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2.2.1利用同位角判定两条直线平行
第二章 相交线与平行线
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
2.2.1 利用同位角判定两条直线平行
一、学习目标
准确理解同位角的概念，能够在复杂的几何图形中精准识别同位角。
深刻掌握 “同位角相等，两直线平行” 这一判定定理，能熟练运用该定理判断两条直线是否平行。
通过观察、操作、推理等活动，培养逻辑思维能力和空间观念，体会数学知识之间的紧密联系。
能够将所学的同位角判定直线平行的知识应用到实际生活和数学问题解决中，提升分析问题和解决问题的能力。
二、情境引入
在日常生活中，我们常常能看到许多平行的现象。例如，笔直的铁轨，它们始终保持着平行的状态，确保火车能够平稳行驶；窗户的横竖边框，相互平行，构建出规整的窗户形状；还有操场上的双杠，两根杠子平行排列，供人们进行体育锻炼。那么，在数学中，我们如何准确地判定两条直线是平行的呢？这就需要我们探索一些有效的方法和定理。今天，我们将通过学习同位角来找到一种判定两条直线平行的途径，看看隐藏在这些平行现象背后的数学奥秘。
三、同位角的定义
两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的两个角，叫做同位角。
例如，在图 1 中，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，形成了八个角。其中，∠1 与∠5，它们都在直线 EF（截线）的右侧，并且分别在直线 AB、CD（被截直线）的上方，这样位置关系的一对角就是同位角。同样的，∠2 与∠6，∠3 与∠7，∠4 与∠8 也都是同位角。
[此处插入图 1：展示两条直线被第三条直线所截形成的八个角，并标注出同位角]
同位角的特征可以总结为 “两同”：一是在截线的同一侧；二是在被截两直线的同一方。同位角是成对出现的，并且是由三条直线组成，即一对边共线（截线），另一对边不共线（被截直线）。需要注意的是，同位角描述的是两个角的位置关系，与角的大小并无直接关联。
四、利用同位角判定两直线平行
判定定理
经过大量的观察、测量和推理，我们发现：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：同位角相等，两直线平行。
例如，在图 2 中，若∠1 = ∠2，因为∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 所截得的同位角，根据上述判定定理，就可以得出直线 a∥b。
[此处插入图 2：直线 a、b 被直线 c 所截，标注出同位角∠1 和∠2]
用几何语言表述为：
∵ ∠1 = ∠2（已知）
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）
定理证明（选学内容）
我们可以通过反证法来证明这个定理。假设直线 a 与直线 b 不平行，那么它们必然相交，设交点为 P。这样，以点 P 为顶点就会形成一个新的角，与已知的同位角∠1 和∠2 的关系就会产生矛盾，因为如果直线相交，同位角就不可能相等。所以，假设不成立，即当同位角相等时，直线 a 与直线 b 只能平行。
生活实例应用
在实际生活中，有很多地方都运用到了 “同位角相等，两直线平行” 的原理。比如，木工师傅在制作门框时，为了保证门框的两条竖边平行，会使用角尺测量两个角（可看作同位角）。如果这两个角相等，那么就可以确定两条竖边是平行的。再如，建筑工人在砌墙时，也会利用类似的方法，通过测量墙面与地面所成的角（可看作同位角）是否相等，来确保砌的墙是竖直且相互平行的。
五、图形分析与例题讲解
例 1：如图 3，直线 DE、BC 被直线 AB 所截。
（1）∠1 与∠2，∠1 与∠3，∠1 与∠4 各是什么位置关系的角？
（2）若∠1 = ∠4，能判定 DE∥BC 吗？为什么？
[此处插入图 3：直线 DE、BC 被直线 AB 所截，标注出∠1、∠2、∠3、∠4]
解：
（1）∠1 与∠2 是同位角，因为它们在直线 AB（截线）的同侧，且分别在直线 DE、BC（被截直线）的同一方；∠1 与∠3 是对顶角；∠1 与∠4 是同旁内角。
（2）若∠1 = ∠4，能判定 DE∥BC。理由是：∠1 与∠4 是直线 DE、BC 被直线 AB 所截得到的同位角，根据 “同位角相等，两直线平行” 的判定定理，当∠1 = ∠4 时，就可以得出 DE∥BC。
例 2：如图 4，已知∠1 = ∠2 = 50°，∠3 = 130°，那么直线 AB 与 CD 平行吗？直线 EF 与 GH 平行吗？请说明理由。
[此处插入图 4：标注出∠1、∠2、∠3，涉及直线 AB、CD、EF、GH]
解：
直线 AB 与 CD 平行。理由如下：
因为∠2 = 50°，∠3 = 130°，∠2 + ∠3 = 50° + 130° = 180°，而∠3 的邻补角与∠2 是同位角（设∠3 的邻补角为∠4，则∠4 = 180° - ∠3 = 50°，∠4 与∠2 相等），根据 “同位角相等，两直线平行”，所以 AB∥CD。
直线 EF 与 GH 平行。理由如下：
因为∠1 = ∠2 = 50°，∠1 与∠2 是直线 EF、GH 被某条直线所截得的同位角，根据 “同位角相等，两直线平行”，所以 EF∥GH。
