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(共28张PPT)
湘教版高中必修第一册
任意角的三角函数
目 录
01
新课导入
02
新知探究
03
典型例题
04
拓展提高
05
课堂小结
06
作业布置
湘教版高中必修第一册
新 课 导 入
1
新课导入
思考一下，在初中是怎样定义锐角三角函数的？
A
C
B
在直角坐标系中，锐角三角函数的定义有：
新课导入
思考：能否将这种思想推广到直角坐标系中任意角的三角函数呢？
若改变P在终边的位置，新得到的直角三角形与原直角三角形相似，因此:对于确定的角，上述三个比值不会随点P在终边.上位置的变化而变化，把锐角放在直角坐标系中，锐角的三角函数可以用终边上不同于原点的任意一点的坐标来表示。
新 知 探 究
2
新知探究|一、任意角三角函数的定义
M
设是一个任意角，则利用P的坐标()定义：
,其中
以上三个比值分别称为角a的正弦、余弦、正切。
y= 、y= 、y= 分别叫作角的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数都称为三角函数。
新知探究|一、任意角三角函数的定义







（1）









（2）









（3）








（4）
取r= 1,即让点P在单位圆上，则=y，=x，x、y均可用线段表示，如图所示:
α
α
α
新知探究|一、任意角三角函数的定义
将DP看作有方向的线段，D为起点，P为终点，则: DP=y= ;
将OD看作有方向的线段，O为起点，D为终点，则: OD=x=;
将AT看作有方向的线段，A为起点，T为终点，则: .
由此，称DP为角的正弦线，OD为角的余弦线，AT为角的正切线，以上三线统称为三角函数线。
新知探究| 练一练
答案：第三象限角
设sinθ < 0且tanθ > 0，试确定θ是第几象限角。
解:
∵ sinθ<0
∴ θ是第三或第四象限的角或终边在y轴负半轴上
又∵ tanθ>0
∴ θ是第一或第三象限角
∴ θ是第三象限角
新知探究|归纳总结
三角函数在各象限内的符号如图：
新知探究|二、同角三角函数的基本关系
以上两式即为同角三角函数的基本关系式
M
P
D
在直角三角形OPD中，由勾股定理可得：
把DP=，OD=代入，得
=1
又由角的终边OP上点P的坐标及正切函数的定义得
当时，有
新知探究|三、诱导公式
由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，因此：
公式一：
其中
新知探究|三、诱导公式
利用单位圆的对称性来研究一些角的终边所具有的某些特殊关系（关于坐标轴对称或关于原点对称等），进而可以将这些角进行转化，从而得到：
公式二：
新知探究|三、诱导公式
利用公式一至四，就可将任意角三角函数转化为锐角三角函数进行计算。
公式四：
公式三：
新知探究|三、诱导公式
在锐角三角函数中，有角与它的余角的三角函数关系如下：
该关系式对于任意角仍成立，因此：
公式五：
新知探究|三、诱导公式
当角的终边不在坐标轴上，还可以得到：
公式六：
以上关于角及其相关角的三角函数的关系式统称为诱导公式。
典 型 例 题
3
典型例题
1、已知，并且是第四象限角，求、 。
答案、
解：根据三角函数的基本关系式即可求解
由是第四象限角可知>0
∴ ，
典型例题
2、已知+ =的值。
答案：
解：由题意得，
即
将，得
=
典型例题
3、求下列各三角函数值：
（1）；（2） （3）
答案：（1） =- ；
（2） = =- ；
（3）
拓 展 提 高
4
拓展提高
设
答案：
解：由 （1）可得：
（2）
由
∴
课 堂 小 结
5
课堂小结
用比值定义
用有向线段表示
任意角的
三角函数
任意角三角函数的定义
诱导公式
同角三角函数的基本关系
六大诱导公式
作 业 布 置
6
完成课本P170习题5.2
作业布置
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