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4.3.3利用“边角边”判定三角形全等
第四章 三角形
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
4.3.3 利用 “边角边” 判定三角形全等
一、学习目标
理解 “边角边”（SAS）判定三角形全等的定理内容，明确其适用条件为两边及其夹角对应相等。
能运用 “边角边” 定理准确判断两个三角形是否全等，规范书写几何推理过程。
经历 “猜想 — 实验 — 验证 — 应用” 的探究过程，体会数形结合思想，培养几何直观和逻辑推理能力。
能识别图形中的隐含条件（如公共边、对顶角等），灵活运用 “边角边” 定理解决几何问题。
二、情境引入
在之前的学习中，我们已经掌握了 “边边边”（SSS）、“角边角”（ASA）和 “角角边”（AAS）三种判定三角形全等的方法。如果已知两个三角形的两边和一角对应相等，能否判定这两个三角形全等呢？例如，用两根长度分别为 5cm 和 7cm 的小木棒，以它们的夹角为\(60^{\circ}\)组成一个三角形，再用同样长度的小木棒和同样的夹角组成另一个三角形，这两个三角形是否能够完全重合？本节课我们就来探究这种情况下三角形全等的判定方法 ——“边角边”。
三、“边角边”（SAS）判定定理的探究
（一）实验操作
已知一个三角形的两边分别为 5cm 和 7cm，这两边的夹角为\(60^{\circ}\)，用尺规作图的方法画一个三角形，使它的两边和夹角分别与已知条件相等。
步骤：
画一条线段 AB，使 AB = 5cm。
以点 A 为顶点，AB 为一边，用量角器画∠BAD = \(60^{\circ}\)。
在射线 AD 上截取 AC = 7cm。
连接 BC，得到△ABC。
将画出的三角形剪下，与其他同学画出的三角形进行叠合，观察是否能够完全重合。
结论：所有满足条件的三角形都能完全重合，即当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，这两个三角形全等。
（二）定理内容
边角边（SAS）判定定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
简单记作：“边角边” 或 “SAS”。
（三）几何语言表达
在△ABC 和△DEF 中（如图 1）：\(
\begin{cases}
AB = DE \\
\angle A = \angle D \\
AC = DF
\end{cases}
\)
∴△ABC≌△DEF（SAS）
[此处插入图 1：△ABC 与△DEF 两边及夹角对应相等的示意图]
（四）“边边角”（SSA）不能判定全等
需要注意的是，若两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等（即 “边边角”，SSA），则这两个三角形不一定全等。例如，如图 2 所示，在△ABC 和△ABD 中，AB = AB（公共边），AC = AD，∠B = ∠B，但△ABC 和△ABD 并不全等。因此，“边边角” 不是三角形全等的判定方法。
[此处插入图 2：SSA 不能判定全等的示意图]
四、“边角边” 判定定理的应用
（一）直接利用 SAS 判定全等
例 1：如图 3，已知 AB = AD，AC = AE，∠BAC = ∠DAE，求证：△ABC≌△ADE。
[此处插入图 3：△ABC 与△ADE 有公共顶点 A 的示意图，标注 AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE]
证明：
在△ABC 和△ADE 中：\(
\begin{cases}
AB = AD · \\
\angle BAC = \angle DAE · \\
AC = AE ·
\end{cases}
\)
∴△ABC≌△ADE（SAS）
（二）利用公共边或公共角作为隐含条件
例 2：如图 4，AC 和 BD 相交于点 O，OA = OC，OB = OD，求证：△AOB≌△COD。
[此处插入图 4：AC 与 BD 相交于 O 的示意图，标注 OA=OC，OB=OD]
证明：
∵AC 和 BD 相交于点 O（已知）
∴∠AOB = ∠COD（对顶角相等）
在△AOB 和△COD 中：\(
\begin{cases}
OA = OC · \\
\angle AOB = \angle COD · è \\
OB = OD ·
\end{cases}
\)
∴△AOB≌△COD（SAS）
技巧：当两个三角形有对顶角时，对顶角相等可作为夹角相等的条件，结合已知的两边相等，可直接用 SAS 判定全等。
（三）结合平行线性质判定全等
例 3：如图 5，AB∥CD，AB = CD，求证：△ABC≌△CDA。
[此处插入图 5：AB∥CD，AC 为公共边的示意图，标注 AB=CD]
证明：
∵AB∥CD（已知）
∴∠BAC = ∠DCA（两直线平行，内错角相等）
在△ABC 和△CDA 中：\(
\begin{cases}
AB = CD · \\
\angle BAC = \angle DCA · è \\
AC = CA ±è
\end{cases}
\)
∴△ABC≌△CDA（SAS）
（四）利用全等解决线段或角度关系问题