六、知识辨析
同位角与对顶角的区别
名称
定义
图形特征
性质
同位角
两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的两个角
有一条边共线（截线），另两条边不共线，两角位置呈 “F” 型
仅描述位置关系，大小不一定相等，当同位角相等时可判定两直线平行
对顶角
有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线
有公共顶点，两角相对
对顶角相等
判定两直线平行的其他方法（提前渗透，为后续学习做铺垫）
内错角相等，两直线平行。（后续会详细学习，内错角是两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且夹在被截两直线之间的两个角。）
同旁内角互补，两直线平行。（同旁内角是两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且夹在被截两直线之间的两个角，当它们的和为 180° 时，两直线平行。）
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。（例如，若直线 a⊥直线 c，直线 b⊥直线 c，那么 a∥b。）
七、易错点警示
同位角识别错误：在复杂图形中，不能准确找出同位角。要牢记同位角的 “两同” 特征，即必须在截线的同旁以及被截两直线的同一方。例如，在一些不规则的图形中，不能仅凭直观感觉判断两个角是否为同位角，要仔细分析它们的位置关系是否符合同位角的定义。
判定定理应用错误：在使用 “同位角相等，两直线平行” 时，没有正确判断出相等的角是否为同位角。比如，在图中随意选取两个相等的角，就错误地认为两直线平行，而没有确认这两个角是否是由两条直线被第三条直线所截形成的同位角。一定要严格按照定理的条件进行判断，只有当相等的角是同位角时，才能得出两直线平行的结论。
忽略前提条件：该判定定理是在同一平面内成立的。在空间几何中，同位角相等时，两条直线不一定平行。例如，在正方体中，某些异面直线所形成的 “同位角” 即使相等，这两条直线也不平行。所以，在运用定理时，要注意前提条件是在同一平面内。
八、课堂练习
如图 5，直线 a、b 被直线 c 所截，∠1 = 70°，当∠2 = 时，a∥b。
[此处插入图 5：直线 a、b 被直线 c 所截，标注出∠1 和∠2]
如图 6，下列说法正确的是（ ）
A. ∠1 与∠2 是同位角
B. ∠1 与∠3 是同位角
C. ∠2 与∠3 是同位角
D. ∠2 与∠4 是同位角
[此处插入图 6：标注出∠1、∠2、∠3、∠4，涉及三条相交直线]
如图 7，已知∠1 = ∠3，能否判定 AB∥CD？若不能，请添加一个条件，使 AB∥CD，并说明理由。
[此处插入图 7：直线 AB、CD 被第三条直线所截，标注出∠1 和∠3]
如图 8，木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，这两条垂线平行吗？为什么？
[此处插入图 8：展示木工用角尺画垂线的示意图]
如图 9，在三角形 ABC 中，∠B = ∠C，点 D、E 分别在 AB、AC 上，且∠ADE = ∠AED。请问 DE 与 BC 平行吗？请说明理由。
[此处插入图 9：三角形 ABC，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，标注出相关角]
九、方法总结
图形分析法：面对复杂的几何图形，要善于分解图形，找出其中的 “三线八角” 结构，从而准确识别同位角。通过观察图形中角的位置关系，与同位角的定义进行对比，确定哪些角是同位角。例如，在例 1 中，就是通过仔细分析图形中角的位置，判断出∠1 与∠2 是同位角等关系。
定理运用法：熟练掌握 “同位角相等，两直线平行” 的判定定理，当题目中给出或能推导出同位角相等的条件时，要迅速运用该定理判定两直线平行。在运用过程中，要严格按照定理的条件进行推理，确保逻辑严密。如例 2 中，根据已知角的度数，通过分析得出同位角相等，进而判定直线平行。
实际问题转化法：对于生活中的实际问题，要学会将其抽象成数学模型，利用同位角判定直线平行的知识来解决。比如，木工制作门框、建筑工人砌墙等问题，都可以转化为判断同位角是否相等，从而确定直线是否平行的数学问题。通过这种转化，将数学知识与实际生活紧密联系起来，提高解决实际问题的能力。
通过本节课的学习，我们认识了同位角，并掌握了利用同位角相等来判定两条直线平行的方法。这是进一步学习几何知识的重要基础，希望同学们在今后的学习中，能够灵活运用所学知识，准确判断直线的平行关系，解决更多的数学问题和实际问题，不断提升自己的数学素养。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识链接
举出生活中两直线平行的例子.
答：铁轨、窗柜、黑板相对的两边.
在日常生活中，人们经常用到平行线.如图，装修工人要在墙上钉木条，如果木条 b 与竖直木条垂直，那么木条 a 与竖直木条所成的角为多少度时，才能使木条 a 与木条 b 平行
b
a
如图，如果木条 b 不与竖直木条垂直呢
b
a
同位角的概念
如图，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条 b，c，转动木条 a.
