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3.3.2与摸球相关的概率
第三章 概率初步
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
3.3.2 与摸球相关的概率
一、学习目标
结合摸球试验的具体情境，进一步理解等可能事件概率的计算方法，能准确分析摸球过程中的基本事件。
掌握 “放回摸球” 和 “不放回摸球” 两种情境下概率的计算技巧，明确两种情境的区别与联系。
能运用概率知识解决与摸球相关的实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。
在探究摸球概率的过程中，体会数学与生活的联系，培养严谨的逻辑思维和随机观念。
二、情境引入
在生活中，我们经常会遇到与摸球相关的随机现象，比如抽奖箱中摸奖券、游戏中的摸球闯关等。这些情境中，摸到不同颜色或不同标号的球的概率往往不同。例如，一个袋子里装有大小相同的红球和白球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？如果摸出一个球后不放回，再摸第二个球，此时摸到红球的概率又会发生怎样的变化？本节课我们就专门研究与摸球相关的概率计算问题，揭开这些随机现象背后的数学规律。
三、摸球试验的基本特征
摸球试验是典型的等可能事件概率问题，具有以下基本特征：
试验对象：通常是装有若干个除颜色、标号等特征外，形状、大小、质地完全相同的球的容器（如袋子、盒子等）。
基本事件：从容器中任意摸出一个球，每个球被摸到的可能性相等，即每个球对应一个等可能的基本事件。
事件构成：与摸球相关的事件通常由多个基本事件组成，例如 “摸到红球” 这一事件由所有红球对应的基本事件构成。
在摸球试验中，关键是确定 “所有可能的结果总数” 和 “所求事件包含的结果数”，这与球的数量、摸球的方式（放回或不放回）密切相关。
四、“放回摸球” 的概率计算
（一）情境特点
“放回摸球” 是指第一次摸出球后，将球放回容器中并摇匀，再进行下一次摸球。这种情况下，每次摸球时容器中球的总数和各类球的数量都保持不变，各次摸球的结果相互独立，互不影响。
（二）计算方法
在放回摸球情境中，每次摸球的所有可能结果总数相同，且每次摸球中各类球被摸到的概率也相同。计算多次放回摸球中某一事件的概率时，可分别计算每次摸球的概率，再根据事件的独立性进行组合。
（三）实例解析
例 1：一个不透明的袋子里装有 2 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外完全相同。
（1）从中任意摸出一个球，求摸到红球的概率。
（2）如果先摸出一个球，记下颜色后放回袋子并摇匀，再摸出一个球，求两次都摸到红球的概率。
解：
（1）袋子里一共有球：\(2 + 3=5\)（个），所有可能的结果有 5 个，每个球被摸到的可能性相等。
事件 “摸到红球” 包含的结果数是 2 个，所以摸到红球的概率\(P(\text{ ° })=\frac{2}{5}\)。
（2）因为是放回摸球，第一次摸球后将球放回，所以第二次摸球时袋子里仍有 5 个球，其中红球 2 个。
第一次摸到红球的概率为\(\frac{2}{5}\)，第二次摸到红球的概率也为\(\frac{2}{5}\)。
由于两次摸球结果相互独立，所以两次都摸到红球的概率\(P=\frac{2}{5}\times\frac{2}{5}=\frac{4}{25}\)。
例 2：一个盒子里装有标有数字 1、2、3、4 的 4 个完全相同的球，从中任意摸出一个球，记下数字后放回，再摸出一个球。求两次摸出的球上的数字之和为 5 的概率。
解：
放回摸球时，第一次摸球有 4 种可能结果，第二次摸球也有 4 种可能结果，根据分步乘法计数原理，所有可能的结果总数为\(4\times4 = 16\)（种），且每种结果出现的可能性相等。
事件 “两次摸出的数字之和为 5” 包含的结果有：（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1），共 4 种。
所以，所求概率\(P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\)。
五、“不放回摸球” 的概率计算
（一）情境特点
“不放回摸球” 是指第一次摸出球后，不再将球放回容器中，直接进行下一次摸球。这种情况下，每次摸球时容器中球的总数会减少，且后一次摸球的结果受前一次摸球结果的影响。
（二）计算方法
在不放回摸球情境中，第一次摸球的所有可能结果总数为球的总个数；第二次摸球的所有可能结果总数为总个数减 1；以此类推。计算概率时，需根据前一次摸球的结果调整后一次摸球的结果数。
（三）实例解析
例 3：沿用例 1 的袋子（2 个红球，3 个白球），如果先摸出一个球，不放回，再摸出一个球，求：
