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3.2.2抛硬币试验
第三章 概率初步
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
抛硬币试验
一、试验目标
通过实际操作抛硬币试验，深入感受随机事件的不确定性，探究对称均匀物体在随机试验中结果的特性。
掌握试验方案设计、数据记录与分析的方法，提升动手操作和数据处理能力。
理解在大量重复试验中，对称均匀物体随机事件发生的频率会稳定在特定常数附近，进一步认识频率与可能性的关系。
在试验过程中，培养合作探究精神和严谨的科学态度，激发对随机现象研究的兴趣。
二、试验背景
在之前的学习中，我们知道对于抛掷硬币这样对称均匀的物体，普遍认为正面朝上和反面朝上的可能性相等。但这一结论是否能通过实际试验得到验证呢？抛硬币试验是概率论中最经典的随机试验之一，它能让我们直观地感受对称物体在随机试验中频率的稳定性，也能与之前的抛瓶盖试验形成对比，更清晰地理解物体对称性对随机事件可能性的影响。
三、试验准备
（一）试验器材
相同规格的均匀硬币若干（建议每个小组准备 1-2 枚，确保硬币质地均匀、正反面区分明显，避免因硬币本身差异影响试验结果）。
试验记录表（用于记录每次抛掷结果和累计数据，可参考表 1 格式）。
笔、草稿纸（用于计算频率和绘制图表）。
可选工具：计算器（用于频率计算）、坐标纸（用于绘制频率变化折线图）。
（二）试验分组
建议以 4-6 人为一个小组进行试验，明确分工如下：
1 人负责抛掷硬币（保证抛掷方式统一，每次从相同高度、以相同力度抛出，确保试验的随机性）。
1-2 人负责观察并记录结果（明确 “正面朝上” 和 “反面朝上” 的定义，避免记录混淆）。
1 人负责核对记录数据，保证数据的准确性。
1 人负责计算频率和整理数据（频率 = 某一结果出现次数 ÷ 总试验次数）。
四、试验过程
（一）试验步骤
明确试验规则：
定义 “硬币有数字的一面朝上” 为事件 A（正面朝上），“硬币有图案的一面朝上” 为事件 B（反面朝上），小组内统一标准。
抛掷硬币时，保持抛掷高度一致（如离桌面 30-50 厘米），待硬币稳定静止后再记录结果，若硬币落地后倾斜倚靠或滚出试验区域，需重新抛掷。
进行试验并记录数据：
先进行小规模试验，抛掷 10 次硬币，记录事件 A 和事件 B 出现的次数，计算频率并填入试验记录表（如表 1）。
逐步增加试验次数，分别进行 50 次、100 次、200 次抛掷试验（条件允许可增加至更多次数），每次试验后及时记录数据并计算频率。
试验过程中，确保每次抛掷的随机性，不刻意控制硬币落地方向。
汇总数据：
试验结束后，小组内汇总所有数据，核对试验次数、事件 A 和事件 B 出现次数是否准确。
计算不同试验次数下事件 A 和事件 B 的频率，观察频率变化趋势。
（二）试验记录表（表 1）
试验次数
事件 A（正面朝上）出现次数
事件 A 的频率
事件 B（反面朝上）出现次数
事件 B 的频率
10
50
100
200
...
