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3.3.3与面积相关的概率
第三章 概率初步
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
3.3.3 与面积相关的概率
一、学习目标
理解与面积相关的概率的基本概念，明确其适用场景和计算原理。
掌握在几何图形中计算随机事件概率的方法，能准确确定事件发生区域的面积和总区域的面积。
能运用面积相关的概率知识解决生活中的实际问题，如转盘游戏、投镖等情境，提高几何直观和数据分析能力。
在探究面积与概率关系的过程中，体会数形结合的数学思想，感受数学的实用性和趣味性。
二、情境引入
在生活中，我们会遇到许多与几何图形面积相关的随机事件。例如，转动一个被分成不同颜色区域的转盘，指针停在红色区域的概率是多少？向一个画有图案的靶子投镖，镖落在阴影部分的概率又该如何计算？这些问题都无法用之前学习的 “结果数之比” 来计算，因为它们的基本事件不是有限个离散的点，而是连续的区域。这类与面积相关的概率问题，需要我们通过比较事件发生区域的面积与总区域的面积来求解。本节课我们就来学习与面积相关的概率计算方法。
三、与面积相关的概率的基本原理
（一）概念定义
当随机事件的发生与几何图形的面积有关时，我们把事件发生的概率定义为事件发生区域的面积与总区域的面积之比。这种概率模型称为几何概型中的面积模型。
（二）计算公式
对于一个与面积相关的随机事件\(A\)，设总区域的面积为\(S_{\text{ }}\)，事件\(A\)发生的区域面积为\(S_{A}\)，则事件\(A\)发生的概率为：\(P(A)=\frac{\text{ }A\text{ é § }}{\text{ é § }}=\frac{S_{A}}{S_{\text{ }}}\)
（三）适用条件
与面积相关的概率计算需要满足以下条件：
试验的结果是无限的，且所有结果在一个有界的几何区域内均匀分布。
事件发生的概率只与该事件发生区域的面积有关，与区域的形状、位置无关。
例如，向一个正方形靶子投镖，镖落在正方形内任意一点的可能性相等，此时镖落在某一区域的概率只与该区域的面积有关。
四、实例解析
例 1：转盘游戏中的概率
一个可自由转动的转盘被等分成 8 个扇形，其中 3 个扇形为红色，2 个扇形为黄色，3 个扇形为蓝色（如图 1）。转动转盘，求指针停在红色区域的概率。
[此处插入图 1：一个被分成 8 个扇形的转盘，标注红、黄、蓝区域数量]
解：
转盘的总区域是整个转盘的面积，由于转盘被等分成 8 个扇形，每个扇形的面积相等，所以总区域的面积可以看作 8 个单位面积（每个扇形面积为 1 单位）。
事件 “指针停在红色区域” 发生的区域面积为 3 个单位面积（3 个红色扇形）。
根据计算公式，指针停在红色区域的概率\(P(\text{ è })=\frac{3}{8}\)。
例 2：投镖中的概率
一个靶子由一个半径为 20cm 的圆形和一个内接正方形组成（正方形的顶点在圆上），如图 2 所示。向靶子随机投一支镖（假设镖一定落在圆内），求镖落在正方形内的概率。
[此处插入图 2：圆形靶子及内接正方形]
解：
首先计算总区域的面积，即圆的面积：
圆的半径\(r = 20cm\)，根据圆的面积公式\(S=\pi r^2\)，可得\(S_{\text{ }}=\pi\times20^2 = 400\pi\ \text{cm}^2\)。
再计算事件 “镖落在正方形内” 的区域面积。设正方形的边长为\(a\)，由于正方形内接于圆，正方形的对角线等于圆的直径，即\(2r = 40cm\)。
根据正方形对角线与边长的关系：对角线长\(=\sqrt{2}a\)，可得\(\sqrt{2}a = 40\)，解得\(a=\frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}\ \text{cm}\)。
所以正方形的面积\(S_{\text{ }}=a^2=(20\sqrt{2})^2=800\ \text{cm}^2\)。