例 4：如图 6，在△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC 边上的中线，求证：AD 平分∠BAC。
[此处插入图 6：△ABC 中 AB=AC，AD 为中线的示意图]
证明：
∵AD 是 BC 边上的中线（已知）
∴BD = CD（中线的定义）
在△ABD 和△ACD 中：\(
\begin{cases}
AB = AC · \\
BD = CD · è \\
AD = AD ±è
\end{cases}
\)
（修正思路：此处用 SSS 也可，但为演示 SAS，可补充角的条件）
更贴合 SAS 的证法：
∵AB = AC（已知）
∴∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）
∵AD 是 BC 边上的中线（已知）
∴BD = CD（中线的定义）
在△ABD 和△ACD 中：\(
\begin{cases}
AB = AC · \\
\angle B = \angle C · è \\
BD = CD · è
\end{cases}
\)
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴∠BAD = ∠CAD（全等三角形的对应角相等）
即 AD 平分∠BAC。
五、知识辨析
（一）SAS 与 SSS、ASA、AAS 的区别
判定方法
条件特征
核心区别
SAS
两边 + 夹角对应相等
以 “两边及其夹角” 为核心条件，强调角是两边的夹角
SSS
三边对应相等
无需角的条件，仅通过边的关系判定
ASA
两角 + 夹边对应相等
以 “两角及其夹边” 为核心条件，强调边是两角的夹边
AAS
两角 + 一角对边对应相等
以 “两角及一角对边” 为核心条件，边是角的对边
（二）SAS 中 “夹角” 的重要性
SAS 定理中必须保证角是两边的夹角，若角是其中一边的对角（即 SSA），则无法判定两个三角形全等。例如，在图 2 中，虽然 AB = AB、AC = AD、∠B = ∠B，但由于∠B 不是 AB 和 AC（或 AB 和 AD）的夹角，因此△ABC 和△ABD 不全等。在应用 SAS 定理时，一定要确认角的位置是否为两边的夹角。
（三）隐含条件的挖掘
在几何图形中，常见的隐含条件有：
公共边相等（如例 3 中的 AC = CA）。
对顶角相等（如例 2 中的∠AOB = ∠COD）。
平行线的同位角或内错角相等（如例 3 中的∠BAC = ∠DCA）。
角平分线得到的角相等。
中点得到的线段相等。
这些隐含条件往往是证明全等的关键，需要结合图形特征准确识别。
六、易错点警示
误用 SSA 判定全等：错误地将两边及其中一边的对角对应相等当作 SAS 条件，导致判定错误。例如，认为 “AB = DE，AC = DF，∠B = ∠E” 可判定△ABC≌△DEF，忽略了∠B 不是 AB 和 AC 的夹角。
夹角识别错误：在应用 SAS 时，未确认角是否为两边的夹角，将非夹角的角作为条件使用。例如，在△ABC 中，误将∠B 当作 AB 和 AC 的夹角（实际∠A 才是 AB 和 AC 的夹角）。
忽略隐含条件：未发现图形中的公共边、对顶角等隐含条件，导致无法找到足够的判定依据。例如，在例 2 中未注意到∠AOB 和∠COD 是对顶角，无法证明角相等。
推理步骤不完整：在证明过程中，未先证明边或角相等的条件，直接使用这些条件进行判定。例如，在例 3 中未先证明∠BAC = ∠DCA，直接将其作为已知条件使用。
对应关系错误：在列出全等条件时，边和角的对应关系混乱，导致条件不匹配。例如，将 AB = DE、∠A = ∠F、AC = DF 作为 SAS 条件，忽略了角的对应顶点错误。
七、课堂练习
填空题：
（1）在△ABC 和△DEF 中，AB = DE，AC = DF，若要利用 SAS 判定全等，还需添加条件______。
（2）如图 7，AD = BC，∠1 = ∠2，则△ABD≌△______，理由是______。
[此处插入图 7：△ABD 与△BAC 共享 AB 边，标注 AD=BC，∠1=∠2]
选择题：
（1）下列条件中，能判定△ABC≌△DEF 的是（ ）
A. AB = DE，BC = EF，∠A = ∠D B. ∠A = ∠D，∠B = ∠E，AC = DF
C. AB = DE，AC = DF，∠A = ∠D D. AB = DE，BC = EF，∠C = ∠F
（2）在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 BC 上，且 BD = CD，则△ABD≌△ACD 的依据是（ ）
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
解答题：
（1）如图 8，点 E、F 在 AC 上，AD∥BC，AD = BC，AE = CF，求证：△ADF≌△CBE。
[此处插入图 8：AD∥BC，E、F 在 AC 上的示意图，标注 AD=BC，AE=CF]
（2）如图 9，在△ABC 中，∠ABC = ∠ACB，BD = CE，求证：∠BAD = ∠CAE。
[此处插入图 9：△ABC 中∠ABC=∠ACB，标注 BD=CE]
八、方法总结
SAS 定理应用步骤：
确定要证明全等的两个三角形。
找出两个三角形中两边对应相等的条件（包括已知条件、公共边、中点等隐含条件）。