五、试验结果分析
（一）数据整理与分析
计算频率：根据记录表数据，计算不同试验次数下事件 A 和事件 B 的频率。例如，抛掷 100 次硬币，正面朝上出现 48 次，则事件 A 的频率为\(48\div100 = 0.48\)，事件 B 的频率为\(1 - 0.48=0.52\)。
绘制频率变化折线图：以试验次数为横轴，事件 A（或事件 B）的频率为纵轴绘制折线图，观察随着试验次数增加，频率是否逐渐稳定在 0.5 附近。
示例：试验次数较少时（如 10 次），频率可能偏离 0.5 较多；随着次数增加（如 100 次、200 次），频率波动减小，逐渐接近 0.5。
（二）小组讨论与结论
讨论问题：
试验中事件 A 和事件 B 的频率是否接近相等？与抛瓶盖试验结果有何不同？原因是什么？
随着试验次数增加，事件 A 的频率变化有何规律？这体现了均匀对称物体随机试验的什么特性？
不同小组的试验结果是否存在差异？如何解释这种差异？
得出结论：
抛硬币试验中，由于硬币质地均匀、形状对称，事件 A（正面朝上）和事件 B（反面朝上）的频率大致相等，即它们的可能性大小相近。
随着试验次数不断增加，事件 A 和事件 B 的频率会逐渐稳定在 0.5 附近，这表明在大量重复试验中，对称均匀物体的随机事件发生可能性具有稳定性。
六、试验拓展与思考
（一）不同硬币的对比试验
使用不同面值、不同材质的硬币（如 1 元硬币、5 角硬币）分别进行 100 次抛掷试验，比较它们的频率稳定值，分析硬币面值、材质对试验结果是否有影响。
（二）与抛瓶盖试验的对比分析
对比抛硬币和抛瓶盖试验的结果，思考物体的对称性如何影响随机事件发生的可能性大小。为什么对称物体的不同结果可能性更接近相等？
（三）生活中的应用思考
生活中哪些随机事件与抛硬币试验类似，具有等可能性？（如掷均匀骰子各点数出现的可能性），这些事件有什么共同特征？
七、易错点警示
试验操作不规范：抛掷硬币时高度、力度不一致，或记录结果时出现误判，会导致数据不准确，影响结果分析。
试验次数不足：仅通过少量试验（如 10 次）就得出结论，忽略频率的波动性，可能错误认为正面和反面朝上可能性不相等。
混淆频率与概率：将某次试验的频率直接当作概率，忽略概率是频率的稳定值这一本质区别。
忽视随机误差：不同小组试验结果存在差异是正常的随机误差，不能因此否定试验结论，应通过增加试验次数或汇总数据减少误差影响。
八、试验总结
通过抛硬币试验，我们验证了对称均匀物体在随机试验中不同结果的可能性大致相等这一结论。试验表明，随着试验次数增加，正面朝上和反面朝上的频率会逐渐稳定在 0.5 附近，体现了随机事件频率的稳定性。
与抛瓶盖试验对比，我们更清晰地认识到物体的对称性对随机事件可能性的影响：对称物体的不同结果可能性更接近相等，而非对称物体则存在差异。规范操作、足够的试验次数和准确记录是保证试验结果可靠的关键。
九、课后作业
整理本小组抛硬币试验数据，绘制事件 A 的频率变化折线图，撰写试验报告（包括目的、步骤、数据、结果分析和结论）。
汇总多个小组的试验数据（如合并各小组 200 次试验数据），计算合并后事件 A 的频率，观察其是否比单个小组数据更稳定、更接近 0.5。
对比抛硬币和抛瓶盖试验的异同，撰写一份关于物体对称性与随机事件可能性关系的分析报告。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，会出现两种情况：
正面朝上
正面朝下
你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗
(1) 两人一组(一人操作，一人记录数据)做 20 次掷硬币的试验，并将数据记录在下表中：
试验总次数
正面朝上的次数
正面朝上的频率
正面朝下的次数
正面朝下的频率
做一做
频率的稳定性
1
(2)累计全班同学的试验结果，并将数据汇总填入下表：
试验总次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
正面朝上 的次数
正面朝上 的频率
正面朝下 的次数
正面朝下 的频率
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40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
0.5
0
1.0
0.2
0.7
频率
试验总次数
(3) 根据上表，完成下面的折线统计图.
当试验次数很多时, 正面朝上的频率折线差不多稳定在“ 0.5 水平线” 上.
(4) 观察上面的折线统计图，你发现了什么规律？
当实验的次数较少时，折线在“0.5 水平直线”的上下摆动的幅度较大，随着实验的次数的增加，折线在“0.5 水平直线”的上下摆动的幅度会逐渐变小.
(5) 下表列出了一些历史上的数学家所做的掷硬币试验的数据：
分析试验结果及下面数学家大量重复的试验数据，大家
有何发现？
试验次数越多频率越接近 0. 5.
抛掷次数
0.5
2048
4040
10000
12000
24000
“正面向上”的频率
0
一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性.
归纳总结
我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率.用大写字母 A，B，C 等表示事件，用 P(A) 表示事件 A 发生的概率.
一般地，大量重复的试验中，我们可以用事件 A 发生的频率来估计事件 A 发生的概率.
