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因式分解 单元模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是(　　)
A． B．
C． D．
2．下列多项式中，分解因式后含有因式a+3的是（　　）
A．a2-6a+9 B．a2+2a-3 C．a2-6 D．a2-3a
3．下列因式分解错误的是（　　）
A．2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1）
B．x2+2x+1=（x+1）2
C．x2y﹣xy2=xy（x﹣y）
D．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
4． 下列因式分解正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
5．利用因式分解计算：的结果为（　　）
A． B．1 C．3 D．
6．已知多项式x2+bx+c因式分解的结果为（x﹣1）（x+2），则b+c的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．0
7． 用提取公因式法将多项式4a2b3﹣8a4b2+10a3b分解因式，得公因式是（　　）
A．2a2b B．2a2b2 C．4a2b D．4ab2
8．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　）
①②③
④⑤⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则 的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．因式分解：2x3－18x＝　 　．
12．分解因式：　 　
13．已知 ，那么 的值为　 　．
14．分解因式：3a2﹣6a+3=　 　．
15．试确定关于x，y的方程x3+6x2+5x=y3-y+2的整数解的个数为　 　.
16．若实数a满足a3+a2﹣3a+2= ﹣ ﹣ ，则a+ =　 　
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．分解因式 ．
18．若多项式（其中，且为整数）能够利用平方差公式进行因式分解，则的值可能有几种．
19．已知整式，整式．
（1）若，求的值；
（2）若可以分解为，求的值．
20．对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中有另一个因式，于是我们可以得到：．
又如：对于多项式，发现当时，的值为0，则多项式有一个因式，我们可以设，解得．于是我们可以得到：．
请你根据以上材料，解答以下问题：
（1）当时，多项式的值为0，所以多项式有因式_______，从而可以将多项式进行因式分解，_______；
（2）若，
①关于x的多项式有因式_______；
②已知a为正整数，且有两个不同的整数x使多项式的值为4，则所有满足条件的a之和为_______．
21．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 ，另一位同学因看错了常数项而分解成 ，请将原多项式分解因式.
22．对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”．
（1）下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)；
（2）若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数；
（3）若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值．
23．已知a＝3＋2 ，b＝3－2 ，求a2b－ab2的值．
24．已知，长方形的周长为30cm，两相邻的边长为xcm，ycm，且x3+x2y-4xy2-4y3=0，求长方形的对角线长和面积．
25．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，m的值为－21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是x-5，求另一个因式以及k的值．
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因式分解 单元模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：对A选项，从左至右是两因式转化为多项式，故A不是因式分解，不符合题意；
对B选项，从左至右是将多项式化为两因式的形式，故B符合题意；
对C选项，左右都是多项式的形式，故C不符合题意；
对D选项，左右两式不相等，故D不符合题意；
答案：B.
【分析】直接由根据因式分解的概念即将多项多化为几个因式的乘积的形式判断即可.
2．下列多项式中，分解因式后含有因式a+3的是（　　）
A．a2-6a+9 B．a2+2a-3 C．a2-6 D．a2-3a
【答案】B
【解析】【解答】解：A选项，根据完全平方公式可知：故A选项不符合题意.
B选项，，故B选项符合题意.
C选项，无法进行分解因式，故C选项不符合题意.
D选项，故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据题意对每一选项进行分解因式后找出含有因式a+3的选项即可.
3．下列因式分解错误的是（　　）
A．2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1）
B．x2+2x+1=（x+1）2
C．x2y﹣xy2=xy（x﹣y）
D．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
【答案】A
【解析】【解答】A、原式=（x﹣2）（2x﹣1），符合题意；
B、原式=（x+1）2，不符合题意；
C、原式=xy（x﹣y），不符合题意；
D、原式=（x+y）（x﹣y），不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据因式分解的定义，将一个多项式化为几个整式的积的恒等变形就是因式分解，然后利用整式的乘法将变形的右边利用整式的乘法法则得出结果，和左边进行比较即可得出答案。
4． 下列因式分解正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、无法因式分解，A错误；
B、，B错误；
C、， C正确；
D、， D错误.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
5．利用因式分解计算：的结果为（　　）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】可根据有理数幂的概念得到，再提公因式即可求解．
6．已知多项式x2+bx+c因式分解的结果为（x﹣1）（x+2），则b+c的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．0
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得：x2+bx+c＝（x﹣1）（x+2），
则b＝2﹣1＝1，c＝﹣1×2＝﹣2，
所以b+c＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：A．
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点计算．
7． 用提取公因式法将多项式4a2b3﹣8a4b2+10a3b分解因式，得公因式是（　　）
A．2a2b B．2a2b2 C．4a2b D．4ab2
【答案】A
【解析】解：多项式4a2b3﹣8a4b2+10a3b的公因式是2a2b．
故选A．
【分析】在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂．同时注意首项系数通常要变成正数．
8．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、是整式乘法运算，不是因式分解，不符合题意；
D、，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可。
9．下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　）
①②③
④⑤⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】【解答】① ，不能进行分解，故不符合题意；
② =（y+x）(y-x)，可以用平方差公式分解，故符合题意；
③ =-（x2+y2）不能用公式法进行分解，故不符合题意；
④ ，不能进行分解，故不符合题意；
⑤ =（x+y）2，可以用完全平方公式分解，故符合题意；
⑥ =-（x+2y）2，可以用完全平方公式分解，故符合题意；
∴能用公式法分解因式的有②⑤⑥共3个.
