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问题解决策略：特殊化
第四章 三角形
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
问题解决策略：特殊化
一、特殊化策略的定义与核心思想
特殊化策略是指在解决一般性问题时，通过选取特殊情况（如特殊值、特殊图形、特殊位置等）进行分析，从而发现规律、简化问题或直接得出结论的解题方法。其核心思想是 “从特殊到一般”：通过研究问题在特殊情况下的表现，归纳出普遍规律，再将规律应用于一般性问题中。
在几何学习中，特殊化策略尤为实用。例如，对于涉及三角形的一般性问题，可通过研究等边三角形、等腰直角三角形等特殊三角形的情况，快速找到解题思路；对于含参数的问题，可代入特殊值验证结论或简化计算。
二、特殊化策略在全等三角形问题中的应用场景
（一）探索几何命题的真假
当面对一个几何命题时，若直接证明或判断较为复杂，可通过特殊化验证：若命题在某一特殊情况下不成立，则该命题为假命题；若在多种特殊情况下均成立，可进一步尝试一般性证明。
例 1：判断命题 “有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等” 是否正确。
分析：
特殊情况 1：取两个三角形，使两角及夹边对应相等（如∠A=∠D=60°，∠B=∠E=70°，AB=DE=5cm），根据 ASA 判定全等，命题成立。
特殊情况 2：取两个三角形，使两角及一角对边对应相等（如∠A=∠D=60°，∠B=∠E=70°，BC=EF=5cm），根据 AAS 判定全等，命题成立。
结论：该命题在特殊情况下均成立，进一步验证可知命题为真。
（二）简化复杂图形的分析
对于含多个三角形或复杂位置关系的图形，可通过特殊化图形（如让某条边相等、某个角为直角等）简化结构，明确全等关系。
例 2：在四边形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C。
分析：
特殊化处理：将四边形视为平行四边形（特殊的两组对边相等的四边形），此时△ABD≌△CDB（SSS），可直接得出∠A=∠C。
一般性推广：即使不是平行四边形，连接 BD 后，仍可通过 SSS 证明△ABD≌△CDB，得出∠A=∠C，与特殊情况结论一致。
（三）辅助开放型问题的条件补充
在需补充条件使三角形全等的开放型问题中，可通过特殊化假设（如假设图形为等腰三角形、直角三角形）快速确定合理条件。
例 3：如图 1，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACD，还需添加什么条件？
[此处插入图 1：△ABC 中 D 在 BC 上，∠1=∠2 的示意图]
分析：
特殊化假设：假设 AB=AC（即△ABC 为等腰三角形），则可通过 SAS（AB=AC，∠1=∠2，AD=AD）证明全等，因此 “AB=AC” 是合理条件。
其他特殊情况：假设∠B=∠C（等腰三角形底角相等），可通过 AAS 证明全等；假设 BD=CD（AD 为中线），可通过 ASA 证明全等。
（四）验证全等判定的边界条件
通过特殊化验证 “SSA 不能判定全等” 等结论，明确判定方法的适用范围。
例 4：为什么 “两边及其中一边的对角对应相等” 不能判定全等？
分析：
特殊化构造：取△ABC，使 AB=5cm，AC=4cm，∠B=30°；再构造△ABD，使 AB=5cm，AD=4cm，∠B=30°，但 D 在 BC 延长线上。此时△ABC 与△ABD 满足 SSA，但显然不全等。
结论：通过特殊图形直观验证 SSA 的局限性。
三、特殊化策略的实施步骤
识别问题特征：判断问题是否含一般性表述（如 “任意三角形”“四边形”）、开放型条件或复杂图形。
选取特殊情况：
图形特殊化：等腰三角形、直角三角形、等边三角形等。
数值特殊化：边长取 1、2 等简单值，角度取 30°、45°、90° 等特殊角。
位置特殊化：点在中点、线段重合、直线平行或垂直等。
分析特殊情况：在特殊条件下求解或推理，记录结论。
推广至一般性问题：验证特殊情况的结论是否适用于一般情况，或通过特殊结论反推通用解法。
验证与修正：检查特殊化是否改变问题本质，确保结论的合理性。
四、特殊化策略的注意事项
不改变问题核心：特殊化需保留问题的本质条件（如全等判定的基本要素），避免因过度特殊化导致结论失真。例如，在证明 “三角形内角和为 180°” 时，不能仅通过等边三角形（特殊情况）得出结论，需结合一般性证明。
多组特殊情况验证：单一特殊情况可能存在偶然性，需通过 2-3 组不同特殊值或图形验证结论的稳定性。例如，验证 “全等三角形面积相等” 时，需兼顾锐角、直角、钝角三角形的情况。
