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2025—2026学年九年级数学上学期期末检测卷
（测试范围：浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．二次函数的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点为的内心，，，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，切于，两点，切于点，分别交，于，，且，若的周长是半径的6倍，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的外接圆，的平分线交于点，连接，，若，则（　　）
A． B．1 C． D．
7．如图，在平行四边形中，，交于点，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．
8．苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形对角线的中点，连接，若，则的长是（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
9．如图，在的内接四边形中，，则的度数是（ ）
A．150° B．115° C．65° D．130°
10．如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C． D．2
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是 ．
12．如图，、分别是的边、上的点，，若，则的值为 ．
13．如图，、切于点、，点是上一点，且，则 度．
14．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，，则 ．
15．已知中，，，，则等于 ．
16．如图，、是的两条切线，A，B为切点，，，则的半径是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（1）计算：
（2）解方程：
18．【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测
步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点O，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得．
(1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：；
(2)晒衣架完全稳固张开，求出此时，的长度；
(3)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
19．如图，在中，，以B为圆心，适当长度为半径画弧分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，过点D作．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，，，双曲线与矩形的两边，分别交于D，E两点，连接，，，将沿翻折后得到．
探究一：如图，若D为中点，且点又恰好落在线段上，求证：平分．
探究二：如图，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积．
探究三：如图，若点D在直线上，是否存在m的值使点落在x轴上？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
21．一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，将上面分别标上数字1，2，3，4．
(1)从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率？
(2)先从口袋中随机摸出1个小球，将小球上的数字记为a，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为b，求a，b能使有两个实数根成立的概率．
22．如图，在的内接四边形中，，点D是弧的中点．
(1)当时，求的度数；
(2)连接，当，时，求的长．
23．已知二次函数与轴有两个交点．
(1)求实数的取值范围．
(2)若此二次函数有最小值，求的值．
24．【概念学习】圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角．如图1，直线切于点，是弦，则、都是弦切角，把弧称为弦切角所夹的弧．
【性质探索】
（1）弦切角与它所夹的弧对的圆周角有何数量关系？如图1，直线切于点，是弦，点为优弧上一点，猜想并证明与的数量关系．
【性质应用】
（2）如图2，过外一点作的两条切线，切点分别为点，，作直线交于点，，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：点为线段的中点．2025—2026学年九年级数学上学期期末检测卷
（测试范围：浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B B B A B B D A
1．D
本题考查二次函数的顶点公式，熟练掌握二次函数的顶点公式是解题的关键．
套用二次函数的顶点公式，即可解决问题．
∵ ，
∴ ，，．
∴ ，，
∴ 顶点坐标为 ．
故选： D．
2．D
本题考查了用树状图求概率，树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，熟记概率公式是解题的关键．
根据题意画出树状图即可得到两次摸出球上的汉字可以组成“河南”的概率．
解：将标有“最”“美”“河”“南”四个汉字的小球分别记为：，
画树状图如下：
由图可知共有种，其中两次摸出球上汉字可以组成“河南”的结果有种，
∴两次摸出球上汉字概率为：．
故选：D．
3．B
本题考查的是二次函数的应用，正确求解方程是解题的关键．解方程，求出结果即可．
解：令，则，
解得：（舍去），，
则该运动员这次抛出的水平距离为．
故选：B．
4．B
本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
过点作的延长线于点，根据点为的内心，，可得，所以，利用含角的直角三角形可得的长，进而可得的面积．
解：如图，过点作的延长线于点，
点为的内心，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
5．B
证明四边形为矩形，根据矩形的性质得到，，根据切线长定理得到，，，根据题意得到，根据勾股定理列出方程，解方程得到，再根据正弦的定义计算，得到答案．本题考查的是切线的性质、解直角三角形，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
解：切于，切于点，
，，
，
，
四边形为矩形，
，，
，切于，两点，切于点，
，，，
，
的周长，
的周长是半径的倍，
，
设，，则，，，
由勾股定理得：，即，
解得：，
，
故选：．
6．A