找出这两边的夹角对应相等的条件（包括已知条件、对顶角、平行线的内错角等隐含条件）。
用大括号列出 “两边 + 夹角” 对应相等的条件，按规范格式写出全等结论，并注明依据 “SAS”。
如需进一步得出线段或角度关系，利用全等三角形的性质继续推理。
夹角的判断技巧：
夹角是指两条边的公共端点处的角。例如，在△ABC 中，AB 和 AC 的夹角是∠A，BC 和 BA 的夹角是∠B。
在图形中，可通过边的端点确定夹角的顶点，确保角是两边的公共角。
隐含条件的利用策略：
公共边：当两个三角形有公共边时，公共边是对应边，可直接作为两边相等的条件之一。
对顶角：两条直线相交形成的对顶角相等，可作为夹角相等的条件。
平行线：利用平行线的性质得出内错角或同位角相等，作为夹角相等的条件。
等式性质：通过线段或角的和差关系推导边或角相等，例如例 2 中利用 BF + FC = EC + FC 得到 BC = EF。
通过本节课的学习，我们掌握了 “边角边”（SAS）判定三角形全等的定理，明确了其条件特征和应用方法。至此，我们已经学习了四种三角形全等的判定方法（SSS、ASA、AAS、SAS），在解决几何问题时，需根据已知条件灵活选择合适的判定方法。希望同学们能熟练掌握 SAS 定理的应用，规范推理过程，提高几何证明能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识链接
我们学过哪些三角形全等的判定方法
答：SSS，ASA，AAS.
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况：
三角 ×
三边 √
两边一角 ？
两角一边 √
问题：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？
A
B
C
A
B
C
“两边及夹角”
“两边和其中一边的对角”
每种情况下得到的三角形都全等吗？
1
三角形全等的判定（“边角边”）
活动1：如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两条边分别为 2.5 cm，3.5 cm，它们所夹的角为 40° ，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
40°
3.5 cm
2.5 cm
改变上述条件中的角度和边长，再试一试.
尝试·思考
在△ABC 和△DEF 中，
所以△ABC≌△DEF.
文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
几何语言：
因为 AB = DE，∠A =∠D，
AC = DF，
A
B
C
D
E
F
“边角边”判定全等的方法
知识要点
议一议
活动2：如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，比如两条边分别为 2.5 cm，3.5 cm；长度为 2.5 cm 的边所对的角为 40° 情况会怎样呢
3.5 cm
40°
2.5 cm
3.5 cm
40°
2.5 cm
结论：两边分别相等且其中一组等边的对角相等时，两个三角形不一定全等.
2
两边及其中一边对角分别相等的两个三角形
解：画出的三角形不都全等.
活动 3：
1.学生根据各小组所画的图形，剪下后对比分析，看图形是否完全重合.
2.小组内合作探究，剪下所画图形后对比分析图形是否全等，并互相补充产生这种情况的原因.
C
A
B
F
D
E
想一想：
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？
B
A
C
D
△ABC 和△ABD 满足AB = AB，∠B =∠B，AC = AD，但它们并不全等.
例1 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形.
已知：线段 a，c，∠α，
求作：△ABC，使 BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.
a
c
α
典例精析
解：作法 1：
作法 图示
(1) 作一条线段 BC = a；
B
C
(2)以 B 为顶点，BC 为一边，
作∠DBC =∠a；
(3) 在射线 BD 上截取线段
BA = c；
(4) 连接 AC，△ABC 就是所
求作的三角形.
B
C
D
A
B
C
D
B
C
D
A
B
C
D
A
作法 图示
(1) 作∠MBN =∠a；
(2) 在射线 BM 上截取 BC = a，在射线 BN上截取 BA = c；
(3)连接 AC，则△ABC 为所
求作的三角形.
B
M
N
作法 2：
B
M
N
C
a
c
A
B
M
C
a
c
1.下列条件中，不能说明△ABC≌△DEF 的是 (　　)
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
C
练一练
例3 已知：如图，AB = DB，CB = EB，∠1＝∠2，
试说明：∠A =∠D.
解：因为 ∠1＝∠2 ，
1
A
2
C
B
D
E
所以∠1 +∠DBC＝∠2 +∠DBC ，
即∠ABC＝∠DBE.
在△ABC 和△DBE 中，
因为AB＝DB，∠ABC＝∠DBE，CB＝EB，
所以△ABC≌△DBE(SAS) .
所以∠A =∠D .
典例精析
2. 在下列图中找出全等三角形进行连线.
Ⅰ

