资源简介

(共29张PPT)
4.2 全等三角形
第四章 三角形
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
4.2 全等三角形
一、学习目标
理解全等三角形的定义，能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边和对应角。
掌握全等三角形的表示方法，明确全等符号 “≌” 的含义和使用规则。
熟练运用全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）解决几何问题，提高几何推理和计算能力。
在探究全等三角形的过程中，体会图形变换与全等的关系，培养空间观念和几何直观。
二、情境引入
在生活中，我们经常会见到形状和大小完全相同的图形，比如两张相同的照片、复制的窗花图案、全等的三角形零件等。这些图形能够完全重合，它们之间存在着特殊的关系。在几何中，形状和大小完全相同的三角形叫做全等三角形。全等三角形有哪些特殊的性质？如何表示两个三角形全等？本节课我们就来学习全等三角形的相关知识，揭开全等三角形的神秘面纱。
三、全等三角形的定义与表示
（一）定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
例如，将△ABC 平移、翻折或旋转后得到△DEF，若这两个三角形能够完全重合，则△ABC 和△DEF 是全等三角形（如图 1）。
[此处插入图 1：△ABC 与△DEF 完全重合的示意图]
（二）对应元素
当两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
在图 1 中，△ABC≌△DEF（“≌” 读作 “全等于”），则：
对应顶点：点 A 与点 D，点 B 与点 E，点 C 与点 F。
对应边：AB 与 DE，BC 与 EF，AC 与 DF。
对应角：∠A 与∠D，∠B 与∠E，∠C 与∠F。
（三）表示方法
表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以更直观地看出对应边和对应角。
例如，△ABC 和△DEF 全等，记作△ABC≌△DEF，而不能记作△ABC≌△EDF（对应顶点位置错误）。
四、全等三角形的性质
（一）基本性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
这是全等三角形最核心的性质，由全等三角形的定义（完全重合）直接推导得出。例如，若△ABC≌△DEF，则：
对应边相等：AB = DE，BC = EF，AC = DF。
对应角相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
（二）延伸性质
全等三角形的对应中线相等、对应角平分线相等、对应高相等。
例如，若△ABC≌△DEF，AD 和 DG 分别是△ABC 和△DEF 的中线，则 AD = DG；AE 和 DH 分别是角平分线，则 AE = DH；AF 和 DI 分别是高，则 AF = DI。
全等三角形的周长相等，面积相等。
由于全等三角形的对应边相等，因此周长（三边之和）必然相等；又因为形状和大小完全相同，所以面积也相等。
（三）性质的几何语言表达
在几何推理中，全等三角形的性质通常用以下语言表述：
∵△ABC≌△DEF（已知）
∴AB = DE，BC = EF，AC = DF（全等三角形的对应边相等）
∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F（全等三角形的对应角相等）
五、全等三角形的识别与对应关系确定
（一）根据图形变换确定对应关系
两个全等三角形通常通过平移、翻折或旋转等变换得到，根据变换方式可快速确定对应关系：
平移变换：图形沿某一方向平移后得到的全等三角形，对应边平行（或在同一直线上），对应顶点的顺序不变。例如，图 2 中△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF，则 A 与 D、B 与 E、C 与 F 是对应顶点。
[此处插入图 2：平移得到的全等三角形]
