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同步探究学案
课题 17.2 用公式法分解因式（第1课时） 单元 第十七章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 掌握平方差公式的特点，熟练运用平方差公式进行因式分解．
重点 利用平方差公式分解因式．
难点 灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说什么是因式分解？ 2．说一说乘法的平方差公式？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助乘法的平方差公，研究用平方差公式分解因式。 思考：多项式a2－b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 分析：这个多项式是两个数的平方差的形式．由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘法的平方差公式 的等号两边互换，就得到 归纳：平方差公式 a2b2=___________ 即两个数的平方差，等于这两个数的______与这两个数的______的______． 注意：利用平方差公式分解因式时，多项式应满足： 1．含有两部分； 2．这两部分的符号________； 3．每一部分的绝对值都可以写成某个数（或式子）的_______． 试一试：判断下列各式能否用平方差公式分解因式． （1）y2－49；（2）y2－2x3；（3）x2＋4；（4） (p＋q)2－9； （5）－m4－n4；（6）a＋(－b)2． 例1：分解因式． （1）4x2－9；（2）a2－25b2． 分析：在（1）中，由于4x2＝(____)2，9＝____2，所以4x2－9＝(___)2－___2，即可以利用平方差公式分解因式；在（2）中，由于25b2＝(___)2，所以a2－25b2＝___2－(___)2，即可以利用平方差公式分解因式． 例2：分解因式． （1）x2－y4；（2）(x＋p)2－(x＋q)2． 分析：在（1）中，由于y4＝(___)2，所以x2－y4＝___2－(___)2，即可以利用平方差公式分解因式；在（2）中，可把x＋p和x＋q各看成一个整体，设x＋p＝a，x＋q＝b，则原式化为___2－___2，即可以利用平方差公式分解因式． 归纳：用平方差公式分解因式的一般步骤 第1步：观察多项式的特点，确定a，b； 第2步：把多项式的两项写成两个数（或式子）的平方； 第3步：因式分解成两个数（或式子）的和与两个数（或式子）的差的积的形式； 第4步：因式分解的结果，能化简的要进行化简，并且每个因式都不能再分解为止．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 2．因式分解的结果是（ ） A． B． C． D． 3．因式分解： (1) (2) 选做题： 4．当为正整数时，两个连续奇数和的平方差是（ ） A．的倍数 B．的倍数 C．的倍数 D．的倍数 【综合拓展类练习】 5．如图，在一块边长为米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪． (1)用代数式表示草坪的面积． (2)利用因式分解计算当，时，草坪的面积．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．分解因式 ． 3．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 选做题： 4．老师在课堂上布置了如图所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【综合拓展类作业】 5．【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：．
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分课时教学设计
第三课时《17.2 用公式法分解因式（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教版八年级上册第17章“因式分解”第2节用公式法分解因式的第一课时，属于整式运算的重要延伸内容．因式分解作为整式乘法的逆运算，是后续分式化简、解方程、代数式变形等知识的基础，而平方差公式是因式分解中首个具体公式法，起到承上启下的关键作用．它既衔接了学生已掌握的整式乘法平方差公式，又为后续完全平方公式分解因式、因式分解综合运用奠定基础，同时渗透转化、整体等重要数学思想，对提升学生代数运算与逻辑推理能力具有重要意义．
学习者分析 学生已具备整式乘法的知识基础，对“逆运算”有初步认知（，这为理解“因式分解是整式乘法的逆变形”提供了前提．但学生对“逆用公式”的思维转换存在难度，易混淆平方差乘法公式与因式分解公式的方向，且在识别非标准形式的平方差（如y4=(y2)2、将多项式整体视为平方项）时易出现障碍．此外，学生此前多接触单一方法解题，对“平方差公式与提公因式法结合”的综合应用缺乏经验，可能成为后续学习的潜在难点，需在教学中通过对比辨析、分层练习逐步突破．
教学目标 掌握平方差公式的特点，熟练运用平方差公式进行因式分解．
教学重点 利用平方差公式分解因式．
