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2.2.2利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
第二章 相交线与平行线
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
2.2.2 利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
一、内错角的定义与特征
定义
两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。例如，在图 10 中，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，∠3 与∠5，它们一个在直线 EF（截线）的左侧，一个在直线 EF 的右侧，并且都处于直线 AB、CD（被截直线）之间，所以∠3 与∠5 是内错角。同样，∠4 与∠6 也是内错角 。
[此处插入图 10：展示两条直线被第三条直线所截形成的八个角，并标注出内错角]
特征
位置特征：内错角的位置特点可概括为 “一内一错”。“内” 指在两条被截直线之间；“错” 指分别在截线的两侧。
图形特征：内错角的形状在图形中常呈现为 “Z” 型或 “N” 型（包括各种方向的变形）。例如，在图 10 中，∠3 与∠5 构成了一个反置的 “Z” 型，∠4 与∠6 构成了一个正常的 “Z” 型 。
二、同旁内角的定义与特征
定义
两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。比如，在图 10 中，∠3 与∠6，它们都在直线 EF（截线）的右侧，同时也都处于直线 AB、CD（被截直线）之间，所以∠3 与∠6 是同旁内角。同样，∠4 与∠5 也是同旁内角 。
特征
位置特征：同旁内角的位置特点是 “同旁且内”。“同旁” 指在截线的同一侧；“内” 指在两条被截直线之间。
图形特征：同旁内角在图形中一般呈现为 “U” 型或 “C” 型（包括各种方向的变形）。在图 10 中，∠3 与∠6 组成了一个开口向右的 “U” 型，∠4 与∠5 组成了一个开口向左的 “U” 型 。
三、利用内错角判定两直线平行
判定定理
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行 。
例如，在图 11 中，若∠1 = ∠2，因为∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 所截得的内错角，依据上述判定定理，就能得出直线 a∥b 。
[此处插入图 11：直线 a、b 被直线 c 所截，标注出内错角∠1 和∠2]
用几何语言表述为：
∵ ∠1 = ∠2（已知）
∴ a∥b（内错角相等，两直线平行）
定理推导
我们可以借助同位角判定直线平行的定理来推导此定理。如图 11，因为∠1 = ∠2（已知），又因为∠1 与∠3 是对顶角，根据对顶角相等，所以∠1 = ∠3，从而可得∠2 = ∠3。而∠2 和∠3 是同位角，根据 “同位角相等，两直线平行”，就可以推出 a∥b 。
生活实例应用
在生活中，利用内错角相等判定直线平行的例子也不少。例如，在一些工厂的传送带上，为了保证物品平稳传输，会安装一些导向装置。这些导向装置的边缘可以看作直线，通过测量某些内错角是否相等，来确保导向装置的平行关系，从而保证物品能准确地沿着预定轨道传送 。
四、利用同旁内角判定两直线平行
判定定理
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补（即两角之和为 180°），那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行 。
比如，在图 12 中，若∠1 + ∠2 = 180°，由于∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 所截得的同旁内角，按照这个判定定理，就能知道直线 a∥b 。
[此处插入图 12：直线 a、b 被直线 c 所截，标注出同旁内角∠1 和∠2]
用几何语言表述为：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°（已知）
∴ a∥b（同旁内角互补，两直线平行）
定理推导
同样可借助同位角判定定理推导。在图 12 中，已知∠1 + ∠2 = 180°，又因为∠2 + ∠3 = 180°（邻补角定义），所以∠1 = ∠3（同角的补角相等）。而∠1 和∠3 是同位角，根据 “同位角相等，两直线平行”，可推出 a∥b 。
生活实例应用
建筑工人在搭建脚手架时，需要确保脚手架的横杆和竖杆相互平行，以保证脚手架的稳定性。他们可以通过测量一些同旁内角是否互补来进行判断。例如，测量横杆与竖杆所形成的同旁内角，如果两角之和为 180°，那么就可以确定横杆与竖杆是平行的 。
五、综合应用与例题讲解
例 3：如图 13，已知∠1 = 70°，∠2 = 70°，∠3 = 110°，请判断直线 a、b、c 之间的位置关系，并说明理由 。
[此处插入图 13：标注出∠1、∠2、∠3，涉及直线 a、b、c]
解：
因为∠1 = 70°，∠2 = 70°，所以∠1 = ∠2。
又因为∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 d 所截得到的内错角，根据 “内错角相等，两直线平行”，可以得出 a∥b 。
因为∠2 = 70°，∠3 = 110°，所以∠2 + ∠3 = 70° + 110° = 180°。
而∠2 和∠3 是直线 b、c 被直线 d 所截得到的同旁内角，根据 “同旁内角互补，两直线平行”，可以得出 b∥c 。
