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1.4 整式的除法
第一章 整式的乘除
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
1.4 整式的除法
学习目标
理解整式除法的运算法则，包括单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则推导过程。
能够熟练运用整式除法法则进行准确计算，掌握不同类型整式除法的运算技巧。
体会整式除法与整式乘法的互逆关系，培养运用已有知识解决新问题的能力，提升运算的准确性和效率。
情境引入
在前面的学习中，我们已经掌握了整式的乘法运算，包括单项式与单项式相乘、多项式与多项式相乘等。那么，乘法的逆运算 —— 除法，在整式中该如何进行呢？例如，已知两个整式的积和其中一个整式，如何求另一个整式？比如，若\(3x ·2x^2 = 6x^3\)，那么\(6x^3 ·3x\)等于多少？\(6x^3 ·2x^2\)又等于多少？再比如，\((6x^2 + 4x) ·2x\)该如何计算？这些问题都涉及到整式的除法运算，本节课我们就来探究整式除法的法则。
知识回顾
同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即\(a^m ·a^n = a^{m - n}\)（\(a 0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m>n\)）。
单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式与多项式相乘法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即\(m(a + b + c)=ma + mb + mc\)。
零指数幂的意义：任何不等于\(0\)的数的\(0\)次幂都等于\(1\)，即\(a^0 = 1\)（\(a 0\)）。
单项式除以单项式
法则推导
我们以几个具体例子探究单项式除以单项式的法则。
计算\(6x^3 ·3x\)：根据除法是乘法的逆运算，因为\(3x ·2x^2 = 6x^3\)，所以\(6x^3 ·3x = 2x^2\)。从运算过程看，系数\(6 ·3 = 2\)，同底数幂\(x^3 ·x = x^{3 - 1}=x^2\)，结果为\(2x^2\)。
计算\(12a^3b^2 ·(-4a^2b)\)：因为\((-4a^2b) ·(-3ab)=12a^3b^2\)，所以\(12a^3b^2 ·(-4a^2b)=-3ab\)。系数\(12 ·(-4)=-3\)，同底数幂\(a^3 ·a^2 = a^{3 - 2}=a\)，\(b^2 ·b = b^{2 - 1}=b\)，结果为\(-3ab\)。
计算\(-18x^4y^3 ·3x^2y\)：系数\(-18 ·3=-6\)，同底数幂\(x^4 ·x^2 = x^{4 - 2}=x^2\)，\(y^3 ·y = y^{3 - 1}=y^2\)，所以结果为\(-6x^2y^2\)。
通过以上例子，我们可以归纳出单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
符号表示
对于单项式\(A = m ·a^p ·b^q\)和单项式\(B = n ·a^r ·b^s\)（\(m\)、\(n\)为系数，\(a\)、\(b\)为字母，\(p>r\)，\(q>s\)，\(n 0\)），则\(A ·B=\frac{m}{n} ·a^{p - r} ·b^{q - s}\)。
实例解析
例 1：计算下列各题
(1) \(28x^4y^2 ·7x^3y\)
(2) \(-5a^5b^3c ·15a^4b\)
(3) \((-2x^2y)^3 ·(-4xy^2)\)
解：
(1) \(28x^4y^2 ·7x^3y=(28 ·7) ·(x^4 ·x^3) ·(y^2 ·y)=4 ·x^{4 - 3} ·y^{2 - 1}=4xy\)。
(2) \(-5a^5b^3c ·15a^4b=(-5 ·15) ·(a^5 ·a^4) ·(b^3 ·b) ·c=-\frac{1}{3} ·a^{5 - 4} ·b^{3 - 1} ·c=-\frac{1}{3}ab^2c\)。
(3) 先算乘方：\((-2x^2y)^3=-8x^6y^3\)。再算除法：\(-8x^6y^3 ·(-4xy^2)=(-8 ·(-4)) ·(x^6 ·x) ·(y^3 ·y^2)=2 ·x^{6 - 1} ·y^{3 - 2}=2x^5y\)。