频率与概率的区别与联系
2
问题1：事件 A 发生的概率可以通过什么来估算
事件 A 发生的频率.
因为事件A发生的概率可以用在大量重复试验中事件A发生的频率来估算，根据频率的定义(在 n 次重复试验中，事件 A 发生了 m 次，则比值 称为事件 A 发生的频率)，而0问题2：事件 A 发生的概率 P(A) 的取值范围是什么？必然事件发生的概率是多少？不可能事件发生的概率又是多少
特别地，当 A 为必然事件时，P(A) = 1；
当 A 为不可能事件时，P(A) = 0.
因此，0≤P (A)≤1.
必然事件发生的概率为 1；
不可能事件发生的概率为 0；
随机事件 A 发生的概率 P(A) 是 0 与 1 之间的 一个常数.
归纳总结
例1 王老师将 1 个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀（所有球除颜色外都相同），让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球(有放回). 下表是活动进行中的一组统计数据(结果保留两位小数)：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的 次数 m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球 的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 ____
典例精析
0.251
解：(1) 251÷1000≈0.25.
因为大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到 0.25 附近，所以估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 0.25.
(2) 设袋中白球为 x 个，1＝0.25(1 + x)，解得 x＝3.
答：估计袋中有 3 个白球．
(1) 补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中
摸出一个球是黑球的概率是多少；
(2) 估算袋中白球的个数．
由上面的试验，请你估计掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和正面朝下的概率分别是多少 它们相等吗
都是 ，相等.
议一议
1. 小凡做了 5 次掷均匀硬币的试验，其中有 3 次正面朝上，2 次正面朝下，他认为正面朝上的概率大约为 ，朝下的概率为 ，你同意他的观点吗？你认为他再多做一些试验，结果还是这样吗？
3
5
2
5
答：不同意. 概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.再多做一些试验，结果不一定还是这样.
练一练
2. 小明掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，那么，抛掷 100 次硬币，你能保证恰好 50 次正面朝上吗？
1
2
答：不能，这是因为频数和频率有随机性，以及一定的规律性.或者说概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.
1. [2024连云港] 下列说法正确的是( )
C
A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概
率较大
B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性
较大
C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随
机事件
D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，连续抛此
硬币2次必有1次正面朝上
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2. 下列说法中：
①如果一个事件发生的可能性很小，那么它的概率为0；
②如果一个事件发生的可能性很大，那么它的概率为1；
③如果一个事件可能发生，也可能不发生，那么它的概率介
于0与1之间.
正确的说法有( )
A
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
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3. 某收费站在2小时内对经过该站的机动车统计如下表：
类型 轿车 货车 客车 其他
数量（辆） 36 24 8 12
若有一辆机动车将经过这个收费站，利用上面的统计估计它
是轿车的概率为( )
B
A. B. C. D.
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4. 在一个不透明的箱子里，装有若干
个除了颜色外其余均相同的小球，某数学学习小组做摸球试
验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回
箱子中，重复该操作，下表是活动进行中的一组统计数据：
100 150 200 500 800 1 000
59 93 295 480 601
0.59 0.61 0.59 0.60 0.601
（1）上表中的_____， _____；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是____.（精确到0.1）
0.62
122
0.6
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5. 《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶
所著的数学著作.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，
有人送来米2 000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得
300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为_____石.
240
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6. 如图所示的统计图中，横
轴代表某校参与体质测试的学
生人数，纵轴代表体重标准的
学生人数占测试总人数的比例，
C
A. 300 B. 400 C. 900 D. 1 200
已知该校体重偏瘦的学生共有80人，体重标准的有 人，体
重超重的有520人，则 的值约为( )
7. 如图①，平整的地面上有一个不规则图
案（图中阴影部分），小明想了解该图案
的面积是多少，他采取了以下办法：用一个
长为，宽为 的长方形，将不规则图
案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形
区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数（球扔在界线上或长
方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了如图
②所示的折线统计图.由此他估计不规则图案的面积为( )
A. B. C. D.
D
8.下列说法：
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可
能性大小；
②做次随机试验，事件发生次，则事件 发生的概率一
定等于 ；
③频率是不能脱离具体的 次试验的试验值，而概率是具有
确定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
其中正确的是________（填序号）.
①③④
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谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086

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