资源简介

(共26张PPT)
5.1.2 弧度制
学习目标
1.了解任意角的弧度制
2.能进行弧度和角度的互化
3.理解“1弧度角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数
4.了解角度制与弧度制的区别与联系
世界上最高的树377英尺
38码的鞋子
15米的灯杆
新课引入
新课引入
不同的单位制能给解决问题带来方便，角的度量是否也能用不同的单位制呢？
规定周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。角度制中，1°=60′，1′=60″。
能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
新课学习
O
射线绕端点旋转到形成角.=°在旋转过程中，射线上的点 ，（不同于点）的轨迹是圆弧 和 ,圆弧长度分别是和，,.
⌒
⌒
由 ，于是 ,=
可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关.可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角.
新课学习
弧度制
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
以“弧度”为单位来度量角的制度称为弧度制.
我们把半径为1的圆叫做单位圆.在单位圆中， 的长等于1，∠AOB就是1弧度的角.
⌒
O
A
B
1rad
1
新课学习
其中的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为 rad，那么||= .
探究
角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算。如何换算呢？
（1）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；
（2）用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
因为周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，所以
360°=2π rad ， 180°=π rad.
想一想：1°等于多少弧度数？1 弧度等于多少度？
新课学习
180°= rad
1°= rad≈0.01745 rad
1 rad=°≈57.30°
新课学习
角度制与弧度制的比较
角 度 制 用度作为单位来度量角的单位制 单位“°” 不能省略 角的正负与方向有关 六十进制
弧 度 制 用弧度作为单位来度量角的单位制 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十
进
制
例题剖析
例1 按照下列要求，把6730′化成弧度：
（1）精确值； （2）精确到0.001的近似值．
解：（1）因为6730′= ，所以
6730′= × rad=rad.
因此，6730′≈1.178 rad．
1.178097245．
（2）利用计算器有
例题剖析
例2 将3.14 rad换算成角度（用度数表示，精确到0.001）．
因此，3.14 rad≈179.909
179.908 747 7．
解：利用计算器有
新课学习
角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°=2 rad
2 rad=360°
180°= rad
rad=180°
1°= rad≈0.01745 rad
1 rad=°≈57.30°
新课学习
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
度 0 30 45 120 135 150 360
弧度
180
270
60
90
0
2
角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：
正角
零角
负角
负实数
正实数
0
例3 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
（1）； （2）
其中是圆的半径，(0＜＜2)为圆心角，是扇形的弧长，S是扇形的面积．
证明：（1）由公式||=可得
下面证明（2）（3）
半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是
例题剖析
， ,
将转换为弧度，得 ,
于是，.
将代入上式，即得
弧长公式：
扇形面积公式：
例题剖析
随堂小测
1.（多选）与120°角终边相同的角的集合是（ ）
A.{|}
B.{|}
C.{|}
D.{|}
AD
随堂小测
2、判断正误：
（1）扇形的半径为1cm，圆心角为30，则扇形的弧长||=1×30=30(cm). ( )
（2）若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长也扩大为原来的2倍. （ ）
（3）若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍.( )
√
×
×
随堂小测
3、下列转化结果错误的是（ ）
A.60化成弧度是
B.-化成度是-600
C.-150化成弧度是-
D. 化成度是15
C
随堂小测
4、把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
（1）72；（2）-300；（3）2；（4）-
解：（1）72=72× =
（2）-300=-300×
（3）2=2×
（4）-
方法提炼
角度制与弧度制互化的关键与方法
（1）关键：抓住互化公式 rad=180
（2）方法：度数×=弧度数，弧度数×=度数
（3）角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
随堂小测
5、已知角
（1）将改写成的形式，并指出是第几象限角；
解：（1）∵2005 rad = rad=（5×2）rad，
又，
∴角与终边相同，是第三象限角.
（2）在[-5找出与终边相同的角.
随堂小测
（2）与终边相同的角为,
由-5
∴在［-5，0）内与终边相同的角是，，.
方法提炼
1.弧度制下与角终边相同的角的表示
在弧度制下，角终边相同的角可以表示为{|=+2,∈Z}，
即与角终边相同的角可以表示成加上2的整数倍.
2. 用弧度表示角的注意点
（1）注意角度制与弧度制不能混用.
（2）各终边相同的角需加2.
（3）求两个角的集合的交集时，注意应用数轴直观确定，可对进行适当的赋值.
6.已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数.
随堂小测
解：设扇形圆心角的弧度数为，圆的半径为r，则 ，化简有
解得.
课堂总结
弧 度 制
||=
180°= rad
1°= rad≈0.01745 rad
1 rad=°≈57.30°

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