教学难点 灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 掌握平方差公式的特点，熟练运用平方差公式进行因式分解．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说什么是因式分解？ 答案：把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式． 2．说一说乘法的平方差公式？ 答案：(a+b)(ab)=a2b2 也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 导言：对于某些特殊的多项式相乘，可以直接运用公式写出结果．类似地，对于某些特殊的多项式，也可以利用公式分解因式．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习因式分解与整式乘法的关系以及乘法的平方差公式，为逆用乘法的平方差公式探究因式分解做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 思考：多项式a2－b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 讲解：这个多项式是两个数的平方差的形式．由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘法的平方差公式 的等号两边互换，就得到 归纳：平方差公式 a2b2=(a+b)(ab) 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 强调：利用平方差公式分解因式时，多项式应满足： 1．含有两部分； 2．这两部分的符号相反； 3．每一部分的绝对值都可以写成某个数（或式子）的平方． 试一试：判断下列各式能否用平方差公式分解因式． （1）y2－49； （2）y2－2x3； （3）x2＋4； （4） (p＋q)2－9； （5）－m4－n4； （6）a＋(－b)2． 预设：（1）能， y2－49＝y2－72 ； （2）不能； （3）不能； （4）； （5）不能； （6）不能． 例1：分解因式． （1）4x2－9；（2）a2－25b2． 分析：在（1）中，由于4x2＝(2x)2，9＝32，所以4x2－9＝(2x)2－32，即可以利用平方差公式分解因式；在（2）中，由于25b2＝(5b)2，所以a2－25b2＝a2－(5b)2，即可以利用平方差公式分解因式． 解：（1）4x2－9＝(2x)2－32 ＝(2x＋3)(2x－3)； （2）a2－25b2 ＝a2－(5b)2 ＝(a＋5b)(a－5b)． 例2：分解因式． （1）x2－y4；（2）(x＋p)2－(x＋q)2． 分析：在（1）中，由于y4＝(y2)2，所以x2－y4＝x2－(y2)2，即可以利用平方差公式分解因式；在（2）中，可把x＋p和x＋q各看成一个整体，设x＋p＝a，x＋q＝b，则原式化为a2－b2，即可以利用平方差公式分解因式． 解：（1）x2－y4 ＝x2－(y2)2 ＝(x＋y2)(x－y2)； （2）(x＋p)2－(x＋q)2 ＝［(x＋p)＋(x＋q)］［(x＋p)－(x＋q)］ ＝(2x＋p＋q)(p－q)． 归纳：用平方差公式分解因式的一般步骤 第1步：观察多项式的特点，确定a，b； 第2步：把多项式的两项写成两个数（或式子）的平方； 第3步：因式分解成两个数（或式子）的和与两个数（或式子）的差的积的形式； 第4步：因式分解的结果，能化简的要进行化简，并且每个因式都不能再分解为止．学生活动3： 学生认真思考后小组合作探究，然后班内交流，最后听老师的点评与讲解活动意图说明： 通过思考并引导学生逆用乘法的平方差公式，让学生在观察、思考和实践的过程中，了解用平方差公式分解因式的方法，通过乘法公式逆向变形，发展学生的归纳、类比、概括能力．通过试一试，让学生弄清平方差公式的形式和特点，加深对运用平方差公式进行因式分解的理解．然后再通过两道例题，巩固用平方差公式分解因式的一般步骤．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：17.2用公式法分解因式（第1课时）一、平方差公式 二、用平方差公式分解因式的一般步骤教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．因式分解的结果是（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．因式分解： (1) (2) 解：（1）原式． （2）原式． ． 选做题： 4．当为正整数时，两个连续奇数和的平方差是（ ） A．的倍数 B．的倍数 C．的倍数 D．的倍数 答案：B 解： ， 一定是的倍数． 故选：B． 【综合拓展类练习】 5．如图，在一块边长为米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪． (1)用代数式表示草坪的面积． (2)利用因式分解计算当，时，草坪的面积． 解：（1）根据题意，草坪的面积为平方米． （2）当，时， 草坪的面积为平方米
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 2．分解因式 ． 答案： 解： 故答案为：． 3．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 选做题： 4．老师在课堂上布置了如图所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（ ） A．① B．② C．③ D．④ 答案：B 【综合拓展类作业】 5．【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：． 解：【探究】图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，所以得到乘法公式． 故答案为： 【应用】（1）∵， ∴． ，且， ． 故答案为：3 （2） ． 【拓展】原式 ．
教学反思 本课教学基本达成“掌握公式特点、运用公式分解”的目标，通过公式推导与例题分层讲解，学生能较好识别基础平方差结构．但存在不足：一是对“整体思想”的渗透不够充分，部分学生在处理(x+p)2-(x+q)2类题目时，难以将多项式整体看作平方项；二是未提前铺垫“提公因式法与平方差公式结合”的题型，为后续突破难点埋下隐患．后续教学需增加整体思想专项练习，适当补充综合题型，同时关注学困生对公式逆用的理解，通过对比乘法与因式分解公式，强化逆向思维训练．