注意事项
系数相除时，要注意符号：同号得正，异号得负。例如\(-12 ·(-3)=4\)，\(12 ·(-3)=-4\)。
同底数幂相除，底数不变，指数相减，要避免指数相除的错误。例如\(x^5 ·x^2=x^{5 - 2}=x^3\)，不能写成\(x^{5 ·2}=x^{2.5}\)。
只在被除式中含有的字母，要连同它的指数一起作为商的因式，不能遗漏。例如\(6x^2y ·3x = 2xy\)，其中\(y\)是只在被除式中含有的字母，要保留在商中。
运算结果要化为最简形式，系数是分数时要化为最简分数。
多项式除以单项式
法则推导
我们以\((6x^2 + 4x) ·2x\)为例探究多项式除以单项式的法则。根据除法是乘法的逆运算，因为\(2x ·(3x + 2)=6x^2 + 4x\)，所以\((6x^2 + 4x) ·2x = 3x + 2\)。从运算过程看，\(6x^2 ·2x + 4x ·2x = 3x + 2\)，即把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
由此，我们得到多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。
符号表示
对于多项式\(a + b + c\)和单项式\(m\)（\(m 0\)），则\((a + b + c) ·m = a ·m + b ·m + c ·m\)。
实例解析
例 2：计算下列各题
(1) \((12a^3 - 6a^2 + 3a) ·3a\)
(2) \((-8x^4y + 12x^3y^2 - 4x^2y^3) ·(-4x^2y)\)
(3) \((x^3y^2 - x^2y^3 + 2x^2y^2) ·x^2y^2\)
解：
(1) \((12a^3 - 6a^2 + 3a) ·3a=12a^3 ·3a + (-6a^2) ·3a + 3a ·3a=4a^2 - 2a + 1\)。
(2) \((-8x^4y + 12x^3y^2 - 4x^2y^3) ·(-4x^2y)=(-8x^4y) ·(-4x^2y) + 12x^3y^2 ·(-4x^2y) + (-4x^2y^3) ·(-4x^2y)=2x^2 - 3xy + y^2\)。
(3) \((x^3y^2 - x^2y^3 + 2x^2y^2) ·x^2y^2=x^3y^2 ·x^2y^2 + (-x^2y^3) ·x^2y^2 + 2x^2y^2 ·x^2y^2=x - y + 2\)。
注意事项
多项式的每一项都要除以单项式，不能漏除任何一项，包括常数项。例如\((4x^3 + 2x - 1) ·2x\)，要计算\(4x^3 ·2x + 2x ·2x + (-1) ·2x = 2x^2 + 1 - \frac{1}{2x}\)，不能漏掉\(-1 ·2x\)这一项。
要注意符号的变化，多项式中的项是负数时，除以单项式后要保持符号的正确性。例如\((-6x^2 + 3x) ·3x = -6x^2 ·3x + 3x ·3x=-2x + 1\)。
每一项除以单项式的结果要化简，再把这些结果相加，合并同类项（如果有的话）。但在多项式除以单项式的运算中，通常先分别计算每一项的商，再直接相加，一般很少有同类项需要合并。
被除式的项数与商的项数相同，因为每一项都对应一个商的项。例如三项式除以单项式，商仍然是三项式。
整式除法的混合运算
在进行整式除法的混合运算时，要遵循 “先乘方，再乘除，最后加减” 的运算顺序，有括号的先算括号里面的。
例 3：计算\((2x^2y)^3 ·(4x^3y^2) ·(-3xy^2)\)
解：
先算乘方：\((2x^2y)^3 = 8x^6y^3\)。
再算除法：\(8x^6y^3 ·(4x^3y^2)=(8 ·4) ·(x^6 ·x^3) ·(y^3 ·y^2)=2x^3y\)。
最后算乘法：\(2x^3y ·(-3xy^2)=-6x^4y^3\)。
例 4：计算\([(x + 2y)(x - 2y) - (x - y)^2] ·(-2y)\)
解：
先算括号内的运算：
计算\((x + 2y)(x - 2y)=x^2 - (2y)^2=x^2 - 4y^2\)（平方差公式）。
计算\((x - y)^2=x^2 - 2xy + y^2\)（完全平方公式）。
括号内的式子为\(x^2 - 4y^2 - (x^2 - 2xy + y^2)=x^2 - 4y^2 - x^2 + 2xy - y^2=2xy - 5y^2\)。