因为 a∥b，b∥c，所以 a∥c（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） 。
例 4：如图 14，在四边形 ABCD 中，∠B = 60°，∠C = 120°，AB 与 CD 平行吗？为什么？
[此处插入图 14：四边形 ABCD，标注出∠B 和∠C]
解：AB∥CD。
理由如下：在四边形 ABCD 中，因为∠B = 60°，∠C = 120°，所以∠B + ∠C = 60° + 120° = 180°。
∠B 和∠C 是直线 AB、CD 被直线 BC 所截得到的同旁内角，根据 “同旁内角互补，两直线平行”，所以 AB∥CD 。
六、知识辨析
内错角、同旁内角与同位角的综合区别
名称
定义
图形特征
与两直线平行的关系
同位角
两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的两个角
呈 “F” 型
同位角相等，两直线平行
内错角
两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间
呈 “Z” 型或 “N” 型
内错角相等，两直线平行
同旁内角
两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角
呈 “U” 型或 “C” 型
同旁内角互补，两直线平行
判定两直线平行方法的选择
当题目中明确给出或容易找出同位角相等时，优先选用 “同位角相等，两直线平行” 来判定两直线平行。
若已知条件中涉及内错角，且能证明内错角相等，就利用 “内错角相等，两直线平行” 进行判断。
当出现同旁内角，且能推出同旁内角互补时，使用 “同旁内角互补，两直线平行” 来确定直线的平行关系。
在一些复杂图形中，可能需要综合运用多种判定方法，通过角的等量代换等方式，逐步推导出两直线平行的结论 。
七、易错点警示
角的位置关系判断错误：在复杂图形中，混淆内错角、同旁内角和同位角的位置关系。例如，把同旁内角误认成同位角或内错角，导致无法正确运用判定定理。要牢记三种角各自的位置特征，通过多观察、多分析不同图形来加深理解 。
定理条件运用错误：在使用内错角相等或同旁内角互补判定两直线平行时，没有准确判断出相等的内错角或互补的同旁内角是由哪两条直线被哪条直线所截得到的。比如，随意选取两个看似相等的内错角，但它们并非是要判定平行的两条直线被第三条直线所截形成的，从而得出错误结论。必须严格依据定理条件，找准对应的角和直线 。
忽略隐含条件：有些题目中，角的关系不是直接给出的，需要通过对顶角、邻补角等关系进行转化。如果忽略这些隐含条件，就无法获取有效的判定信息。例如，已知一个角的度数，没有想到利用对顶角相等找到与之相等的内错角，进而无法判定两直线平行。要善于挖掘图形中的隐含条件，灵活运用所学的角的关系知识 。
八、课堂练习
如图 15，直线 a、b 被直线 c 所截，∠1 = 50°，当∠2 = 时，a∥b，依据是 。
[此处插入图 15：直线 a、b 被直线 c 所截，标注出∠1 和∠2]
如图 16，下列说法正确的是（ ）
A. ∠1 与∠2 是内错角
B. ∠1 与∠3 是同旁内角
C. ∠2 与∠3 是内错角
D. ∠2 与∠4 是同旁内角
[此处插入图 16：标注出∠1、∠2、∠3、∠4，涉及三条相交直线]
如图 17，已知∠1 = ∠4，能否判定 AB∥CD？若不能，请添加一个条件，使 AB∥CD，并说明理由 。
[此处插入图 17：直线 AB、CD 被第三条直线所截，标注出∠1 和∠4]
如图 18，工人师傅在铺设铁轨时，为了检验所铺的铁轨是否平行，用一种叫做角尺的工具进行测量。已知∠1 = 120°，∠2 = 60°，请问铁轨 a 与铁轨 b 平行吗？为什么？
[此处插入图 18：展示工人用角尺测量铁轨的示意图，标注出∠1 和∠2]
如图 19，在三角形 ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，∠ADE = ∠B，请问 DE 与 BC 平行吗？请从同位角、内错角、同旁内角三个角度进行分析说明 。
[此处插入图 19：三角形 ABC，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，标注出∠ADE 和∠B]
九、方法总结
图形简化法：面对复杂的几何图形，要善于将其简化，找出基本的 “三线八角” 结构。通过分析其中内错角、同旁内角的位置和数量关系，运用相应的判定定理判断直线平行。例如，在例 3 中，就是从复杂的三线关系中准确找出内错角和同旁内角，进而判定直线的平行关系 。
条件分析法：仔细分析题目中给出的角的条件，判断这些条件与内错角相等、同旁内角互补等判定定理的联系。如果直接给出角的度数，计算是否满足定理条件；如果给出角之间的关系，通过等量代换等方式转化为定理所需的条件。如例 4 中，通过计算∠B 和∠C 的度数和，满足同旁内角互补的条件，从而得出直线平行的结论 。
综合运用法：在实际解题中，往往需要综合运用同位角、内错角、同旁内角判定直线平行的方法，以及对顶角、邻补角等相关知识。要灵活切换不同的知识点，从多个角度思考问题，找到解题的突破口。例如，在推导内错角相等或同旁内角互补的过程中，可能会用到对顶角相等、邻补角互补等性质进行角的转化 。
通过本节课的学习，我们掌握了利用内错角相等、同旁内角互补来判定两条直线平行的方法，这进一步丰富了我们判断直线平行的手段。在今后的学习和解题中，要熟练运用这些知识，仔细分析图形和条件，准确判断直线的平行关系，不断提升自己的几何学习能力 。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
内错角、同旁内角的概念
小明身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗
A
B
3
2
4
1
合作探究
1
画一画：按下图画出直线 AB、CD 被 EF 所截.