结合一般性证明：特殊化策略可辅助发现规律，但不能替代一般性证明。例如，通过等腰三角形发现 “三线合一” 性质后，需用全等三角形证明其对所有等腰三角形成立。
避免思维定式：特殊化是手段而非目的，需警惕将特殊情况的结论直接等同于一般结论。例如，不能因 “等边三角形的高也是中线” 而认为所有三角形的高都是中线。
五、典型例题解析
例 5：已知△ABC 和△DEF 中，AB=DE，BC=EF，试判断△ABC 和△DEF 是否全等，若不全等，举例说明。
解：
特殊化分析 1：若∠B=∠E（两边夹角相等），则△ABC≌△DEF（SAS），全等成立。
特殊化分析 2：若∠B≠∠E，构造特殊图形：设 AB=DE=5cm，BC=EF=8cm，∠B=30°，∠E=150°。此时△ABC 与△DEF 满足 AB=DE，BC=EF，但显然不全等（形状不同）。
结论：△ABC 和△DEF 不一定全等，当夹角不相等时，SSA 条件下不全等。
例 6：在△ABC 中，∠A=60°，BD、CE 分别是∠B、∠C 的平分线，求证：BD=CE。
解：
特殊化简化：取△ABC 为等边三角形（∠A=∠B=∠C=60°），则 BD 和 CE 均为角平分线和中线，显然 BD=CE。
一般性证明：在非等边三角形中，通过 ASA 证明△ABD≌△ACE（∠A=∠A，AB=AC 或其他条件），得出 BD=CE，与特殊情况结论一致。
六、课堂练习：运用特殊化策略解决问题
判断题：“有一条边和两个角对应相等的两个三角形全等” 是否正确？请用特殊化方法说明。
开放题：在△ABC 中，M 是 BC 中点，要使△ABM≌△ACM，可添加什么特殊条件？（至少写出 2 个）
证明题：求证：全等三角形的对应中线相等。（提示：先以等边三角形为特殊情况验证，再进行一般性证明）
探究题：通过特殊化图形分析 “三个角对应相等的两个三角形是否全等”，并得出结论。
七、方法总结
特殊化策略是解决几何问题的 “捷径”，其核心价值在于：
降低思维难度：通过具体、简单的特殊情况，将抽象问题转化为直观问题。
快速验证猜想：在复杂推理前，用特殊值或图形检验结论的合理性。
启发解题思路：从特殊情况的解法中提炼通用方法（如辅助线添加、判定方法选择）。
在全等三角形的学习中，特殊化策略可帮助我们更深刻地理解 SSS、SAS、ASA、AAS 的适用条件，避免陷入 “SSA” 等误区，同时提高开放型问题的解题效率。但需注意，特殊化是探索的工具，最终需通过一般性证明确保结论的严谨性，实现 “特殊引路，一般求证” 的完整解题流程。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
回顾七年级上册我们学过的数轴，点 a 在数轴上的
位置如图所示，你知道怎么快速比较 a，，|a| 的
大小关系吗
a
答：取 a＝－0.5，则 a，，| a | 三个数分别
为－0.5，－2，0.5，所以 < a < |a|.
几何图形中的特殊化
1
活动1：裁出两块边长为 10 cm，大小一样的正方形纸片 ABCD 和正方形纸片 EFGH .如图，把顶点 E 钉在纸片 ABCD 的正中心位置，旋转正方形纸片 EFGH，画一画重叠部分，两个正方形重叠部分
的面积是多少
情形① ： 如图①点B在边EF上，点C在边EH上；
情形② ：如图② AB⊥EF于点M,EH⊥BC于点N；
情形③ ：如图③ BC与EF,CD与EH分别相交.
问题1：在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会
出现哪些情形
①
②
③
问题2：对于这些不同情形，如何求两个正方形重
叠部分的面积 你遇到的困难是什么 你会选择
哪一种方法求正方形面积
情形①：两个正方形重叠部分的面积恰好为三角形 BEC 的面积，很容易得出重叠部分面积为正方形面积的 ，为 1010＝25(cm2).
①
情形②：两个正方形的边互相垂直时，易得重叠部分刚好也是一个小正方形，且小正方形边长恰好为大正方形边长的一半，即重叠部分边长为5 cm，所以此时重叠部分面积
为 5×5 = 25(cm2).
②
情形③：将一般情形转化为特殊情形.
如图，连接 EB，EC，两个正方形重叠部分的面积记作 S重叠·
③
∵∠NEM=∠BEC，
∴∠NEM-∠MEC=∠BEC-∠MEC,
即∠NEC=∠BEM,又EC=EB，∠ECN=∠EBM,
∴△CEN≌△BEM（ASA),∴S△CEN=S△BEM S重叠＝S△BEC＋S△CEN－S△BEM＝S△BEC
＝ S正方形ABCD=25(cm2).
.
思考1：在这两种特殊图形中，你是如何通过简单的几何关系得出重叠部分面积为正方形面积的 的
可以通过正方形的对称性或三角形全等关系来证得出重叠部分面积是正方形面积的 .