翻折变换：图形沿某一直线翻折后得到的全等三角形，折痕是对应边的垂直平分线，对应角关于折痕对称。例如，图 3 中△ABC 沿 AD 翻折得到△ADC，则 AB 与 AC、BD 与 CD 是对应边，∠B 与∠C 是对应角。
[此处插入图 3：翻折得到的全等三角形]
旋转变换：图形绕某一点旋转后得到的全等三角形，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应角的大小不变。例如，图 4 中△ABC 绕点 A 旋转得到△ADE，则 AB 与 AD、AC 与 AE 是对应边，∠BAC 与∠DAE 是对应角。
[此处插入图 4：旋转得到的全等三角形]
（二）根据边或角的大小确定对应关系
最大边对应最大边，最小边对应最小边。
最大角对应最大角，最小角对应最小角。
公共边是对应边，公共角是对应角。
对顶角是对应角。
例如，在△ABC 和△DEF 中，若 AB 是最长边，DE 是最长边，则 AB 与 DE 是对应边；若∠A 是最大角，∠D 是最大角，则∠A 与∠D 是对应角。
六、实例解析
例 1：如图 5，△ABC≌△DCB，指出对应顶点、对应边和对应角，并写出相等的边和角。
[此处插入图 5：△ABC≌△DCB 的示意图]
解：
对应顶点：点 A 与点 D，点 B 与点 C，点 C 与点 B。
对应边：AB 与 DC，BC 与 CB，AC 与 DB。
对应角：∠A 与∠D，∠ABC 与∠DCB，∠ACB 与∠DBC。
相等的边：AB = DC，BC = CB，AC = DB。
相等的角：∠A = ∠D，∠ABC = ∠DCB，∠ACB = ∠DBC。
例 2：如图 6，△ABD≌△ACE，∠B = 25°，∠ADB = 105°，求∠AEC 和∠C 的度数。
[此处插入图 6：△ABD≌△ACE 的示意图]
解：
∵△ABD≌△ACE（已知）
∴∠ADB = ∠AEC（全等三角形的对应角相等）
∠B = ∠C（全等三角形的对应角相等）
∵∠ADB = 105°（已知）
∴∠AEC = 105°（等量代换）
∵∠B = 25°（已知）
∴∠C = 25°（等量代换）
例 3：如图 7，△ABC≌△DEF，且 AB = 5cm，BC = 7cm，AC = 9cm，求△DEF 的周长。
[此处插入图 7：△ABC≌△DEF 的示意图]
解：
∵△ABC≌△DEF（已知）
∴DE = AB，EF = BC，DF = AC（全等三角形的对应边相等）
∵AB = 5cm，BC = 7cm，AC = 9cm（已知）
∴DE = 5cm，EF = 7cm，DF = 9cm（等量代换）
∴△DEF 的周长 = DE + EF + DF = 5 + 7 + 9 = 21（cm）。
例 4：如图 8，△ABC≌△ADE，BC 的延长线交 DA 于点 F，交 DE 于点 G，∠ACB = ∠AED = 105°，∠CAD = 10°，∠B = 25°，求∠DGB 的度数。
[此处插入图 8：△ABC≌△ADE 的示意图]
解：
∵△ABC≌△ADE（已知）
∴∠B = ∠D = 25°，∠BAC = ∠DAE（全等三角形的对应角相等）
在△ABC 中，∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB = 180° - 25° - 105° = 50°（三角形内角和定理）
∴∠DAE = 50°（等量代换）
∵∠CAD = 10°（已知）
∴∠FAB = ∠BAC + ∠CAD = 50° + 10° = 60°
∵∠DFG = ∠FAB = 60°（对顶角相等）
在△DGF 中，∠DGB = 180° - ∠D - ∠DFG = 180° - 25° - 60° = 95°（三角形内角和定理）。
七、知识辨析
全等三角形与相似三角形的区别
图形类型
核心特征
性质差异
符号表示
全等三角形
形状相同，大小相等（完全重合）
对应边相等，对应角相等
≌
相似三角形
形状相同，大小不一定相等（成比例）
对应边成比例，对应角相等
∽
全等三角形是相似三角形的特殊情况（相似比为 1），但相似三角形不一定是全等三角形。例如，边长为 2cm 的等边三角形与边长为 4cm 的等边三角形是相似三角形，但不是全等三角形；而两个边长都为 3cm 的等边三角形既是相似三角形，也是全等三角形。
对应关系的重要性
