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6.2 用表格表示的变量间关系
第六章 变量之间的关系
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
6.2 用表格表示的变量间关系
一、学习目标
结合具体情境，理解用表格表示变量间关系的意义和特点，能从表格中识别变量、常量以及变量之间的对应关系。
学会从表格中获取信息，分析变量的变化趋势，能根据表格中的数据对变量的变化进行初步预测。
经历从实际问题中抽象出变量间关系并以表格形式呈现的过程，培养数据分析能力和抽象思维能力。
感受数学与生活的密切联系，体会表格在描述变量间关系中的直观性和实用性。
二、情境引入
在现实生活中，变量之间的关系无处不在。例如，我们记录的身高随年龄变化的数据、某商店不同月份的销售额、汽车行驶过程中时间与路程的对应值等。如何清晰、直观地呈现这些变量之间的关系呢？表格就是一种常用的工具。表格可以将两个变量的对应数值有序地排列起来，让我们能够一目了然地看到变量的变化情况和对应关系。比如，某同学记录了自己每周的零花钱支出情况，如下表所示：
星期
一
二
三
四
五
六
日
支出（元）
5
8
3
10
6
15
12
通过这个表格，我们可以清晰地看到星期（变量）和支出金额（变量）之间的对应关系，以及支出金额在一周内的变化情况。本节课我们就来学习如何用表格表示变量间的关系，以及如何从表格中分析变量的变化规律。
三、用表格表示变量间关系的概念与特点
（一）概念
用表格表示变量间的关系，就是将一个变化过程中两个变量的对应数值按照一定的顺序排列在表格中，其中一行（或一列）表示一个变量的取值，另一行（或一列）表示与之对应的另一个变量的取值。
（二）特点
直观性：表格能够清晰地展示两个变量之间的对应关系，每个变量的取值都能找到与之对应的另一个变量的值。例如，在汽车行驶时间与路程的表格中，每一个时间值都对应着唯一的路程值。
有序性：表格中的数据按照一定的顺序排列（通常是自变量从小到大的顺序），便于观察变量的变化趋势。
局限性：表格只能呈现有限的对应数据，无法展示变量之间的全部关系，对于未在表格中列出的取值，需要通过分析趋势进行推测。
四、从表格中识别变量、常量与对应关系
（一）识别变量和常量
在表格表示的变量间关系中，首先要明确所研究的变化过程，然后根据变量和常量的定义识别出其中的变量和常量。
例 1：某城市 2025 年 1 - 6 月的平均气温如下表所示：
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温（℃）
5
8
12
18
23
28
在这个变化过程中，研究的是月份与平均气温之间的关系。随着月份的变化，平均气温也在变化，因此月份和平均气温是变量；在这个过程中，没有数值始终不变的量，因此没有常量。
例 2：某品牌笔记本电脑的单价为 5000 元 / 台，购买数量与总价的关系如下表所示：
购买数量（台）20
蓄水量（万立方米）
1000
850
700
550
400
从表格中可以看出，随着干旱天数的增加，水库的蓄水量不断减少。干旱天数每增加 5 天，蓄水量大约减少 150 万立方米，呈现出因变量随自变量增大而均匀减小的趋势。
（三）因变量的变化趋势不规律
有些表格中变量的变化趋势并不均匀或呈现波动状态。
例 6：某股票在一周内的收盘价如下表所示：
星期
一
二
三
四
五
收盘价（元）
12.5
13.2
12.8
13.5
13.0
在这个表格中，股票收盘价随着星期的变化呈现波动状态：周二比周一上涨，周三比周二下跌，周四比周三上涨，周五比周四下跌，变化趋势不规律。
六、根据表格数据进行预测
根据表格中变量的变化趋势，可以对未在表格中列出的自变量对应的因变量值进行初步预测。预测时需结合变量的变化规律，尽量使预测结果合理。
例 7：根据例 4 中植物生长的表格数据，预测生长时间为 35 天时植物的高度。
分析：从表格中可知，生长时间每增加 7 天，植物高度增加 7 厘米，变化规律是均匀增长。