活动 1：观察图中的∠4 和∠5，它们有怎样的位置关系
内错角：如图，像∠4 和∠5，两个角都在直线 AB、CD 之间，并且分别在直线 l 两侧. 具有这种位置关系的一对角叫作内错角.
A
C
B
D
l
1
2
6
8
4
7
3
5
知识要点
追问：(1)你能找出图中还有哪几对角构成内错角
(2)两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，
共有几对内错角
解：(1)∠2 和∠7； (2)2对.
活动 2：如图，我们称∠2 和∠5为同旁内角，你能
根据两个角的特征，描述一下同旁内角的定义吗
A
C
B
D
l
1
2
6
8
4
7
3
5
A
C
B
D
l
1
2
6
8
4
7
3
5
同旁内角：如图，像∠2 和 ∠5，两个角都在直线
AB、CD 之间，并且都在直线 l 的同一旁. 具有这
种位置关系的一对角叫作同旁内角.
讨论：(1) 你能找出图中还有哪几对角构成同旁内角
(2) 两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对同旁内角
解：(1)∠4 和∠7；(2) 2 对.
② 在直线 l 的两侧
① 在直线 AB、CD 之间
内错角
A
C
B
D
l
2
3
1
4
1
2
要点归纳
②在直线 l 的同一旁（右侧）
①在直线 AB、CD 之间
同旁内角
1
3
A
C
B
D
l
2
3
1
4
自己动手画一画几组内错角和同旁内角.
总结
图形特征：在形如字母“ Z ”的图形中有内错角.
图形特征：在形如字母“ U ”的图形中有同旁内角.　
动手实践
例1 如图，直线 DE 截 AB，AC，构成 8 个角，指出其中所有的同位角，内错角，同旁内角.
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
解：同位角有：∠1 与∠8，∠2 与∠5，∠3 与∠6，∠4 与∠7；
内错角有：∠1 与∠6，∠4 与∠5；
同旁内角有：∠1 与∠5，∠4 与∠6.
典例精析
同位角
内错角
同旁内角
三线八角手势记忆法
利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
2
依据上节课学过的内容，我们知道，
如果∠1=∠2，那么 a∥b.
问题 1：能否利用内错角来判断两直线平行呢 如果∠2 =∠3，那么 a 与 b 平行吗
解：因为 1 = 3（对顶角相等），
3 = 2（已知），
所以 1 = 2.
所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）.
2
b
a
4
3
1
c
问题 2：如果两条直线被第三条直线所截，那么能否利用同旁内角来判定两条直线平行呢 如图，如果∠2+
∠4 = 180°，那么 a 与 b 平行吗 试着说一说理由.
解：能. 理由如下：
因为 2 + 4 = 180° (已知)，
1 + 4= 180° (邻补角的性质)，
所以 2 = 1 (同角的补角相等).
所以 a∥b (同位角相等，两直线平行).
2
b
a
4
3
1
c
问题 3：通过刚才的学习，你发现了什么
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
知识要点
(1) 由∠CBE =∠A 可以判定哪两条直线平行
依据是什么
(2) 添加一个条件使 AE∥CD.
(3) 由∠D +∠A = 180°可以判定哪两条直线平行
依据是什么
例2 如图，BE 是 AB 的延长线.