因此，镖落在正方形内的概率\(P=\frac{S_{\text{ }}}{S_{\text{ }}}=\frac{800}{400\pi}=\frac{2}{\pi}\approx0.637\)。
例 3：不规则图形中的概率
在一个长为 8cm、宽为 6cm 的长方形纸片上，有一个半径为 1cm 的圆形阴影区域，如图 3 所示。随机向长方形纸片上投一点，求该点落在阴影区域内的概率。
[此处插入图 3：长方形及内部圆形阴影]
解：
长方形的面积为总区域面积：\(S_{\text{ }}=8\times6 = 48\ \text{cm}^2\)。
圆形阴影区域的面积为事件发生区域的面积：\(S_{\text{é ±}}=\pi\times1^2=\pi\ \text{cm}^2\)。
所以，点落在阴影区域内的概率\(P=\frac{S_{\text{é ±}}}{S_{\text{ }}}=\frac{\pi}{48}\approx0.065\)。
例 4：区域重叠问题
一个边长为 10m 的正方形花园中，有一个边长为 5m 的正方形花坛位于花园的中心（如图 4）。一只小鸟随机落在花园内，求小鸟落在花坛外的概率。
[此处插入图 4：正方形花园及中心正方形花坛]
解：
方法一：直接计算花坛外区域的面积。
花园的总面积\(S_{\text{ }}=10\times10 = 100\ \text{m}^2\)。
花坛的面积\(S_{\text{è ± }}=5\times5 = 25\ \text{m}^2\)。
花坛外区域的面积\(S_{\text{ ¤ }}=S_{\text{ }}-S_{\text{è ± }}=100 - 25=75\ \text{m}^2\)。
所以，小鸟落在花坛外的概率\(P=\frac{S_{\text{ ¤ }}}{S_{\text{ }}}=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}\)。
方法二：利用对立事件。
“小鸟落在花坛外” 的对立事件是 “小鸟落在花坛内”。\(P(\text{è ± })=\frac{S_{\text{è ± }}}{S_{\text{ }}}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}\)。
所以，\(P(\text{è ± ¤ })=1 - P(\text{è ± })=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)。
五、知识辨析
与面积相关的概率和与摸球相关的概率的区别
概率类型
基本事件特征
计算依据
适用场景
与摸球相关的概率
基本事件是有限个离散的点（如球的个数）
结果数之比
试验结果为有限个且等可能的情境（如摸球、掷骰子）
与面积相关的概率
基本事件是无限个连续的点，分布在几何区域内
面积之比
试验结果为无限个且在区域内均匀分布的情境（如转盘、投镖）
例如，掷骰子时所有结果是 6 个离散的点数，用结果数之比计算概率；而转动转盘时，指针可以停在转盘上的任意位置，结果是无限的，用面积之比计算概率。
面积计算的准确性
在与面积相关的概率计算中，准确计算总区域面积和事件发生区域的面积是关键。对于规则图形（如圆、正方形、长方形、三角形等），可直接运用相应的面积公式计算；对于不规则图形，可通过分割、补形等方法转化为规则图形后再计算面积。
六、易错点警示
混淆区域范围：在计算总区域面积时，错误地将事件发生的限制区域忽略。例如，向圆形靶子投镖时，默认镖一定落在圆内，总区域面积应为圆的面积，而不是更大的区域。
面积计算错误：对规则图形的面积公式掌握不熟练，导致面积计算错误。例如，计算圆的面积时误用直径代替半径，计算正方形面积时将边长的平方算错。
忽略均匀分布条件：在不满足均匀分布的情况下，误用面积之比计算概率。例如，转盘的转动轴不在中心，导致各区域的可能性不均匀，此时不能直接用面积之比计算概率。
事件区域识别错误：不能准确确定事件发生的区域范围，导致事件面积计算错误。例如，在例 4 中，误将花坛的面积当作花坛外的面积进行计算。
单位不统一：在计算面积时，总区域和事件区域的面积单位不统一，导致结果错误。例如，总区域用平方米，事件区域用平方厘米，未进行单位换算就直接计算比值。