此题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据圆内接四边形对角互补求出，然后由角平分线求出，得到，然后根据特殊角的三角函数值求解即可．
四边形是的内接四边形，，
，
平分，
，
，
，
．
故选：A．
7．B
本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．设，，利用平行四边形性质，得到，证明即可解决问题．
解：∵，
∴设，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
8．B
此题重点考查正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，推导出，且是解题的关键．由点为正六边形的对角线的中点，可得， ，且平分，从而得到是等边三角形，即可得到问题的答案．
解：∵多边形是正六边形，
∴，
点为正六边形对角线的中点，即正六边形的中心，
，且平分，
∴，
是等边三角形，
．
故选：B．
9．D
本题考查的是圆内接四边形性质及圆周角定理，掌握圆内接四边形性质及圆周角定理是解题关键，先求出，再根据圆周角定理求出结论即可．
解：在的内接四边形中，，
，
，
故选：D．
10．A
本题考查了三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的确定，确定运动轨迹是解题的关键．
如图，取的中点，连接，由勾股定理得，由三角形中位线性质得，可得点在以为圆心，为半径的圆上，即可得当点、、三点依次共线时最长，利用直角三角形斜边上的中线的性质求出即可求解．
解：取的中点，连接，
，
，
点为中点，点为中点，
为的中位线，
，
则点在以点为圆心，为半径的圆上，
连接，
，
当点、、三点依次共线时最长，
的最大值为，
故选A．
11．，
本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线与直线的交点的横坐标即可．
解：由图象可得，过点，且对称轴为直线直线，
∴点也在的图象上．
∴关于的方程的解是抛物线与直线交点的横坐标，即为，．
故答案是：，．
12．
本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．证明，得出；证明，，得到，由相似三角形的性质即可解决问题．
解∶，
，
，
，
，，
，
；
故答案为：．
13．
本题利用了切线的概念，圆周角定理，掌握四边形的内角和为度是解题的关键．
连接，，根据圆周角定理和四边形内角和定理求解．
解：连接，．
、切于点、，则，
由圆周角定理知，，
，
．
故答案为：50．
14．
本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．过点、分别作轴的垂线，垂足为点、，通过证明得到，再根据得到，得出，再由反比例函数的性质可知，，列出方程即可求出的值．
解：如图，过点、分别作轴的垂线，垂足为点、，
，
，
，
轴，轴，
，
，
，即，
，
，
，
，
在中，，
，
点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
，，
，
解得：．
故答案为：．
15．5
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，正确计算是解题的关键．
根据正切的定义即可求出的长，再根据勾股定理求出的长即可．
解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
故答案为：
16．2
本题考查切线长定理，切线的性质，含30度角的直角三角形，关键是由切线长定理得到，由含30度角的直角三角形的性质得到．
由切线长定理得到，由切线的性质定理得到，由含30度角的直角三角形的性质求出，得到的半径即可．
解：、是的两条切线，
，，
，
，
，
，
的半径等于2．
故答案为：2．
17．（1）（2）
本题考查了实数的运算、解分式方程，熟练掌握各运算法则和分式方程的解法是解题关键．
（1）先计算负整数指数幂、开立方，特殊角的余弦值，再计算加减法即可得；
（2）方程两边同乘，化成整式方程，再解一元一次方程即可得．
解：（1）
；
（2），
方程两边同乘，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
所以方程的解为．
18．(1)见解析
(2)，
(3)晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，即可证明；
（2）证明，即可求解，再证明，即可求解；
（3）过点作于点，过点作，在中，根据勾股定理，求得．证明，据此求解即可．
（1）证明：∵，
∴
∵立杆相交于点，
．
，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∴；
（3）解：如图，过点作于点，过点作，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，，
∴是边上的中线，
∴，
在中，根据勾股定理，得
．
∴，即，
解得，
答：晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖到地面上．
19．(1)
(2)8
本题考查了作图-复杂作图，角平分线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握角平分线的作法和解直角三角形．
（1）根据直角三角形两锐角互余可得，由作图得是的平分线，即可得结论；
（2）由角平分线性质定理得，由求出，从而得．
（1）解：在中，， ，
∵，
由作图得是的平分线，
∴；
（2）解：∵是的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴．
20．
探究一：证明过程见解析；
探究二：矩形的面积为；
探究三：存在的值使点落在轴上，点的坐标为．
探究一：由矩形的性质，结合已知，用，表示点的坐标，可得，根据翻折的性质即可证得结论；
探究二：证明四边形是正方形，，结合（1）所得结论，可得，设，可得点E的坐标，代入，可得，从而可得矩形的面积；
探究三：用表示点的坐标，可得，过点D作于点F，证明，对应边成比例，可得，由勾股定理可得，从而可得点的横坐标，代入反比例函数的解析式，可得点的纵坐标．
探究一：证明：∵，，
∴点B的坐标是
∴点D的坐标是，
将代入，得，
又点E的横坐标是m，
把代入，得，
∴E是的中点，即，
由折叠的性质可知，
∴，
∵，，
∴点E在的平分线上，
∴平分．
探究二：解：设正方形的边长是a，则，，
∴点D的坐标是，点E的坐标是，
∴，
∴，
∴，四边形是正方形，
∴，
又，
∴，
∴，
又平分，
∴，
∴，
设，则，
∴点E的坐标是，
将代入，得，
∴，
∴，
∴正方形的面积是．
探究三：解：存在的值使点落在轴上，
由得或，
∵点D在第一象限内，
∴点D的坐标是，
∴点B的坐标为，
∴，
将代入，得，
∴，
∴，
如图，过点D作于点F，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
解得，
在中，
由勾股定理，得，
∴，
∴，
∴，
把代入中，得
∴存在的值使点落在轴上，点E的坐标是.