再算除法：\((2xy - 5y^2) ·(-2y)=2xy ·(-2y) + (-5y^2) ·(-2y)=-x + \frac{5}{2}y\)。
易错点警示
系数相除错误：在单项式除以单项式时，系数相除容易出现计算错误，尤其是涉及分数或负数时。例如\(-8 ·(-2)=4\)，但容易误算为\(-4\)；\(6 ·(-\frac{1}{2})=-12\)，容易误算为\(-3\)。
同底数幂指数运算错误：把指数相减误算为指数相除或指数相乘。例如\(a^6 ·a^2=a^{6 - 2}=a^4\)，误算为\(a^{6 ·2}=a^3\)或\(a^{6 2}=a^{12}\)。
漏除多项式中的项：在多项式除以单项式时，漏除其中一项。例如\((3x^2 + 6x - 9) ·3x\)，误算为\(3x^2 ·3x + 6x ·3x=x + 2\)，漏掉\(-9 ·3x=-\frac{3}{x}\)，正确结果应为\(x + 2 - \frac{3}{x}\)。
符号处理错误：多项式中的负项除以单项式时，符号处理错误。例如\((-4x^3 + 8x^2) ·(-2x)\)，误算为\(-4x^3 ·(-2x) + 8x^2 ·(-2x)=2x^2 - 4x\)是正确的，但如果写成\(-2x^2 - 4x\)就是符号错误。
运算顺序错误：在混合运算中，没有按照先乘方，再乘除，最后加减的顺序进行。例如计算\(x^4 ·x^2 ·x\)时，误先算乘法再算除法，得到\(x^4 ·x^3=x\)，正确顺序应为从左到右依次计算：\(x^4 ·x^2 ·x=x^2 ·x=x^3\)。
课堂练习
计算下列各题：
\((1)36x^4y^3 ·(-9x^2y)\)
\((2)(-15a^3b^2c) ·5a^2b\)
\((3)(2x^2y)^2 ·(4xy^2)\)
\((4)(10m^3n^2 - 15m^2n + 20mn) ·5mn\)
\((5)(-8a^3b^2 + 12a^2b^3 - 4ab^4) ·(-4ab^2)\)
计算混合运算：
\((1)(-3a^2b)^3 ·(3a^2b^2) ·(-2ab)\)
\((2)[(2x + y)^2 - (2x - y)^2] ·4y\)
先化简，再求值：\((x^2y - 2xy^2) ·y + (3x - y)(3x + y)\)，其中\(x = -1\)，\(y = 2\)。
判断下列计算是否正确，若不正确，请改正：
\((1)12x^3 ·4x = 3x^3\)
\((2)(6x^2 - 4x) ·2x = 3x - 4x=-x\)
\((3)(a^3b^2) ·a^2b = ab\)
\((4)(-x^3y) ·(-x^2) = -xy\)
方法总结
单项式除以单项式法则：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。
计算步骤：
单项式除以单项式：系数相除→同底数幂相除→处理单独字母→合并结果。
多项式除以单项式：多项式每一项分别除以单项式→每一项按单项式除法法则计算→把所得商相加。
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的运算。
关键要点：注意系数的符号和除法运算，正确处理同底数幂的指数相减，避免漏项，确保
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1. 经历探索单项式除以单项式、多项式除以单项式法则的过程，会进行多项式除以单项式的运算.
2. 通过观察、归纳和概括等一系列数学活动，理解多项式除法的运算算理，感受数学思考过程的条理性和数学结论的严密性，并进一步体会类比方法的作用.
3. 在发展推理能力和有条理的表达能力的过程中，进一步培养学习数学的兴趣，加强学习数学的信心.
重点：能运用单项式除以单项式进行计算并解决问题.
难点：多项式除以单项式运算法则的探究过程.
知识链接
1. 口答：
(1) a20÷a10 = (2) yz2· z3 =
(3) 2x4·x6 = (4) 4ab2· a2x =
a10
yz5
14a3b2x
2x10
2. 回忆单项式乘单项式的乘法法则.
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变作为积的一个因式.
计算下列各题，并说说你的理由.
(1) x5y÷x2；
(2) 8m2n2÷2m2n；
(3) a4b2c÷3a2b.
合作探究一
1
单项式除以单项式
(3) 因为 3a2b· ＝ a4b2c，
所以 a4b2c÷3a2b ＝ .
方法一：利用乘除法的互逆性
(1) 因为 x2· ＝ x5y；
所以 x5y÷x2 ＝ .