30°
8 cm
9 cm
Ⅳ
Ⅳ
8 cm
5 cm
Ⅱ
30°

8 cm
5 cm
Ⅲ

30°
8 cm
8 cm
Ⅲ
Ⅶ

30°
8 cm
9 cm
Ⅴ
30°

8 cm
5 cm
Ⅲ

30°
8 cm
8 cm
Ⅵ
Ⅳ
Ⅷ
8 cm
5 cm
练一练
3. 如图，AB = DB，BC = BE，若△ABE≌△DBC，则可以增加的条件是 ( )
A.∠A＝∠D B.∠E＝∠C
C.∠A＝∠C D.∠ABD＝∠EBC
D
A
B
D
C
E
4.如图，点 E，F 在 AC 上，AD∥BC，AD = CB，AE = CF. 试说明：△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
解：
因为 AD∥BC，
所以∠A =∠C.
因为 AE = CF，
在△AFD 和△CEB 中，
因为 AD = CB，
∠A = ∠C，
AF = CE ，
所以△AFD≌△CEB .
所以 AE + EF = CF + EF，即 AF = CE.
（第1题）
1. 如图，已知点，，， 在同一直
线上，且， ，在不添
加辅助线的情况下,要使
，还需要添加的一个条
件可以是( )
B
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. [2024温州期末] 如图是某纸伞截面
示意图，伞柄 平分两条伞骨所成的
角，且.若支杆 需要更
换，则所换长度应与哪一段长度相等？
( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，是的平分线 上任意一点，
且 ，则图中全等三角形有( )
B
A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对
返回
（第4题）
4.如图，点，，， 在同一直线上，
，.从 ;
; 中选择一个作为条
件，使得 成立.你选择的条
件是__________________（填序号）.
①（答案不唯一）
返回
5. 如图，这是一个测量工件
内槽宽的工具，点既是 的中点，也是
的中点，若测得 ，则内槽
的宽为____ .
3.5
【点拨】 因为点既是的中点，也是 的中点，所以
， .
又因为,所以 .
所以 .
返回
6.[2024乐山] 如图，平分 ，
.试说明： .
【解】因为平分 ，所以
.
在和中，
所以.所以 .
返回
7.[2024宁波期末] 如图，已知
，，，是 上
两点，且 .
试说明： .
【解】因为,所以 .
因为 ,所以
,即 .
在和中,
所以 .所以
.
返回
（第8题）
8. [2024绵阳月考] 如图，把两个含有
角的直角三角板放在桌面上，点 在
上，的延长线与交于点 ，则
( )
B
A. 是锐角 B. 是直角
C. 是钝角 D. 度数不能确定
（第8题）
【点拨】由题意知，
在和 中，
所以 .所以
.
因为 ,
所以 .所以 .所以 是直角.
返回
（第9题）
9. 如图，在中，，是 边上的
两点，， ，
， ，则
的度数为( )
B
A. B. C. D.
（第10题）
10.如图，在正方形方格纸中， 与 的度
数和为____.
11.如图所示，，， ，若
， ，则 ____.
（第11题）
边角边
内容
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”)
应用
为说明线段和角相等提供了新的依据
注意
1. 已知两边，必须找“夹角”
2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086

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