生长时间为 28 天时，高度为 33 厘米，再过 7 天（即 35 天），高度大约增加 7 厘米，因此预测生长时间为 35 天时，植物高度为 33 + 7 = 40 厘米。
例 8：根据例 5 中水库蓄水量的表格数据，预测干旱 25 天时水库的蓄水量。
分析：干旱天数每增加 5 天，蓄水量减少 150 万立方米。干旱 20 天时蓄水量为 400 万立方米，干旱 25 天比 20 天增加 5 天，蓄水量大约减少 150 万立方米，因此预测干旱 25 天时，蓄水量为 400 - 150 = 250 万立方米。
七、典型例题解析
例 9：下表是某汽车行驶过程中时间与路程的记录：
时间（小时）
1
2
3
4
5
路程（千米）
60
120
180
240
300
（1）指出表格中的变量和常量。
（2）分析路程随时间的变化趋势。
（3）预测汽车行驶 6 小时的路程。
解：
（1）在这个变化过程中，研究的是时间与路程的关系。时间和路程是变量；通过计算可知，汽车的速度为 60 千米 / 小时（如 1 小时行驶 60 千米，2 小时行驶 120 千米等），速度始终不变，因此速度 60 千米 / 小时是常量。
（2）观察表格数据，时间每增加 1 小时，路程增加 60 千米，因此路程随时间的增大而均匀增大。
（3）根据变化趋势，时间每增加 1 小时，路程增加 60 千米。汽车行驶 5 小时的路程为 300 千米，行驶 6 小时的路程为 300 + 60 = 360 千米。
例 10：某商店销售一种商品，记录了一周内每天的销售量和销售额，如下表所示：
星期
一
二
三
四
五
六
日
销售量（件）
10
15
12
20
18
25
30
销售额（元）
200
300
240
400
360
500
600
（1）该商品的单价是多少？
（2）分析销售量和销售额的变化趋势。
（3）若下周星期一只销售了 8 件商品，预测当天的销售额。
解：
（1）单价 = 销售额 ÷ 销售量，如星期一单价为 200÷10 = 20 元 / 件，星期二为 300÷15 = 20 元 / 件，因此该商品的单价是20 元 / 件（常量）。
（2）观察表格数据，从周一到周日，销售量整体呈现逐渐增加的趋势（除周三比周二略有减少外），销售额也随着销售量的增加而整体增加，且销售额 = 单价 × 销售量，两者变化趋势一致。
（3）因为单价为 20 元 / 件，所以销售 8 件商品的销售额为 20×8 = 160 元。
八、易错点警示
变量与常量识别错误：在表格中误将变量当作常量，或反之。例如，在例 10 中，错误地认为销售量是常量，而实际上销售量每天都在变化，是变量。
忽略变量的对应关系：不能正确理解表格中自变量与因变量的对应关系，将不同行的数值随意对应。例如，在时间与路程的表格中，错误地将时间为 1 小时对应的路程与时间为 2 小时对应的路程相加，而忽略了它们的对应关系。
变化趋势分析错误：对变量的变化趋势判断不准确，如将波动变化误认为均匀变化，或反之。例如，在股票收盘价的表格中，错误地认为收盘价一直在上涨，而忽略了其中的下跌情况。
预测结果不合理：预测时未结合表格中的变化规律，随意猜测数值。例如，在植物生长的表格中，错误地预测生长 35 天时高度为 50 厘米，而没有根据每 7 天增长 7 厘米的规律进行计算。
表格数据读取错误：读取表格数据时看错行或列，导致分析和计算错误。例如，将销售量的数据误读为销售额的数据，从而得出错误的单价。
九、课堂练习
填空题：
（1）如下表所示是某同学的年龄与身高数据：
年龄（岁）
10
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
点击视频观看
用表格表示变量之间的关系
1
活动：弹簧挂上物体后会伸长，学习小组测得弹簧挂上不同质量物体的长度，数据记录如下表，根据测量的数据探究以下几个问题：
x/kg 0 1 3 4 5
y/cm 10 10.5 11.5 12 12.5
其中x表示挂上的物体质量，
y表示弹簧伸长的长度
x/kg 0 1 3 4 5
y/cm 10 10.5 11.5 12 12.5
(1) 弹簧不挂重物时的长度为 cm ；
(2) 当所挂物体质量为 4 kg时，弹簧长度为 cm；
(3) 物体质量每增加 1 kg，弹簧长度增加 cm.
