资源简介

(共22张PPT)
5.2.1.1 三角函数的定义
学习目标
1.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
2.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦值、余弦值、正切值.
新课引入
0
A
P
α
⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，当角确定时，终边OP的位置就确定了.这时，射线OP与⊙O的交点P也就确定了.
借助角的大小刻画点P的位置变化情况.
新课学习
以单位圆的圆心为原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系点的坐标为点的坐标为，射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为.
探究1：
当时，点的坐标是什么？当或时，点的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？(先作出图形，再尝试写出相应的坐标)
当时，点的坐标是
当时，点的坐标是；
当时，点的坐标是
它们都是唯一确定的.
探究2:
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的．所以，点的横坐标、纵坐标都是角的函数．
新课学习
设α是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点．
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；
（2）把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；
（3）把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，
记作，即
新课学习
当 +（）时，的终边在轴上，这时点的横坐标等于0，所以=无意义．除此之外，对于确定的角,也是唯一确定的．所以，也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数.
新课学习
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数．通常将它们记为：
正弦函数 , ；
余弦函数 , ；
正切函数 ,{|}
正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 定义域
新课学习
探究
在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设(0， )，把按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为，并把按本节三角函数定义求得的的正弦记为，与相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
在直角三角=,
= =b，又=b,故.
对于余弦、正切也有相同的结论．
M
例题剖析
例1 求的正弦、余弦和正切值
解：在直角坐标系中，作∠AOB= ．
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为( ，-)
所以，=- ，=，=- ．
例2 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为．
求证：== =.
证明：如图，设角α的终边与单位圆交于点．分别过点作轴的垂线垂足分别为则
于是
= 即||=.
因为与同号，所以= ，
即 = .
同理可得= = .
例题剖析
方法提炼
利用三角函数的定义求角的三角函数值
（1）若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值
（2）若已知角终边上的一点为单位圆上的点,则.
（3）若已知角终边上的一点单位圆上的点，则.
随堂小测
1、已知角的终边与单位圆的交点P（，-），则等于 （ ）
A. B.- C. D.-
由三角函数的定义= - ，=
= -
B
2、已知角的终边过点，求的三个三角函数值.
随堂小测
解：由已知可得：于是
，
，
.
3、（1）已知角的终边上有一点，且 ,求的值；
随堂小测
解：，，所以=
又所以，又所以是第一或第二象限角.
当是第一象限角时， ，,
则+=；
随堂小测
当是第二象限角时， ，,
则+=；
若已知角的终边上点的坐标含参数，则需对其所在象限进行分类讨论.
3、（2）已知角的终边上落在直线上，求的值；
随堂小测
解：直线，即经过第二、四象限.
在第二象限取直线上的点（-1，），
，所以
，,
在第四象限取直线上的点（1，-），
，所以
，,
随堂小测
课堂总结
三角函数的定义
终边与单位圆
的交点
角终边一点）（）
.

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