本题考查翻折的性质，矩形的性质，角平分线的判定，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数值，反比例函数的图象和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理．
21．(1)
(2)
本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，一元二次方程根的判别式，熟知概率计算公式是解题的关键．
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）根据判别式可得，且，再画树状图得到所有等可能性的结果数，然后找到满足，且的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
（1）解：∵一共有四个小球，每个小球被摸出的概率相同，且数字是奇数的小球有2个，
∴从口袋中随机摸出一个小球，摸出小球上的数字是奇数的概率为；
（2）解：∵a，b能使有两个实数根成立，
∴，
∴，且，
画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中满足，且的结果数有3种，
∴a，b能使有两个实数根成立的概率为．
22．(1)
(2)
本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据已知易得，从而利用等弧所对的圆周角相等可得，进而可得，然后利用圆的内接四边形的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；
（2）连接交于点E，连接，根据已知可得，再根据垂径定理可得，从而可得，，然后在中，利用勾股定理可得，最后设的半径为r，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
（1）解：∵点D是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接交于点E，连接，
∵，
∴，
∵点D是弧的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设的半径为r，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长为．
23．(1)
(2)
（1）利用二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与轴有两个交点，则对应的二次方程有两个解；
（2）掌握二次函数最值求解方法，二次函数，当时，二次函数开口向上有最小值，最小值为；当时，二次函数开口向下，有最大值，最大值为．
（1）解：二次函数与轴有两个交点，
对应的一元二次方程，
，即，
解得．
（2）由题意可知，，
，，，
，函数开口向上，有最小值，
最小值利用公式可求得，
，
，
解得：．
求解本题重点是掌握两点一元二次函数与一元二次方程得关系；一元二次函数的最值求解公式，即顶点的纵坐标．
24．（1）；（2）见详解
（1）有切线连半径，在圆中有切线证角相等，通常通过互余关系证明，所以连接并延长，得到，再通过同弧所对的圆周角相等即可得证；
（2）要证是中点，则需证，先想证全等，通过观察发现，除了之外，并无等线段，不好证明，则可通过相似转化等比例线段去证，先证得到，再证得到，所以最后证出即可得证．
（1）解：，证明如下：
如图，连接并延长，交于点，连接，
与切于点，
，即，
是的直径，
，
∴，
∵，
，
∴．
（2）证明：如图，连接、．
由（1）结论可知，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即①，
∵，是圆的切线，
，
又∵，
∴，
∴，即②，
同理可得，
∴，，
、是过圆外一点作的圆的两条切线，
，
，即③，
由式①、②、③即知，
是线段中点．
本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、切线长定理、弦切角定理、相似三角形的判定和性质等内容，本题难点在于第二问如何通过多个相似去转化，熟练掌握相关知识是解题的关键．(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上册期末检测卷
试卷分析
知识点分布
一、单选题
1 0.94 y=a（x-h） +k的图象和性质
2 0.85 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度
3 0.84 含30度角的直角三角形；利用垂径定理求值；用勾股定理解三角形
4 0.75 根据概率公式计算概率
5 0.74 抛物线与x轴的交点问题；根据二次函数图象确定相应方程根的情况；二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号
6 0.65 圆周角定理；切线的性质定理；三角形内角和定理的应用
7 0.65 解直角三角形的相关计算
8 0.65 由平行截线求相关线段的长或比值
9 0.64 选择或补充条件使两个三角形相似
10 0.64 正多边形和圆的综合；根据旋转的性质求解；坐标系中的对称
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 特殊三角形的三角函数；二次根式的乘法
12 0.75 用勾股定理解三角形；坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
13 0.74 利用垂径定理求值；圆周角定理；用勾股定理解三角形
14 0.65 列举法求概率
15 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；坐标与图形变化——轴对称
16 0.64 应用切线长定理求证；直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系；作角平分线(尺规作图)；根据正方形的性质与判定证明
二、知识点分布
三、解答题
17 0.85 负整数指数幂；特殊角三角函数值的混合运算；零指数幂；利用二次根式的性质化简
18 0.84 待定系数法求二次函数解析式；根据交点确定不等式的解集
19 0.75 待定系数法求二次函数解析式；角度问题(二次函数综合)；解直角三角形的相关计算
20 0.74 由平行截线求相关线段的长或比值；相似三角形的判定与性质综合；根据平行线判定与性质证明
21 0.65 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度；等腰三角形的性质和判定
22 0.65 求某点的弧形运动路径长度；画旋转图形；平移(作图)
23 0.64 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率；游戏的公平性
24 0.4 y=ax +bx+c的最值；切线的性质定理；已知两点坐标求两点距离；利用垂径定理求值

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