七、课堂练习
一个转盘被分成 5 个全等的扇形，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。转动转盘，求指针停在红色或黄色区域的概率。
一个长方形的长为 12cm，宽为 8cm，内部有一个底为 6cm、高为 4cm 的三角形阴影区域。随机向长方形内投一点，求该点落在阴影区域内的概率。
一个圆形靶子的半径为 15cm，靶子上有一个半径为 5cm 的同心圆红色区域。向靶子投镖（镖一定落在圆内），求镖落在红色区域的概率。
一个边长为 6m 的正方形广场上，有一个长为 3m、宽为 2m 的长方形喷泉。随机在广场上选择一点，求该点不在喷泉区域的概率。
如图 5，在半径为 10cm 的圆中有一个内接正三角形，随机向圆内投一点，求该点落在正三角形内的概率（提示：正三角形的面积公式为\(S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)，其中\(a\)为边长；内接正三角形的边长\(a = 10\sqrt{3}\ \text{cm}\)）。
[此处插入图 5：圆形及内接正三角形]
八、方法总结
确定区域范围：明确试验的总区域和事件发生的区域，确保区域范围符合试验情境（如投镖的总区域是靶子的面积，转盘的总区域是整个转盘的面积）。
计算区域面积：根据图形的形状，运用相应的面积公式计算总区域面积和事件发生区域的面积。对于不规则图形，可通过分割、补形等方法转化为规则图形后计算。
套用概率公式：将事件发生区域的面积除以总区域的面积，得到事件发生的概率。若事件较为复杂，可利用对立事件的概率关系（\(P(A)=1 - P(\text{é }A)\)）简化计算。
验证结果合理性：检查计算出的概率值是否在 0 到 1 之间，结合图形的直观感受判断结果是否合理（如面积较大的区域对应的概率应较大）。
注意单位统一：在计算面积时，确保总区域和事件区域的面积单位一致，避免因单位问题导致计算错误。
通过本节课的学习，我们掌握了与面积相关的概率计算方法，理解了其基本原理和适用条件。这类概率问题在生活中应用广泛，如游戏设计、几何概率模型等。掌握这些方法有助于我们更好地分析和解决生活中的随机现象，体会数学与现实世界的密切联系。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
在一个不透明袋中总共有 4 个除颜色外其他都相同
的球，其中3个红球，1个黄球.算得：
红球的数量
球的总数
P（摸到红球）
某种颜色球出现的概率，等于该种颜色的球的数量与球的总数的比.
结论：
与面积相关的等可能事件的概率
某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成 20 个扇形，分别涂上不同的颜色(如图). 商场规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会. 如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，
顾客就可以分别获得
100元、50元、20元的购物券.
1
(1) 自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在不同扇形区域的可能的结果共有多少种 这些结果是等可能的吗
(2) 某顾客购物消费 120 元，获得一次转动转盘的机会. 他获得 100 元、50 元、20 元购物券的概率分别是多少 他能获得购物券的概率是多少
共有 20 种，这些结果是等可能的.
解：转盘被等分成 20 个扇形，其中 1 个红色，2 个黄色，4 个绿色，即获得 100 元购物券的结果有 1 种，获得 50 元购物券的结果有 2 种，获得 20 元购物券的结果有 4 种,获得购物券的结果一共有7种.
解：
P
（获得购物券）＝
20
7
20
4
2
1
＝ .
+
+
20
1
P
（获得 100 元购物券）＝ .
P
（获得 50 元购物券）＝ .
20
2
10
1
＝
P
（获得 20 元购物券）＝ .