10
12
0.5
要点归纳：根据测量的数据分析，确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度.
从某电动车厂搜集到去年各月份生产电动车的数量情况如下表，通过这些数据，我们能得到哪些信息
2
从表格中获取信息解决问题
时间 x/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月产量 y/月 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5
(1) 为什么称电动车的月产量 y 为因变量
它是谁的因变量
解：电动车的月产量 y 随着时间 x 的变化而变化，有一个时间 x 就有唯一一个 y 与之对应，所以月产量 y 是时间 x 的因变量；
时间 x/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月产量 y/月 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5
(2) 哪个月份电动车的产量最高 哪个月份电动车的产量最低
解：6月份产量最高，1 月份产量最低；
(3) 哪两个月份之间产量相差最大 根据这两个月的产量，电动车厂的厂长应该怎么做
解：6月份和 1 月份产量相差最大，应该在 1 月份加紧生产，实现产量的增值.
观察因变量随自变量变化而变化的趋势，实质是观察自变量增大时，因变量是随之增大还是减小.
要点归纳
2016— 2020 年我国国内生产总值(GDP)的变化情况如下(精确到 1 万亿元)：
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
GDP/万亿元 75 83 92 99 101 115 120
(1)如果用 x 表示年份，y 表示我国国内生产总值，那么随着 x 的变化，y 的变化趋势是什么
8
9
7
2
14
5
解：随着 x 的变化，y 逐渐增大.
观察·思考
(2) 2016—2022 年我国国内生产总值是怎样变化的
(3) 根据表格，预测 2030 年我国国内生产总值.
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
GDP/万亿元 75 83 92 99 101 115 121
解：(2) 2016—2022 年我国国内生产总值呈现出持续增长的态势
(3) 2030 年中国 GDP 约 32 万亿美元(突破 160 万亿人民币).
例 某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列
方式设置：
排数 1 2 3 4 ···
座位数 50 53 56 59 ···
(1) 上述哪些量在变化，自变量和因变量分别是什么
解：排数和座位数在变化，自变量是排数，因变量是座位数.
典例精析
(2) 估计第 5 排、第 6 排各有多少个座位
(3) 估计第 n 排有多少个座位 请说出你的理由.
解：(2) 根据表格数据每一排都比前一排多 3 个座位，所以估计第 5 排有 62 个座位，第 6 排有 65 个座位.
(3) 第 1 排有50 个座位，以后每排都比前一排多 3 个座位，所以估计第 n 排有座位[50＋3(n－1)]个，
即(3n＋47)个.
排数 1 2 3 4 ···
座位数 50 53 56 59 ···
3
3
3
1. 父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低”，并且出示了下面的表格：
父亲给小明出了下面几个问题，请你和小明一起回答：
练一练
(1) 如果用 h 表示距离地面的高度，用 t 表示温度，那么 随着 h 的变化，t 如何变化？
根据规律，高度每升高 1 千米，温度降低 6 ℃，
所以距离地面 6 千米时的温度是－10－6 = －16(℃).
(3) 你能预测出距离地面 6 千米的高空温度是多少吗？
－10 ℃.
(2) 你知道距离地面 5 千米的高空温度是多少吗？
随着 h 的升高，t 在降低.