1. 面对一般性的问题时，可以考虑特殊图形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略.
2. 在数学问题中，“从特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论.
要点归纳
代数问题中的特殊化
2
活动 2：同桌两人一组玩游戏.
游戏规则：甲、乙两人轮流在正方形纸片上放同样大小的硬币，每人每次只能放一枚，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出纸片的边界.规定谁在纸片上放下最后一枚硬币，谁就获胜.
你知道获胜的策略吗 如果你走第一步，你会放在哪里才可能稳操胜券 请说明你的理由.
第一步应放正方形纸片的中心位置.
这时，对方放一枚硬币，你就可以在正方形纸片上放一枚硬币，使它与你同桌的硬币关于正方形中心对称，直到同桌无处可放，你就赢了.
思考2：在日常生活中，还有哪些问题可以用特殊化的方法来解决 写一篇小短文介绍你的发现.
例1 若一个三位数 的各位数字是任意三个连
续的正整数，则 ÷3的最小值是_____，最大
值是______.
解：当 x＝l，y＝2，z＝3 时，123÷3＝41；当 x＝9，y＝8，z＝7 时，987÷3＝329.
41
329
典例精析
例2 如图，四边形 ABCD 各内角的平分线交于点 O，则有 AB＋CD＝AD＋BC，试说明理由.
解：特殊情形：显然当四边形 ABCD 是正方形时，点 O 是正方形的中心，满足题目条件，则有 AB＝BC＝CD＝DA，
显然结论 AB＋CD＝AD＋BC 成立.
一般情形：如图，过点 O 作四边形 ABCD 各边的垂线，垂足分别为点 E，F，G，H.
典例精析
在△AOE 与△AOH 中，
∠OAE =∠OAH，
∠OEA =∠OHA = 90°，
AO = AO，
∴ △AOE≌△AOH (AAS).
∴ AE＝AH.
同理，DH＝DG，BE＝BF，CF＝CG，
∴ AB＋CD＝AE+BE+DG+CG
＝AH+BF+DH+CF＝AD＋BC.
1. 当时，，， 的大小顺序是( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】因为，所以令，则, ，且
.所以 .
返回
2. 已知，， ，
则代数式 的值为( )
D
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【点拨】因为为任意实数，不妨令，则 ，
，，则 .
返回
3. 教材P113问题 如图，三个边长
均为4的正方形重叠在一起，， 是其
中左侧两个正方形的对角线交点，同时
D
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
， 也是右侧两个正方形的顶点，则阴影部分的面积是
( )
【点拨】如图，过点 作最左侧正方形两
邻边的垂线, ，则
.
因为是正方形的对角线交点，所以 .
易知
,
所以 .
在和 中，
所以 .
所以左侧两正方形重叠部分的面积
.
同理可得：右侧两正方形重叠部分的面积
.
因为正方形的边长为4，
所以阴影部分的面积 .
返回
4.已知，则 ____.
36
【点拨】正常情况下本题是将原式进行变形，
，
但是在不违反题意的情况下直接令， 就可以直接
代入求值.
返回
5.如果与 是同一个多项
式的不同形式，那么 ____.
【点拨】因为与 是同一
个多项式的不同形式，
所以 是恒等式，
所以将代入，得 .
因为项的系数相等，所以.这时再将 代入，得
，即 .
所以 .
返回
6.已知
,，，，，，均为常数 ，试求：
（1） 的值；
【解】当 时，
.①
（2） 的值；
当 时，
.②
（3） 的值.
，得 ,
所以 .
返回
（第7题）
7. 教材P115 T2 如图，四边形
中，，，， 依次是各边的中
点，是四边形 内的一点.若四边
形，， 的面积分别为5，
6，7，则四边形 的面积为( )
B
A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7
返回
（第8题）
8.[2024烟台期中] 用四块大正方形地砖和一
块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，
每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面
积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得
到正方形，则正方形 的面积为
____.
11
9.（1）如图①，在等腰直角三角形中， ，点
为的中点，点为上一点，将射线绕点 顺时针旋
转 交于点，则与 的数量关系为__________.
（2）如图②，在等腰三角形中， ，点为
的中点，点为上一点，将射线绕点顺时针旋转
交于点，则与 的数量关系是否改变 请说明理由.
【解】数量关系不变.
理由：如图，过点作于点 ，
于点，连接 ，则
.
因为 ,
所以 .
所以 .
因为点为的中点，所以 .
又因为, ,
所以.所以 .
易得,所以 .
又因为 ，
所以.所以 .
返回
问题解决策略：特殊化
1.特殊化策略的概念
2.应用步骤：提出问题→理解问题→拟定计划
→实施计划→回顾反思
3. 例题展示与解题过程
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086

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