360°+70° D.·180°+270°
4、已知0°≤＜360°，且与800°角的终边相同，则=______,它是第_______象限角.
D
B
80
一
随堂小测
5、在与10030角终边相同的角中，求满足下列条件的角：
（1）最大的负角；（2）-360720
解：∵10030=360×27+310，∴310和10030终边相同
其余的终边相同的角度可以写成=360×+310（∈Z）
（1）当=-1时是最大的负角，=-50
（2）当=1时，=670符合条件
=-1时，=-50符合条件
=0时，=310符合条件
随堂小测
6.已知如图所示的图形.
（1）分别写出终边落在OA、OB位置上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.
解：（1）终边落在OA置上的角的集合为{|·360°+135°，∈Z}
终边落在OB置上的角的集合为{|·360°-30°，∈Z}
（2）由题图可知，阴影部分（包括边界）的角的集合是由所有在-30°135°范围内的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{|-30°+·360°≤≤135°+·360°，∈Z}
方法提炼
表示区间角的三个步骤
（1）先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界。
（2）按有小到大分别标出起始和终止边界对应的在-360°360°范围内的角和，写出最简区间{|＜＜}，其中-＜360°.
（3）起始、终止边界对应角再加上360°的整数倍，即得区间角集合.
课堂总结
1、任意角：正角、负角、零角
2、、
3、终边相同的角
4、象限角
5、轴线角

展开更多......

收起↑