（1）第一次摸到红球，第二次摸到白球的概率。
（2）两次摸到的球颜色不同的概率。
解：
袋子里一共有 5 个球，不放回摸球时，第一次摸球有 5 种可能结果，第二次摸球有 4 种可能结果，所有可能的结果总数为\(5\times4=20\)（种）。
（1）事件 “第一次摸到红球，第二次摸到白球”：第一次摸到红球有 2 种可能，第二次在剩下的 4 个球中摸到白球有 3 种可能，所以该事件包含的结果数为\(2\times3 = 6\)（种）。
因此，所求概率\(P=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\)。
（2）事件 “两次摸到的球颜色不同” 包括 “第一次红第二次白” 和 “第一次白第二次红” 两种情况。
“第一次白第二次红” 包含的结果数为\(3\times2=6\)（种）。
所以，事件 “两次颜色不同” 包含的结果数为\(6 + 6=12\)（种），所求概率\(P=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\)。
例 4：一个袋子里装有 3 个红球和 2 个黄球，这些球除颜色外完全相同。从中任意摸出两个球（不放回），求至少摸到一个红球的概率。
解：
方法一：直接计算。
不放回摸出两个球，所有可能的结果总数为\(5\times4=20\)（种）（考虑顺序）。
“至少摸到一个红球” 包括 “摸到 1 个红球和 1 个黄球” 和 “摸到 2 个红球” 两种情况。
“1 红 1 黄” 的结果数：第一次红第二次黄有\(3\times2=6\)种，第一次黄第二次红有\(2\times3=6\)种，共 12 种。
“2 红” 的结果数：\(3\times2=6\)种。
所以，事件包含的结果数为\(12 + 6=18\)种，概率\(P=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}\)。
方法二：利用对立事件。
“至少摸到一个红球” 的对立事件是 “摸到的两个球都是黄球”。
“两个都是黄球” 的结果数为\(2\times1=2\)种，概率\(P(\text{ ¤é })=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}\)。
所以，\(P(\text{è ° })=1 - P(\text{ ¤é })=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)。
六、知识辨析
“放回摸球” 与 “不放回摸球” 的区别
摸球方式
球的总数变化
各次结果关系
概率计算特点
放回摸球
每次摸球时总数不变
各次结果相互独立，不受影响
每次摸球的概率相同，多次摸球概率可直接相乘
不放回摸球
每次摸球后总数减少 1
后一次结果受前一次结果影响
每次摸球的概率可能不同，需根据前次结果调整后次结果数
例如，从装有 2 红 3 白的袋子中摸两次球，放回时第二次摸到红球的概率仍为\(\frac{2}{5}\)；而不放回时，若第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为\(\frac{1}{4}\)；若第一次摸到白球，第二次摸到红球的概率为\(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)。
对立事件的概率应用
在摸球问题中，当直接计算某事件的概率较为复杂时，可利用对立事件的概率关系简化计算。对立事件的概率满足：\(P(A)+P(\text{é }A)=1\)，即\(P(A)=1 - P(\text{é }A)\)。例如，例 4 中 “至少摸到一个红球” 的对立事件是 “摸到两个黄球”，后者计算更简单，通过对立事件可快速求出结果。
七、易错点警示
混淆放回与不放回：在计算概率时，未明确摸球方式是放回还是不放回，导致结果数计算错误。例如，将不放回摸球当作放回摸球，认为每次摸球的总数不变。
忽略顺序或重复计算：在计算不放回摸球的结果总数时，未考虑是否需要区分顺序，导致重复计算或漏算。例如，摸出（红 1，红 2）和（红 2，红 1）在无顺序要求时是同一结果，但在分步计算时需注意是否重复。
对立事件判断错误：不能准确找出事件的对立事件，导致利用对立事件计算时出现偏差。例如，“至少摸到一个红球” 的对立事件是 “一个红球也没摸到”（即全是其他颜色球），而非 “摸到一个红球”。
结果数计算疏漏：在计算事件包含的结果数时，漏算部分情况。例如，计算 “两次颜色不同” 时，只算 “第一次红第二次白”，漏掉 “第一次白第二次红” 的情况。
忽视基本事件等可能性：默认所有颜色的球被摸到的可能性相等，而忽略球的数量差异。例如，认为袋子里有红、白两种球，摸到红球的概率就是\(\frac{1}{2}\)，而不考虑两种球的实际数量。