(2) 因为 2m2n· ＝ 8m2n2
所以 8m2n2÷2m2n ＝ .
x3y
x3y
4n
4n
方法二：利用类似分数约分的方法
(1) x5y÷x2 =
(2) 8m2n2÷2m2n =
(3) a4b2c÷3a2b =
注意：约分时，先约系数，再约同底数幂，分子中
单独存在的字母及其指数一起直接作为商的因式.
比一比：观察比较后发现，单项式除以单项式，其结果(商式)仍是一个 .
单项式
合作探究
被除式
除式
商式
(1) x5y ÷ x2 = x5－2·y；
(2) 8m2n2 ÷ 2m2n = (8÷2)·m2－2·n2－1；
(3) a4b2c ÷ 3a2b = (1÷3)·a4－2·b2－1·c.
追问1：三个单项式的系数之间有什么关系
商式的系数＝被除式的系数÷除式的系数.
追问 2：同底数幂是怎样运算的
(同底数幂)商的指数＝被除式的指数－除式的指数.
追问 3：只在被除式里含有的字母，在商中有没有变化
被除式中单独有的幂，写在商式作为因式(类比).
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
商式 ＝ 系数 同底数幂 被除式里单独有的幂
底数不变，
指数相减.
保留在商里作为因式
被除式的系数
除式的系数
知识要点
单项式除以单项式的法则
对比学习
单项式相乘 单项式相除
系数
同底数幂
其余字母
相乘
相除
相乘
相除
其余字母连同它的指数不变作为积的因式
只在被除式里含有的字母连同它的指数一起作为商的因式
例 计算：
典例精析
(2) 10a4b3c2÷5a3bc；
解：原式 = (10÷5)a4-3b3-1c2-1
= 2ab2c.
解：原式
(3) (2x2y)3·(-7xy2)÷14x4y3；
解：原式= 8x6y3·(-7xy2)÷14x4y3
= -56x7y5÷14x4y3
= -4x3y2.
(4) (2a + b)4÷(2a + b)2.
解：原式= (2a + b)4-2
= (2a + b)2
= 4a2 + 4ab + b2.
1.计算：
(1) 28x4y2 ÷7x3y；
(2) －5a5b3c ÷15a4b.
解：28x4y2 ÷7x3y
= (28 ÷7)x4-3y2-1
= 4xy.
解：－5a5b3c ÷15a4b
= (－5÷15)a5-4b3-1c
= ab2c.
练一练
(2)－48a6b5c÷(24ab4)·(－a5b2)．
解：原式＝[(－48)÷24×(－1)]a6－1＋5 · b5－4＋2 · c
＝2a10b3c.
注意：先乘方，再乘除
2.计算：
(1) －(x5y2)2÷(－xy2)；
解：原式＝－x10y4÷(－xy2)
＝x9y2.
2
多项式除以单项式
填一填：
因为(a+b)m = am + bm，
所以(am+bm)÷m = .
a+b
因为 am÷m+bm÷m=a+b，
所以( )÷m
= am÷m + bm÷m.
am+bm
(1) (ad＋bd)÷d＝
ad÷d＋bd÷d
＝a＋b.
(2) (a2b＋3ab)÷a＝
a2b÷a＋3ab÷a
＝ab＋3b.
(3) (xy3－2xy)÷xy＝
xy3÷xy－2xy÷xy
＝y2－2.
算一算：
多项式除以单项式，先把这个多项式的 分别除以这个 ，再把所得的商 .
单项式
每一项
相加
知识要点
关键：多项式除以单项式 单项式除以单项式.
转化
多项式除以单项式的法则
例1 计算：
典例精析
(1) (6ab＋8b)÷2b
(2) (27a3－15a2＋6a)÷3a
(3) (9x2y－6xy2)÷3xy
(4) (3x2y－xy2＋ xy)÷(－ xy)
解：(1) 原式＝6ab÷2b＋8b÷2b＝3a＋4；
(2) 原式＝27a3÷3a－15a2÷3a＋6a÷3a
＝9a2－5a＋2；
(3) 原式＝9x2y÷3xy－6xy2÷3xy＝3x－2y；
(4) 原式＝－3x2y÷ xy＋xy2÷ xy－ xy÷ xy
＝－6x＋2y－1.
例2 已知一个多项式除以 2x2，所得的商是 2x2 ＋1，
余式是 3x－2，请求出这个多项式.
方法总结：“被除式＝商×除式＋余式”.