将温度计从盛有热茶的杯子中取出之后，立即放入一杯凉水中.每隔
读一次温度计上显示的度数，将记录下的数据制成下表.下列说法
不正确的是( )
时间 5 10 15 20 25 …
温度计读数/ 49.0 31.0 22.0 16.5 14.0 …
A. 当温度计上的读数是时，
B. 当时，温度计上的读数是
C. 温度计上的读数随着时间的推移逐渐减小
D. 依据表格中的数据反映出的规律，当 时，温度计
上的读数是
D
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2. 小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让
镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测
量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：
老花镜的度数 度 100 120 200 250 300
镜片与光斑的距离 1 0.8 0.5 0.4 0.3
则以下说法误的是( )
A. 当度时，
B. 随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短
C. 老花镜的度数每增加20度，镜片与光斑的距离就会减少
D. 估计当度时，一定小于
C
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3.[2024榆林期中] 某商场根据调查发现，某商品的销售量与
销售价之间存在如下表所示的关系.设该商品的销售价为
（元），销售量为（件），估计当时， 的值约为
____.
销售价 元 90 100 110 120 130 140
销售量 件 90 80 70 60 50 40
30
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4. 教材P150随堂练习 游泳池应定期换水，某游泳
池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔，打开
排水孔，它们的变化情况如下表：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 …
游泳池的存水量/立方米 858 780 702 624 546 468 …
根据表格中的数据，回答下列问题：
（1）上表中__________是自变量；________________是因变量.
放水时间
游泳池的存水量
（2）当放水时间为1小时时，游泳池的存水量为_____立方
米；当放水时间为4小时时，游泳池的存水量为_____立方米.
858
624
（3）请描述这个游泳池的存水量从放水1小时至6小时是怎
样变化的.
【解】随着放水时间的增加，游泳池的存水量逐渐减小.
（4）请估计当放水时间为5.5小时和9小时时，游泳池的存水
量分别是多少立方米？
【解】由题表易知，放水时间每增加1小时，游泳池的存水
量减少78立方米，
（立方米），
（立方米）.
答：估计当放水时间为5.5小时时，游泳池的存水量是507立
方米；当放水时间为9小时时，游泳池的存水量是234立方米.
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5. 我国首辆火星车被命名为“祝融”，为应对极限温度
环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料的导热率
与温度 之间的关系如下表.根据表格中数据的对应
关系，下列说法不正确的是( )
温度 … 100 150 200 250 …
导热率 … 0.15 0.2 0.25 0.3 …
A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是导热率
B. 在一定温度范围内，温度越高，该材料的导热率越高
C. 当温度为时，该材料的导热率为
D. 温度每升高 ，该材料的导热率就增加
D
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6. 随着海拔高度的变化，气温会有所变化.小雨
通过收集信息，发现海拔高度和气温的对应关系如下表所示：
海拔高度/ … 400 500 600 700 800 …
气温/ … 13.1 12.5 11.9 11.3 10.7 …
由表可知，海拔每升高，气温下降____ .同一时间，
小雨攀登到了海拔高度为处，则此处气温为_____ ；
若小雨测得气温为 ，则推断小雨所在位置的海拔高度为
_______ .
0.6
14.6
1 000
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7.一辆汽车在公路上行驶，其行驶的路程和所用时间的关系
如下表所示：
时间 1 2.5 5 10 20 50 …
路程 2 5 10 20 40 100 …
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
【解】自变量是时间，因变量是路程.
（2）当汽车行驶的路程为 时，所用的时间是多少分钟？
当汽车行驶的路程为时，所用的时间是 .
（3）观察上表，说出随着逐渐变大， 的变化趋势是什么？
【解】由表知，随着逐渐变大， 逐渐变大.
（4）当所用的时间是 时，汽车行驶的路程是多少千
米？
由表易得汽车的行驶速度恒为 ，所以当所用的时间
是 时，汽车行驶的路程是
.
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1.借助表格表示因变量随自变量的变化而变化的情况.
2.通过表格中数据的分析，预测事物的变化趋势.
3. 表格可以表示因变量随自变量变化而变化的情况，
还能帮助我们对变化趋势进行初步的预测.
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086

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