八、课堂练习
一个袋子里装有 4 个红球和 1 个黑球，这些球除颜色外完全相同。
（1）从中任意摸出一个球，放回后再摸一个，求两次都摸到红球的概率。
（2）从中任意摸出两个球（不放回），求摸到黑球的概率。
一个盒子里有标号为 1、2、3 的 3 个小球，从中任意摸出一个球，记下标号后不放回，再摸出一个球。求两次摸出的球的标号之和为 4 的概率。
不透明的袋子里有 2 个黄球和 3 个绿球，从中依次摸出两个球（不放回），求两次摸到的球都是绿球的概率。
一个袋子里装有 5 个大小相同的球，其中 2 个是蓝色，3 个是棕色。从中任意摸出 3 个球（不放回），求至少摸到一个蓝色球的概率。
判断下列说法是否正确：
（1）从装有 3 个红球和 2 个白球的袋子里不放回摸球，第一次摸到红球的概率比第二次摸到红球的概率大。
（2）放回摸球时，多次摸球的结果互不影响。
（3）不放回摸球中，“摸到两个红球” 和 “摸到两个白球” 是对立事件。
九、方法总结
明确摸球方式：首先确定是 “放回摸球” 还是 “不放回摸球”，这是准确计算概率的前提。放回摸球总数不变，各次独立；不放回摸球总数递减，结果相关。
计算结果总数：根据摸球方式和次数，计算所有可能的结果总数。放回摸球用\(n^k\)（\(n\)为总球数，\(k\)为次数）；不放回摸球用\(n\times(n - 1)\times\cdots\times(n - k + 1)\)。
分析事件构成：分解所求事件包含的所有基本情况，确保不重复、不遗漏。对于复杂事件，可考虑利用对立事件简化计算。
套用概率公式：用事件包含的结果数除以所有可能的结果总数，得到事件发生的概率。对于多次摸球，根据独立性或关联性分步计算。
验证结果合理性：检查概率值是否在 0 到 1 之间，结合实际情境判断结果是否合理，避免因计算错误导致概率异常。
通过本节课的学习，我们掌握了与摸球相关的概率计算方法，能够区分放回和不放回两种情境下的概率计算差异，并能运用对立事件等技巧解决复杂问题。摸球问题是概率知识的重要应用场景，掌握这些方法有助于我们更好地理解随机现象，解决生活中的概率问题。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
等可能事件的概率计算公式是什么
一般地，如果一个试验有 n 种等可能的结果，
事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为：P (A) = .
等可能试验的概率计算公式是什么？
简单概率的计算
概率公式
事件 A 包含其中的 m 种结果
一次试验有 n 种等可能的结果
一个不透明袋中装有 2 个红球和 3 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？
摸出的球不是红球就是白球，所以摸到
红球和白球的可能性相同，P(红球) = .
与摸球相关的等可能事件的概率
你觉得小明说得对吗？
1
小明
从盒中任意摸出一个球，
如果将每一个球都编上号码，
摸出红球可能出现两种等可能的结果：摸出 1 号球或 2 号球.
共有 5 种等可能的结果：1 号球，2 号球，3 号球，4 号球，5 号球.
P (摸到红球) =
1
2
3
4
5
你认为谁说的有道理
小颖
归纳总结
P(摸出某种颜色的球)
该种颜色的球的数量
球的总数
小明和小颖一起做游戏. 在一个装有 2 个红球和3 个白球（每个球除颜色外都相同）的黑盒中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？
解：
这个游戏不公平.
2
游戏公平
摸出白球可能出现三种等可能的结果：
摸出 3 号球或 4 号球或 5 号球.
因为 所以这个游戏对双方不公平.
理由如下：将小球编号 如图：
小明胜：P (摸到红球) =
小颖胜：P(摸到白球) =
1
2
3
4
5
在一个双人游戏中，你怎样理解游戏对双方
是否公平？
思考
双方赢的可能性相等就公平，否则就不公平.
例1 在一个不透明的袋中有 6 个除颜色外其他都相
同的小球，其中 3 个红球，2 个黄球，1 个白球．
(1) 乐乐从中任意摸出一个小球，摸到的是白球的概率是多少？
解：摸出的求一共有6种情况，
摸出白球只有1种情况
所以 P (摸出白球)＝
典例精析
解：该游戏对双方是公平的．理由如下：由题意
可知 P(乐乐获胜)＝ P(亮亮获胜)＝
所以他们获胜的概率相等，即游戏是公平的．
方法总结：判断游戏是否公平，关键是看双方在游戏中所关注的事件发生的概率是否相同．
(2) 乐乐和亮亮商定一个游戏，规则如下：乐乐从中
任意摸出一个小球，摸到红球则乐乐胜，否则亮亮
胜，问该游戏对双方是否公平？为什么？
思考：选取 4 个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.