故答案为：B
【分析】根据（a+b）(a-b)=a2-b2，a2 2ab+b2=(a b)2，据此逐一分析判断即可.
10．对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则 的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【解析】【解答】解： 将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为s'.
∵s= 10x+ 3.
∵s'= 30+x
∴F(s)===3+x
将t的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为t'.
∵t=50+ y.
∴t'= 10y+ 5.
. F(t)===5+y.
∵F(s)+ F(t)= 15.
∴3+x+5+y= 15.
∴x+y= 7.
∴y=7- x.
∵==
∵x，y都是正整数.
∴x最大为6
∴=
故答案未：B
【分析】 先用含x的式子表示出F (s)再用含y的式子表示出F (t)，然后根据x和y的取值求出最大值即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．因式分解：2x3－18x＝　 　．
【答案】2x（x＋3）（x－3）
【解析】【解答】解：；
故答案为：.
【分析】根据因式分解步骤：一提公因式，二套用公式（①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b），②完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2），三检查：分解是否彻底，即可得出结果.
12．分解因式：　 　
【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程因式分解的方法，先提取公因式，进而根据完全平方公式因式分解即可求解．
13．已知 ，那么 的值为　 　．
【答案】4
【解析】【解答】∵
∴原式=（）（）-
=2（）-
=-
=
=4
故答案为：4.
【分析】先将原式中的因式分解，再将代入化简，然后再对所得整式进行化简求值即可。
14．分解因式：3a2﹣6a+3=　 　．
【答案】3（a﹣1）2
【解析】【解答】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．
故答案为：3（a﹣1）2．
【分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
15．试确定关于x，y的方程x3+6x2+5x=y3-y+2的整数解的个数为　 　.
【答案】0
【解析】【解答】解：原方程可化为：x(x2+6x+5)=y(y2-1)+2
即x(x+1)(x+5)=y(y+1)(y-1)+2，
∵等号左侧三个整数的乘积是3的倍数，而等号右侧除以3余2，不是3的倍数，
∴等式不可能成立
∴原方程无整数解
∴关于x，y的方程x3+6x2+5x=y3-y+2的整数解的个数为0，
故答案为：0.
【分析】先将等号左右局部因式分解，然后根据形式可知这种情况是不存在的，所以可得到无解.
16．若实数a满足a3+a2﹣3a+2= ﹣ ﹣ ，则a+ =　 　
【答案】2或﹣3
【解析】【解答】解：∵实数a满足a3+a2﹣3a+2= ﹣ ﹣ ，
∴a3+a2﹣3a+2﹣ + + =0，
∴a3+ +a2+ +2﹣3（a+ ）=0，
（a+ ）（a2﹣1+ ）+（a+ ）2﹣3（a+ ）=0，
（a+ ）（a2﹣1+ +a+ ﹣3）=0，
∴（a+ ）[（a+ ）2+（a+ ）﹣6]=0，
∴（a+ ）（a+ +3）（a+ ﹣2）=0，
而a+ ≠0，
∴a+ +3=0，或a+ ﹣2=0，
∴a+ =﹣3或2．
故答案为：﹣3或2．
【分析】用整体思想把代数式分解因式，求出代数式的值.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．分解因式 ．
【答案】
【解析】【分析】由配方法的步骤：①二次项系数化为1②加上一次项系数一半的平方③凑完全平方式可把原式分组分解，把（x+1）作为一个整体，再根据平方差公式即可得结果.
18．若多项式（其中，且为整数）能够利用平方差公式进行因式分解，则的值可能有几种．
【答案】解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，多项式不能利用平方差公式进行因式分解，
所以a的值可能有3种
【解析】【分析】根据平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”知，字母a、b的次数为偶数，再结合题意，分类谈论字母参数的值即可.
19．已知整式，整式．
（1）若，求的值；
（2）若可以分解为，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵可以分解为，
∴，
∴，
∴．

【解析】【分析】（1）先将整式A、B代入可得，再利用等量代换可得，最后求出a的值即可；
（2）先将整式A、B代入可得，再利用等量代换可得，最后求出a的值即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵可以分解为，
∴，
∴，
∴．
20．对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中有另一个因式，于是我们可以得到：．
又如：对于多项式，发现当时，的值为0，则多项式有一个因式，我们可以设，解得．于是我们可以得到：．
请你根据以上材料，解答以下问题：
（1）当时，多项式的值为0，所以多项式有因式_______，从而可以将多项式进行因式分解，_______；
（2）若，
①关于x的多项式有因式_______；
②已知a为正整数，且有两个不同的整数x使多项式的值为4，则所有满足条件的a之和为_______．
【答案】（1），
（2）①，②3
【解析】【解答】（1）解：∵当时，多项式的值为0，
∴多项式有因式，
依题意，设
则
∴，
解得
∴；
故答案为：，．
（2）解：①依题意，当时，则
∵，
∴，
即当时，则，
故关于x的多项式有因式；
故答案为：；
②∵有两个不同的整数x使多项式的值为4，
∴有两个不同的整数x使多项式，
由（1）得当时，则多项式为0，
设，
则，
即，
∴，
解得，
∴，
则，
∵a为正整数，x为整数，
∴为整数，
∴或，
则，
则所有满足条件的a之和为．
故答案为：3．
【分析】（1）根据题干解题过程进行计算即可求出答案.