故这个多项式为 4x4＋2x2＋3x－2.
＝4x4＋2x2＋3x－2，
解：根据题意，得2x2(2x2＋1)＋3x－2
典例精析
例3 先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，
其中 x＝2024，y＝2023.
方法总结：熟练掌握去括号，合并同类项，整式的
除法等法则.
当 x＝2024，y＝2023 时，原式＝2024－2023＝1.
＝x－y.
＝(x3y－x2y2)÷x2y＝x3y÷x2y－x2y2÷x2y
＝(2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y)÷x2y
解：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y
一、选择题
1. 计算 6m2÷(－3m) 的结果是(　B　)
A. －3m B. －2m
C. 2m D. 3m
2. 计算 (15x2y－10xy2)÷5xy的结果是(　B　)
A. －3x＋2y B. 3x－2y
C. －3x＋2 D. －3x－2
B
B
3. 太阳到地球的距离约为 1.5×108 km，光的速度约为 3.0×105 km/s，则太阳光到达地球的时间约为( 　 )
A. 50s B. 5×102s
C. 5×103s D. 5×104s
B
二、填空题
4. 计算：
（1）(－6a2b4c2)÷(－2b3c)＝ ；
（2）(16x3－24x2)÷(－4x2)＝ .
5. 若长方形的面积是 6a2－4ab＋2a，一边长为 2a，则其邻边长是 .
3a2bc　
－4x＋6　
3a－2b＋1　
三、解答题
6. 计算：
（1）(2a)3·b4÷12a3b2；
解：原式＝8a3b4÷12a3b2＝ b2.
（2）(4x3y－6x2y2＋12xy3)÷2xy；
解：原式＝2x2－3xy＋6y2.
（3）[(2x＋1)(4x＋2)－2]÷(－8x).
解：原式＝（8x2＋8x）÷（－8x）＝－x－1.
解：原式＝8a3b4÷12a3b2＝ b2.
解：原式＝2x2－3xy＋6y2.
解：原式＝(8x2＋8x)÷(－8x)＝－x－1.
7. 先化简，再求值：
(9x3y－12xy3＋3xy2)÷(－3xy)－(2y＋x)(2y－x)，
其中2x2＋y＝2.
解：原式＝－3x2＋4y2－y－（4y2－x2）＝－2x2
－y.
∵2x2＋y＝2，
∴－2x2－y＝－2.
∴原式＝－2.
解：原式＝－3x2＋4y2－y－(4y2－x2)
＝－2x2－y.
∵2x2＋y＝2，
∴－2x2－y＝－2.
∴原式＝－2.
1. [2024台州期末] 的运算结果是( )
D
A. B. C. D.
2. 若，则 内应填的单项式是( )
D
A. B. C. D.
3. 计算 的结果等于
( )
C
A. B.
C. D.
返回
4. 一个长方形的面积是，且长为 ，则这个长方
形的宽为( )
A
A. B. C. D.
5. 数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学后，小丽
回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课上讲的内容，她突
然发现一道题：若
,那么“ ”中应填
的是( )
B
A. B. C. D.
返回
6. 某地新建了一个阅读室，现准备在阅读室内
打造书架，已知一个书架可以容纳 本书，那么想要容纳
本书，需要打造_______________个书架.
返回
7.[2024衡阳校级月考] 已知 ，则
___.
1
【点拨】因为 ，
所以.所以， .
所以，.所以 .
返回
8.计算：
（1） ;
【解】 .
（2） ；
.
（3） .
.
返回
9. [2024郴州期末] 如图，边长为 的正方形纸片剪出
一个边长为 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长
方形，若拼成的长方形的一边长为 ，则另一边长是( )
B
A. B.
C. D.
返回
10. 小亮在计算 时，错把括号内的减
号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是( )
C
A. B.
C. D. 无法计算
【点拨】正确结果：原式
,错误结果：原式
,所以正确结果与错
误结果的乘积是 ,故选C.
返回
11. 定义新运算符号“”： ，
则 ________.
【点拨】 .
返回
12. 教材P28习题T2 某自助餐厅的饮料供应容器如图
所示，它是一个底面半径为，高度为 的圆柱形
桶.若餐厅提供水杯的容积都是 ，在每杯都接满的
情况下，这样一桶饮料可以接____杯 取3
50
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阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086

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