(1) 使得摸到红球的概率是 ，摸到白球的概率也是 .
3
设计简单概率模型
在一个不透明的袋中有 4 个除颜色外其他都相同的小球，其中 2 个红球，2 个白球. 搅匀后，从中任意摸一个球，则摸到红球的概率是，摸到白球的概率也是 .
(2) 使得摸到红球的概率是 ，摸到白球和黄球的概率都是 .
在一个不透明的袋中有 4 个除颜色外其他都相同
的小球，其中 2 个红球，1个白球，1个黄球. 搅匀后，从中任意摸一个球，则摸到红球的概率是 ，摸到白球和黄球的概率都是 .
你能选取 8 个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗
你能选取 7 个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗
答：不能，7÷2＝3.5，球都是整数个.
答：(1) 4 个红球、4 个白球；
(2) 4个红球、2 个白球、2 个黄球.
合作探究
1. 如图所示，三张卡片上各画着一只动物，分别是狗、猫、
熊，小明和小刚玩翻卡片游戏.小明说，若翻到猫，则我获胜，
否则你获胜.谁获胜的概率大？( )
B
A. 小明 B. 小刚 C. 一样大 D. 无法确定
返回
2. 如图,若摸到黑球获胜,你会选的盒子是( )
C
A. B.
C. D.
返回
3. 小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整
数，然后都拿给对方看.他们约定：若两人所写的数都是奇数
或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数，
另一个是偶数，则小亮获胜.这个游戏( )
C
A. 对小明有利 B. 对小亮有利
C. 公平 D. 无法确定对谁有利
返回
4.小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶
数，则小兰赢.如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小
青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？________
（填“公平”或“不公平”），______获胜的概率大，概率是__.
不公平
小兰
【点拨】因为骰子的点数是1，2，3，4，5，6,所以
（点数是偶数）；（点数是3的倍数） .所以
游戏不公平.小兰获胜的概率大，概率是 .
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5. [2024济南一模] 某口袋中有10个球（球除颜色外其他都相
同），其中白球个，绿球 个，其余为黑球.甲从袋中任意
摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙
从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙
双方公平，则 应该是( )
D
A. 3 B. 4 C. 1 D. 2
【点拨】由题意可知，绿球与黑球的个数应相等，也为 个，
列方程可得，解得 .故选D.
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6.老师利用如图所示的幻方设计了一个游戏，游戏规则为：
甲乙两人轮流在幻方上投掷棋子（落在边线上或区域外则重
新投掷），若棋子落在奇数所在方格上则甲获胜，若棋子落
在偶数所在方格上则乙获胜，那么获胜概率大的是____.
14 7 12
9 11 13
10 15 8
甲
【点拨】在这个幻方中共有9个数字，所以棋子落下会有9种
等可能的结果，其中是奇数的有5个数，所以甲获胜的概率
是，其中是偶数的有4个数，所以乙获胜的概率是 .因为
,所以甲获胜的概率大.
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7. 请设计一个摸球游戏，使得
（摸到红球），（摸到白球） ，说明设计方案.
【解】（答案不唯一）一个袋子中装有12个球（除颜色外其
他都相同），其中红球4个，白球3个，黄球5个.
从中任取一球，总共有12种等可能的结果，其中摸到红球的
结果有4种，摸白球的结果有3种，
所以（摸到红球），（摸到白球） .
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8. 某校举行“传颂中华家风，弘扬中华
美德”演讲比赛.每班选拔一人参加.七年级（1）班的小丽和小
华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校
的演讲比赛.为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子
里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.将它们充分摇匀，并从中
任意摸出一个小球.规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；
摸出小球的号码能被5整除时，则小华去.这个游戏对双方公
平吗？请说明理由.如果不公平，应该如何修改游戏规则才能
对双方公平？
【解】这个游戏对双方不公平.理由如下：
因为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中，质数有2,3,5,7，能
被5整除的数有5,10，所以小丽去的概率为 ，小华去的
概率为.因为 ,所以这个游戏不公平.
游戏规则修改为：摸出小球的号码为奇数时，则小丽去；摸
出小球的号码为偶数时，则小华去.
返回
2. 游戏公平的原则：关注事件的发生概率一定相同.
1. 与摸球相关的等可能事件概率的求法
P (摸出某种颜色球)
该种颜色的球的数量
球的总数
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086

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