典例精析
AE∥CD. 依据是同旁内角互补，两直线平行.
∠CBE =∠C (答案不唯一).
AD∥BC，依据是同位角相等，两直线平行.
判定两条直线平行的方法
文字叙述 符号语言 图形
相等， 两直线平行 因为 (已知)， 所以 a∥b.
_______相等， 两直线平行 因为 (已知)， 所以 a∥b. ________互补， 两直线平行 因为 (已知)， 所以 a∥b. a
b
c
1
2
4
3
∠1 =∠2
∠3 =∠2
∠2 +∠4 = 180°
同位角
内错角
同旁内角
如图，三个相同的三角尺拼接成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由.
A
B
E
D
C
AB 与 EC 是平行的.
因为∠BAC 与∠ACE 是内错角，而且又相等.
试着找出其他平行线吧！
画一条直线与已知直线平行
3
如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么呢 与同伴进行交流.
b
a
截线
通过观察截线与被截线所形成的同位角、内错角和同旁内角的关系来判断两条直线是否平行.
思考·交流
如图，某公园现有两条直道 AB 和 CD 交于点 O，
为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路 CD 上的点 P，再修建一条直道 MN，并且使 MN 与 AB 平行.你能在图中画出直道 MN 吗
(1)过点 P 的直线有多少条
(2)满足什么条件的直线才能与 AB 平行
B
P
A
C
D
O
无数条
∠DPN = ∠DOB
（答案不唯一）
M
N
尝试·思考
如图，已知点 P 在直线 AB 外，用尺规作直线 MN，使 MN 经过点 P，且 MN//AB. 画一画，并且尝试总结画法！
B
P
A
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1. 如图所示，下列说法中正确的有( )
C
（第1题）
与是同旁内角；与是内错角；与 是
内错角；与 是同位角.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
2. 如图，能判定 的条件是( )
D
（第2题）
A. B.
C. D.
返回
（第3题）
3. [2024广州月考] 如图，直线， 被直
线所截， ，当 ( )时，
.
C
A. B. C. D.
返回
4. 教材P44观察·交流 如图，将三个相同的三角尺不
重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段， ，
，，， 中，相互平行的线段有( )
B
（第4题）
A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 1组
（第4题）
【点拨】，则 （同位角相
等，两直线平行）； ，则
（内错角相等，两直线平行）；
，则 （内错角相等，两直线平行）.
互相平行的线段有：，， ，共3组.
故选B.
返回
5. 教材P46随堂练习T1 如图，____是和 的同位角，
____是和的内错角，____是 的同旁内角.
（第5题）
返回
（第6题）
6. 如图，在
四边形中，点在 的延长线
上，点在 的延长线上，如果添加
一个条件，使 ，那么可添加
的条件为________________________
___________.（写出一个即可）.
（答案不唯一）
返回
7. 如图，利用尺规过点作直线 ，使
.（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
【解】如图所示，直线 即
为所求.
返回
8.如图，已知 ， ，试说明 .
【解】因为与是对顶角， ，
所以 .
又因为 .所以 .所以 .
返回
9. 如图，下列能判定 的条件有( )
C
；
；
；
.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点拨】①利用同旁内角互补判定两直
线平行，正确；
②利用内错角相等判定两直线平行.因为
，所以，而不能判定 ，故错误；
③利用内错角相等判定两直线平行，正确；
④利用同位角相等判定两直线平行，正确.
故选C.
返回
10. [2024烟台期末] 下列各图中，能画出 的是( )
D
A. ①②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④
【点拨】由同位角相等，两直线平行可知①③正确；由内错
角相等，两直线平行可知②④正确.
返回
11. 一次数学活动中，检验两条纸带①，②的边线是否平行，
嘉嘉和淇淇采用两种不同的方法：嘉嘉将纸带①沿 折叠，
量得 ；淇淇将纸带②沿折叠，发现 与
重合，与重合（点在上，点在 上），展
开后得到折痕 ，如图所示.下列判断正确的是( )
B
A. 只有纸带①的边线平行
B. 只有纸带②的边线平行
C. 纸带①，②的边线都平行
D. 纸带①，②的边线都不平行
【点拨】如图①所示,因为与 互为对顶角，
所以 .
又因为 ，所以
.所以 .所
以 .
所以纸带①的边线不平行；
如图②所示，
因为发现与重合，与 重合，
所以 ， .
所以 .
所以纸带②的边线平行.故选B.
返回
12.如图是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角
分别为 , , ,则图中共有___对平行线.
5
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086

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