（2）①依题意当时，则，因为，所以，则关于x的多项式有因式；
②依题意，由（1）得当时，则多项式为0，设，整理得，解得，即，则，结合a为正整数，x为整数，则或.
（1）解：∵当时，多项式的值为0，
∴多项式有因式，
依题意，设
则
∴，
解得
∴；
故答案为：，．
（2）解：①依题意，当时，则
∵，
∴，
即当时，则，
故关于x的多项式有因式；
故答案为：；
②∵有两个不同的整数x使多项式的值为4，
∴有两个不同的整数x使多项式，
由（1）得当时，则多项式为0，
设，
则，
即，
∴，
解得，
∴，
则，
∵a为正整数，x为整数，
∴为整数，
∴或，
则，
则所有满足条件的a之和为．
故答案为：3．
21．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 ，另一位同学因看错了常数项而分解成 ，请将原多项式分解因式.
【答案】解：设该二次三项式为 ， ，因为该同学看错了一次项系数，所以二次项及常数项正确，即 ；
，因为这位同学看错了常数项，所以一次项正确，即 ，所以原二次三项式为 ，因式分解得到
【解析】【分析】设二次三项式为ax2+bx+c，利用多项式乘以多项式的法则将2（x-1）（x-9），可得到a，c的值；再利用多项式乘以多项式的法则将2（x-2）（x-4），可得到b的值，然后可得到这个二次三项式，再分解因式。
22．对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”．
（1）下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)；
（2）若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数；
（3）若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值．
【答案】（1）②
（2）证明：因为，是两个连续的正整数，
所以，则
，
因为是正整数，是偶数，偶数加为奇数，
所以为奇数，
所以为奇数；
（3）解：已知，，
代入得：，
即，
，因为为非负整数，要使最小，
则时，
，
．
【解析】【解答】解：（1）设，，则，
因为，
因为数，为非负整数，
所以有或，
解得： (不合题意，舍去)或，
所以，
所以是“2次幂差数”；
设，，
则，
因为，
因为数，为非负整数，
所以有或，
解得： (不合题意，舍去)或 (不合题意，舍去)，
所以不是“2次幂差数”．
故答案为：②；
【分析】（1）需要根据“2次幂差数”的定义，分别对和进行分析，看是否能找到满足条件的非负整数和即可判断得出答案；
（2）由题意设，代入化简后判断其奇偶性即可得出结论；
（3）将，，代入，得到关于和的等式，然后用配方法将式子变形为a2=(k-4)2+64，再根据为非负整数求其最小值即可．
（1）解：设，，
则，
因为，
因为数，为非负整数，
所以有或，
解得： (不合题意，舍去)或，
所以，
所以是“2次幂差数”；
设，，
则，
因为，
因为数，为非负整数，
所以有或，
解得： (不合题意，舍去)或 (不合题意，舍去)，
所以不是“2次幂差数”．
故答案为：②．
（2）因为，是两个连续的正整数，
所以，则
，因为是正整数，是偶数，
偶数加为奇数，所以为奇数，
所以为奇数．
（3）已知，，
代入得：，
即，
，因为为非负整数，要使最小，
则时，
，
．
23．已知a＝3＋2 ，b＝3－2 ，求a2b－ab2的值．
【答案】解：∵a＝3＋2 ，b＝3－2 ，
∴ab= ，
∴ .
【解析】【分析】先求出ab和的值，再分解因式后整体代入即可.
24．已知，长方形的周长为30cm，两相邻的边长为xcm，ycm，且x3+x2y-4xy2-4y3=0，求长方形的对角线长和面积．
【答案】∵长方形周长为30cm，
∴ ，化简得： ，
，
= ，
= ，
= ，
，
，
∵ ， ，
∴ ，
则 ，即 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴长方形的对角线长： ，
长方形的面积： .
【解析】【分析】先将x3+x2y-4xy2-4y3=0化简为=0，可得即，再根据“长方形的周长为30cm”可得，再将代入计算可得，最后利用勾股定理求解即可。
25．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，m的值为－21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是x-5，求另一个因式以及k的值．
【答案】解：设另一个因式为x＋p，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40．
【解析】【分析】设另一个因式为x＋p，根据题意列出算式，再利用待定系数法可得，求出p、k的值即可。
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