做一做
1
c
b
a
2
a
2
观察∠2 的变化以及它与∠1 的大小关系，
(1) 木条 a 与木条 b 的位置关系发生了什么变化
a
2
1
(2) 改变图中∠1 的大小，按照上面的方式再试一试，当∠2 与∠1 的大小满足什么关系时，木条 a 与木条 b 平行 画出图形，填下列表格:
图形
_____ _____ _____
∠2 与∠1
的大小关系
木条 a 与 b
的位置关系
∠2 ∠1
∠2 ∠1
∠2 ∠1
＞
相交
＝
平行
＜
相交
1. 两直线 AB、CD 被直线 l 所截，具有∠1和∠2 这样位置关系的角称为同位角.
A
C
B
D
l
1
2
6
8
4
7
3
1
2
5
要点归纳
2.位置特征：①有一条边在同一条直线上；
②另一边的方向相同.
总结
图形特征：在形如字母“ F ”的图形中有同位角.
自己动手画一画几组同位角.
动手实践
想一想
活动1：你能借助三角尺画平行线吗
点击视频观看→
利用同位角判定两条直线平行
2
用三角尺和直尺画平行线的方法.
（1）放
（2）靠
（3）推
（4）画
●
b
A
2
1
a
B
(1) 画图过程中，三角尺起着什么作用？
(2) 直线 a，b 位置关系如何？
思考
a∥b
保持∠1跟∠2 相等
合作探究
简称为：同位角相等，两直线平行.
两直线平行，用“∥”表示.
如：a∥b .
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
因为∠1=∠2 ,
所以 a∥b.
判定方法1：
知识要点
同位角相等，两直线平行.
例1 如图，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？
A
B
C D
E F
典例精析
例2 如图，直线 AB，CD 分别与 EF 相交于点 G，H，
已知∠1 = 70°，∠2 = 70°，试说明：AB∥CD.
解析：要说明AB∥CD，可转化为说明∠1 与其同位角相等，这由∠2 的对顶角容易得出.
解：因为∠2 = ∠EHD (对顶角相等)，
∠2 = 70°，所以∠EHD = 70°.
因为 ∠1 = 70°，
所以∠EHD=∠1.
所以 AB∥CD (同位角相等，两直线平行).
典例精析
平行于同一条直线的两条直线平行
(1) 你能过直线 AB 外一点 P 画直线 AB 的平行线吗？能画出几条？
活动2：画一画
·
A
·
B
·
P
a
1 条
3
·
A
·
B
(2) 分别过点 C，D 画直线 AB 的平行线 EF，GH ，那么直线 EF，GH 平行吗？
·
·
E
D
平行
C
F
G
H
几何语言表达：
平行线的传递性：
平行于同一条直线的两条直线平行.
如果 b∥a，c∥a，
那么 b∥c.
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
a
b
c
知识要点
例3 三条直线 a，b，c，若 a∥c，b∥c，
则 a 与 b 的位置关系是( )
A. a⊥b B. a∥b
C. a⊥b 或 a∥b D. 无法确定
B
典例精析
（第1题）
1. 如图，直线，, 两两相交，下面
不是同位角的是( )
D
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
返回
（第2题）
2. 如图，已知
，为保证两条铁轨平行，
添加的下列条件中，正确的是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
3. [2024常德期中] 下列说法：
①不相交的两条直线是平行线；
②在同一平面内，两条直线的位置关系有两种；
③若线段与线段没有交点，则 ；
④若，，则与 不相交.
若以上说法均不考虑重合的情况，则其中正确的个数为
( )
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
返回
（第4题）
4. 如图，在同一平面内，经过直线 外一
点的4条直线中，与直线 相交的直线至
少有( )
B
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
返回
（第5题）
5.如图，，，则点，，
在同一条直线上的理由是_______________
_____________________________.
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
返回
6.[2024郑州月考] 如图，若，，则与
的位置关系是______.（填“平行”或“相交”）.
平行
（第6题）
返回
7. 如图，在不添加任何辅助线的前提下，
添加必要的一个条件，使得 ，这个条件可以是
___________________________.
（答案不唯一）
（第7题）
返回
8.如图，已知， ，
， ，与
平行吗？与 平行吗？补充完
整下面的解答过程.
解：因为 ， ，
所以 （__________）.
所以____//____（________________________）.
等量代换
同位角相等，两直线平行
因为，所以 .
所以 ______.
同理可得
______.
所以 .
所以____//____（________________________）.
同位角相等，两直线平行
返回
9. 如图，在方格纸中，
有两条线段， .利用方格纸完成
以下操作：
（1）过点作的平行线 .
【解】如图， 即为所求.
（2）过点作的平行线，与（1）中的平行线 相交
于点 .
【解】如图，和点 即为所求.
（3）用符号表示出图中的一组平行线.
.（答案不唯一）
返回
10. 如图，能与 构成同位角的有( )
B
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
返回
11.如图，把三角尺的直角顶点放在直线上，若 ,
则当____ 时， .
55
（第11题）
返回
（第12题）
12.[2024广州越秀区期中] 如图，木棒
与分别在， 处用可旋转的螺丝铆
住， ， ，将
木棒绕点逆时针旋转到与木棒 平
行的位置，则至少要旋转____ .
25
【点拨】当时, ,所以至少要旋转的度
数是 .
返回
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086

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