在表示全等三角形和应用其性质时，对应关系至关重要。即使两个三角形全等，若对应顶点的顺序写错，也会导致对应边和对应角判断错误。例如，△ABC≌△DEF 与△ABC≌△DFE 表示的对应关系不同，对应的边和角也不同，在推理中必须严格按照对应顶点的顺序分析。
八、易错点警示
对应关系判断错误：在确定对应边和对应角时，未根据图形变换或边、角大小合理判断，导致对应关系颠倒。例如，将公共边错误地当作非对应边，或将对顶角当作非对应角。
符号表示不规范：使用全等符号 “≌” 时，对应顶点的位置书写错误，如将△ABC≌△DEF 写成△ABC≌△EDF，影响对应边和对应角的识别。
性质应用遗漏：在解决问题时，只使用对应边相等或对应角相等中的一种性质，忽略另一种性质的应用。例如，已知全等三角形却未利用对应角相等来计算角度。
混淆全等与相似：错误地认为全等三角形的对应边成比例（虽然比例为 1，但表述不准确），或认为相似三角形的对应边相等。
忽略图形变换影响：在复杂图形中，未考虑平移、翻折、旋转等变换对全等三角形对应关系的影响，无法准确识别对应元素。
九、课堂练习
填空题：
（1）若△ABC≌△DEF，∠A = 50°，∠B = 60°，则∠F = °。
（2）已知△ABC≌△BAD，AB = 6cm，AC = 4cm，BC = 5cm，则 AD = cm。
（3）全等三角形的对应中线，对应高，周长______。
选择题：
（1）下列说法正确的是（ ）
A. 形状相同的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等
C. 全等三角形的对应边相等，对应角相等 D. 全等三角形一定是等边三角形
（2）若△ABC≌△DEF，且△ABC 的周长为 20cm，则△DEF 的周长为（ ）
A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm
解答题：
（1）如图 9，△ABC≌△DEF，∠A = 70°，∠B = 60°，BF = 3cm，求∠EDF 的度数和 EC 的长度。
[此处插入图 9：△ABC≌△DEF 的示意图，标注 BF=3cm]
（2）如图 10，△ABD≌△ACD，∠BAD = ∠CAD，求证：AD⊥BC。
[此处插入图 10：△ABD≌△ACD 的示意图]
十、方法总结
对应元素识别方法：
根据图形变换（平移、翻折、旋转）的特点确定对应顶点、对应边和对应角。
利用边和角的大小关系（最大边对最大边、最大角对最大角）辅助判断对应关系。
关注公共边、公共角、对顶角等特殊元素，它们通常是对应元素。
性质应用步骤：
明确两个三角形全等（已知条件或已证结论）。
准确找出对应边和对应角（根据对应顶点的顺序或图形特征）。
运用 “对应边相等” 或 “对应角相等” 的性质进行计算或推理。
符号规范要求：
书写全等三角形时，严格按照对应顶点的顺序排列字母，确保 “≌” 前后的顶点一一对应。
在推理过程中，引用全等三角形性质时，明确指出是 “对应边相等” 还是 “对应角相等”。
通过本节课的学习，我们掌握了全等三角形的定义、表示方法和性质，学会了识别全等三角形的对应元素并运用性质解决几何问题。全等三角形是几何中的重要概念，是后续学习三角形全等判定定理的基础。希望同学们能熟练掌握全等三角形的相关知识，为进一步学习几何推理打下坚实的基础。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识链接
在前面我们学习了三角形的有关知识，请同学们回
顾一下三角形的元素有哪些
答：三个顶点、三个内角、三条边.
1
全等三角形的定义
活动 1：观察所给出的图形，它们有什么特点
每个大图形中，都含有若干个形状、大小相同的小三角形.
E
D
F
E
D
F
A
B
C
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
例如，在图中，△ABC 与 △DEF 能够完全重合，它们是全等三角形.
活动 2：如图，观察这两个三角形有哪些共同点.
A　
B
C
F
E
D
对应点：点 A，点 D；
对应边：AB 与 DE；
对应角：∠A 与∠D ；
点 B，点 E；
点 C，点 F；
AC 与 DF；
BC 与 EF；
∠B 与∠E ；
∠C 与∠F .