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第十七章 因式分解
17.2 用公式法分解因式
（第1课时）
掌握平方差公式的特点，熟练运用平方差公式进行因式分解．
1．说一说什么是因式分解？
把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．
2．说一说乘法的平方差公式？
(a+b)(ab)=a2b2
也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
对于某些特殊的多项式相乘，可以直接运用公式写出结果．类似地，对于某些特殊的多项式，也可以利用公式分解因式．
思考：多项式a2－b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
这个多项式是两个数的平方差的形式．由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘法的平方差公式
的等号两边互换，就得到
平方差公式
a2b2=(a+b)(ab)
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
另一个数
的平方
一个数
的平方
－
＝
两个数
的和
两个数
的差
×
利用平方差公式分解因式时，多项式应满足：
1．含有两部分；
2．这两部分的符号相反；
3．每一部分的绝对值都可以写成某个数（或式子）的平方．
试一试：判断下列各式能否用平方差公式分解因式．
（1）y2－49；
（2）y2－2x3；
（3）x2＋4；
（4） (p＋q)2－9；
（5）－m4－n4；
（6）a＋(－b)2．
（1）能， y2－49＝y2－72 ；
（2）不能；
（3）不能；
（4）；
（5）不能；
（6）不能．
例1：分解因式．
（1）4x2－9； （2）a2－25b2．
分析：在（1）中，由于4x2＝(2x)2，9＝32，所以4x2－9＝(2x)2－32，即可以利用平方差公式分解因式；
在（2）中，由于25b2＝(5b)2，所以a2－25b2＝a2－(5b)2，即可以利用平方差公式分解因式．
解：（1）4x2－9
＝(2x)2－32
＝(2x＋3)(2x－3)；
（2）a2－25b2
＝a2－(5b)2
＝(a＋5b)(a－5b)．
例2：分解因式．
（1）x2－y4； （2）(x＋p)2－(x＋q)2．
分析：在（1）中，由于y4＝(y2)2，所以x2－y4＝x2－(y2)2，即可以利用平方差公式分解因式；
在（2）中，可把x＋p和x＋q各看成一个整体，设x＋p＝a，x＋q＝b，则原式化为a2－b2，即可以利用平方差公式分解因式．
解：（1）x2－y4
＝x2－(y2)2
＝(x＋y2)(x－y2)；
（2）(x＋p)2－(x＋q)2
＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]
＝(2x＋p＋q)(p－q)．
用平方差公式分解因式的一般步骤
第1步：观察多项式的特点，确定a，b；
第2步：把多项式的两项写成两个数（或式子）的平方；
第3步：因式分解成两个数（或式子）的和与两个数（或式子）的差的积的形式；
第4步：因式分解的结果，能化简的要进行化简，并且每个因式都不能再分解为止．
【知识技能类练习】必做题：
1．下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
2．因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
3．因式分解：
(1) (2)
解：（1）原式．
（2）原式．
．
【知识技能类练习】选做题：
4．当为正整数时，两个连续奇数和的平方差是（ ）
A．的倍数 B．的倍数 C．的倍数 D．的倍数
B
解：
，
一定是的倍数．
【综合拓展类练习】
5．如图，在一块边长为米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．
(1)用代数式表示草坪的面积．
(2)利用因式分解计算当，时，草坪的面积．
解：（1）根据题意，草坪的面积为平方米．
（2）当，时，
草坪的面积为平方米
用平方差公式分解因式的一般步骤
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
运用平方差公式分解因式
【知识技能类作业】必做题：
1．在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
【知识技能类作业】必做题：
2．分解因式 ．
解：
【知识技能类作业】必做题：
3．因式分解：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
解：（1）；
（2）
；
【知识技能类作业】必做题：
3．因式分解：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
（3）
；
（4）
．
【知识技能类作业】选做题：
4．老师在课堂上布置了如图所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（ ）
A．① B．② C．③ D．④
B
【综合拓展类作业】
5．【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用含a，b的等式表示）_____________________；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知，则的值为______；
（2）计算：；
【拓展】计算：．
3
【综合拓展类作业】
【应用】（2）
．
【拓展】原式
．

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