20
4
5
1
＝
事件 A 所包含的图形面积
图形总面积
与几何图形相关的简单事件 A 发生的概率：
要点归纳
如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？
120°
白
红
合作探究
指针不是落在红色区域就是落在白色区域，落在红色区域和白色区域的概率相等，所以 P (落在红色区域) = P (落在白色区域) =
这种说法正确吗？
120°
白
红
先把白色区域等分成 2 等份，这样转盘被分成 3 个扇形区域，其中 1 个是红色，2 个是白色，所以 P (落在红色区域) =
P(落在白色区域) =
120°
白
红
你认为谁的说法正确？
转动如图所示的转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？
110°
白
红
方法一：将转盘等分成 36份，由图，根据度数关系，其中 25 份是白色，11份是红色.
所以
P (落在红色区域) = ；
P (落在白色区域) =
想一想
110°
白
红
方法二：利用圆心角度数计算
P(落在红色区域) = = .
P(落在白色区域) = = .
要点归纳
转盘问题的概率计算公式：
P (A) ＝ 或
事件A的份数
总份数
事件A的圆心角度数
360°
2. 如图，在能自由转动的转盘中，A、B、C、D 四个扇形的圆心角的度数分别为 180°、 30°、 60°、 90°，转动转盘，当转盘停止时，指针指向 B 的概率是_____，指向 C 或 D 的概率是_____.
A
B
C
D
练一练
例 一张写有密码的纸片被随意地埋在下面的长方形中的某一区域内(每个方格大小一样).
(1) 埋在哪个区域的可能性最大
(2) 分别计算出埋在三个区域内的概率；
解：(1) 埋在 2 区的可能性较大.
典例精析
(2) P (埋在 1 区)＝，P (埋在 2 区)＝，
P (埋在 3 区)＝ .
例 一张写有密码的纸片被随意地埋在下面的长方形区域内(每个方格大小一样).
(3) 埋在哪两个区域的概率相同.
典例精析
解：埋在 1 区和 3 区的概率相同.
要点归纳
与面积相关的概率计算公式：
所求事件的概率 ＝
该事件所占区域的面积
总面积
2.一位汽车司机准备去某个商场购物，然后他把汽车停在商场的停车场内任意一个停车位上. 如图，停车场内一个停车位正好占一个方格且每个方格除颜色外完全一样，则汽车停在
红色区域的概率是_____.
练一练
（第1题）
1. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任
意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指
针落在灰色区域的概率是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，任意转动正六边形转盘一次，当转
盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率
是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图是一个可以自
由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指
针落在 区域的概率是( )
D
A. B. C. D.
返回
4.如图，随机在正十二边形及其内部区域投针，若针扎到灰
色区域的概率为 ，则还需将___个三角形涂灰.
6
（第4题）
返回
5. 在下列选项的四个转盘中，C，D选项的转盘被分成8等份，
若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概
率最大的转盘是( )
A
A. B. C. D.
返回
6.如图是一个圆形转盘，现按 分成四个部分，分别涂
上红、黄、蓝、绿四种颜色，自由转动转盘，停止后指针落
在绿色区域的概率为__.
返回
7.暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满500元的顾
客可获得一次转转盘得优惠券的机会.如图是一个可以自由转
动的转盘（转盘被等分成10个扇形），转动转盘停止后，根
据指针指向参照下表获得优惠券（指针指向黄色区域不获奖，
指向分界线时重转一次，直到指向某一扇形为止）
颜色 红 蓝 黑
奖券金额（元） 20 50 80
（1）甲顾客购物300元，他获得优惠券的概
率是___.
0
（2）乙顾客购物600元，他获得20元和80元
优惠券的概率分别是多少？
【解】由题意可知，每转动一次转盘，共有10种等可能的结
果，其中红色的有2种，黑色的有1种，所以指针指向红色的
概率为，指针指向黑色的概率为 .
所以他获得20元和80元优惠券的概率分别为， .
（3）为加大活动力度，现商场想调整获得
20元优惠券的概率为 ，其余优惠券获奖概
率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色
区域？
【解】设需要将 个黄色区域改为红色区域，
由题意，得，解得 ，
所以需要将3个黄色区域改为红色区域.
返回
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阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086

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