你能找出其他的对应顶点、对应边和对应角吗
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
A　
B
C
E
D
F
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
全等的表示方法
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
△ABC≌△DEF
△ABC 与 △DEF 全等，记作
因为△ABC≌△DEF，
所以 AB = DE，AC = DF，BC = EF (全等三角形的对应边相等)，
∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F (全等三角形对应角相等)
全等三角形性质的几何语言
A　
B
C
E
D
F
例1 如图，若△BOD≌△COE，指出这两个三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角.
解：△BOD 与△COE 的对应边为：
BO 与 CO，OD 与 OE，BD 与 CE；
△ADO 与△AEO 的对应角为：
∠DAO 与∠EAO，∠ADO 与∠AEO，
∠AOD 与∠AOE.
典例精析
例2 如图，△ABC≌△EBD，问∠1 与∠2 相等吗 若相等请说明理由.
解：∠l=∠2. 理由如下：
因为△EBD≌△ABC，
所以∠A = ∠E.
在△AOF 与△EOB 中，
∠AOF =∠EOB.
根据三角形内角和为 180°，
所以∠1 =∠2.
典例精析
2
全等三角形的性质
活动 3：准备两个全等的三角形纸片，并画出两个三角形对应边上的高.
(1) 全等三角形对应边的高相等吗 对应边的中线呢
还有哪些相等的线段 举例说明.
A　
B
C
E
D
F
M
N
M'
N'
全等三角形的对应线段都相等.
(2) 如图， 已知 △ABC ≌ △A'B'C'，你如何在△A'B'C' 中画出与线段 DE 相对应的线段？
A　
B　
C　
D　
E　
A'　
B'　
C'　
D'　
E'　
做一做
下图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗？三个呢？四个呢？
用 3 个等边三角形纸片画一画，再剪下来试试能否重合！
1. 如图，△ABC≌△ADE，若∠D =∠B，
∠C =∠AED，则∠DAE = ，
∠DAB = .
∠BAC
∠EAC
A
B
C
D
E
练一练
1. 下列说法中，正确的为( )
D
①全等三角形的面积相等；
②周长相等的两个三角形全等；
③全等三角形的形状相同、大小相等；
④全等三角形的对应边相等、对应角相等.
A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④
返回
（第2题）
2. 如图，已知 ，其中
，那么下列结论中，不正确的是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
3. 如图，图中的两个三角形全等，则 等于( )
B
（第3题）
A. B. C. D.
返回
4. 榫卯结构是我国
古代建筑、家具及其他木制器械的
主要结构方式.如图，将两块全等的
B
A. B. C. D.
木楔水平钉入长为 的长方形木条中
（点，，，在同一条直线上）.若，则 的
长为 ( )
返回
5.已知， ， ，
，，则 的周长为____，面积为___，斜
边上的高为___.
12
6
【点拨】中， ，， ，
，
所以的周长是， 的面积是
.
设的斜边上的高是，则 ，
所以 .
因为 ，
所以的周长为12，面积为6，斜边上的高为 .
返回
6.如图，已知 ，
， ，则
____.
【点拨】因为
, ，
所以在中， .
因为,所以 ,
即.所以 .
返回
7.如图，，且 ，
， ，求
和 的度数.
【解】 因为 ,所以
.
又因为
， ,所
以 ，得 .
所以 ，
所以 .所以 .
因为 ，
所以
.
返回
（第8题）
8. 如图，在四边形
中， ，点， 分别在
边和边上，且与 全等，
与是对应边.若， ，
，则 的长为( )
C
A. 1 B. 2或3 C. 1或2 D. 3或4
（第9题）
9. 如图是我国古代数学家赵爽
在注解《周髀算经》时给出的一幅“弦图”,四
个全等的直角三角形和一个小正方形 恰
好拼成一个大正方形.若 ，
，则正方形 的边长为___.
5
【点拨】因为四个三角形全等，所以
.所
以正方形 的边长为5.
返回
10.[2024无锡月考] 如图，和 是对应
角， ，,若 ，
，当时， 与 之间的数量关系为_____
___.
三角形
的全等
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应角相等
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086

展开更多......

收起↑