资源简介 (共33张PPT)第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）中考考点清单解读● 中考考点清单解读● 链接河北中考·突破重难题型第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）［人教］ 七上第四章 P114～141，七下第五章 P1～27；［冀教］ 七上第二章 P62～84，七下第七章 P30～54，八上第十三章 P32～34， 八上第十六章 P112～123， 八上第十七章 P162～164；［北师］ 七上第四章P107～123，七下第二章 P38～54，八上第七章 P162～177，八下第一章 P22～32对接版本第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）■考点一 直线和线段（2021 年考查）1. 直线的基本事实：经过①________ 点有一条直线，并且只有一条直线（②______ 点确定一条直线）.2. 线段的基本事实：两点之间的所有连线中，③______ 最短（两点之间④______ 最短）.3. 线段的和与差：如图 1，在线段 AC 上取一点 B，则有：AB+⑤______=AC；AB=⑥______-BC；BC=AC-⑦_____.两两线段线段BCACAB第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）（1）经过平面上 n 个点中的任意两点画直线，最多可画条；（2）一条线段上有 n（n≥2）个点（包括线段的两个端点），则线段的总条数为 ；（3）n 条直线，两两相交，交点最多有 个.满分备考第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）4. 线段的中点：如图 2，线段 AB 上的一点 M，把线段 AB 分成两条线段AM 与 MB.如果 AM=MB，那么 M 就叫做 AB 的中点.此时，有 AM=MB=⑧________AB，AB=⑨_____AM=⑩_____MB.22一条线段的中点只有一个，一条线段的三等分点有 2 个，遇到三等分点时要分类讨论.易错警示第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）5. 两点之间的距离：连接两点之间的线段的长度.6. 直尺测量线段的方法：如图 3，线段 AB= _____ cm；如图 4，线段 CD=5- _____= _____（cm）.223第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）■考点二 角及角平分线角的相关概念量角器的使用方法：量角器的中心 O 和角的 _____ 重合，量角器的 0 刻度线和角的 ________ 重合，做到两重合之后看角的另一边对应的刻度线的度数.顶点一条边第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）度、分、秒的换算：1°=60′，1′=60″，1′= .角的单位换算是 ______ 进制.角的分类及特殊角之间的关系1. 若 0°＜α＜90°，则 α 为锐角；若 α= ____，则 α 为直角；若 ____________，则 α 为钝角；若 α=180°，则 α 为 _____ 角；若 α= _____，则 α 为周角.2. 1 周角= ___ 平角= ___ 直角=360°；1 平角= ___ 直角=180°；1 直角=90°.90°90°＜α＜180°平360°24260角的相关概念第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）余角、补角定义：如果两个角的和为 _______，那么这两个角互为余角.性质：同角（或等角）的余角 ______.互余互补定义：如果两个角的和为 _______，那么这两个角互为补角.性质：同角（或等角）的补角 ______.90°相等180°相等角的相关概念第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）角平分线定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成两个 ______ 的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离 _________.逆定理：到角的两边距离 ______ 的点在角的平分线上.相等相等相等第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）■考点三 相交线与平行线（每年必考）对顶角举例：如图 5，∠1 与∠3 是对顶角，∠2 与 ______ 是对顶角；性质：对顶角 _____.邻补角举例：如图 5，∠1 的邻补角是 _________，∠3 的邻补角是 ______；性质：互为邻补角的两个角的和为 _____.三线八角同位角：如图 5，∠1 与∠5，∠4 与 ______，∠3 与 ______，∠2 与 ______；内错角：如图 5，∠3 与∠5，∠4 与 ______；同旁内角：如图 5，∠4 与∠5，∠3 与 ______.∠4相等∠2 和∠4∠2 和∠4180°∠8∠7∠6∠6∠6第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）垂线基本性质1. 经过直线上或直线外一点，有且只有 ____ 条直线与已知直线垂直.2. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， ______ 最短.一垂线段点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的 _______ 叫做这点到直线的距离.长度第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）如图，AB⊥BC，DB⊥AC，下列线段的长能表示点 B 到 AC 的距离的是 （ ）A． ABB． ADC． BCD． BD即学即练D第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）垂直平分线定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）.定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 _____.逆定理：到线段两端距离 ______ 的点，在这条线段的垂直平分线上.相等相等第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）平行线定义：在同一平面内， ______ 的两条直线叫做平行线.平行公理及推论性质和判定公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.推论：平行于同一条直线的两直线平行.不相交第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）平行线求角度的辅助线作法满分备考作法一：作平行线 作法二：拐点延长相交 角度关系∠ABE+∠DCE=∠BEC∠ABE+∠DCE+∠BEC=360°第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）续表作法一：作平行线 作法二：拐点延长相交 角度关系∠ABE-∠DCE=∠BEC∠ABE-∠DCE=∠BEC第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）1. 两条平行线间的距离： 两条平行线间的距离处处相等.2. 直尺测量平行线间的距离：如图，平行线 a，b 之间的距离为 1.5 cm.满分备考第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）■考点四 命题与定理命题命题：能够进行肯定或否定判断的语句，叫做命题.一般地，命题都是由 ______ 和 ______ 两部分组成的.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题.假命题：如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.题设结论第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）定理定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.互逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的 ______.一个定理和它的逆定理是互逆定理.基本事实：有些命题经过实践检验被公认为真命题，我们把这样的命题叫做基本事实.逆定理第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）证明方法证明几何命题的表述格式按题意画出图形；分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写条件，在“求证”中写出结论；在证明中写出推理过程.反证法：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法的关键在于反设所证命题的结论，其适用范围：对于证明有困难，情况多或复杂的命题，否定则比较简单，此时适用.特殊到一般的证明方法：数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想的集中体现.■题型一 有关线、角的基本概念与性质的简单应用（2021 年考查）第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）例 1 ［25·河南］ 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为 （ ）A． 100°B． 110°C． 120°D． 130°C第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）·题型解法·1.第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）2. 直观判断类题目，借助工具解决.练习一 王师傅将甲、乙两块木板叠放在一起，截面图如图所示，若乙板确定是平直的，则王师傅判断甲板受潮变形，不再平直．这个结论的数学依据是 （ ）A． 两点之间直线最短B． 经过一点有且只有一条直线C． 经过两点有且只有一条直线D． 线段可以向两个方向延长第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）C练习二 ［25·保定模拟］ 如图，若∠AOC=90°，则边 OC 可能经过的点为 （ ）A. M B. N C. P D. Q第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）B■题型二 平行线的性质 （2023 年、2025 年考查）第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）例 2 ［25·唐山模拟］ 如图，AB∥CD，含 30°的三角板 EFG（∠FEG=30°）的点 E，G 分别在 AB，CD 上．已知∠1=31°，则∠2 的度数为（ ）A． 31° B． 30°C． 29° D． 28°C第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）·题型解法·根据平行线的性质求角度问题：衍生一 变条件———与投影结合如下图，一束太阳光线照射含 30°的三角板 EFG（∠FEG=30°）后投射在地面上得到线段 DF，若∠1=32°，∠2=50°，则∠EFD 的度数为 （ ）A． 12° B． 15° C． 18° D． 20°第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）A衍生二 变图形———菱形与等边三角形［23·河北 15 题］如图，直线 l1∥l2，菱形 ABCD 和等边三角形 EFG在 l1，l2 之间，点 A，F 分别在 l1，l2 上，点 B，D，E，G 在同一直线上．若∠α=50°，∠ADE=146°，则∠β= （ ）A． 42°B． 43°C． 44°D． 45°第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）C■题型三 平行线的判定 （2022 年考查）第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）例 3 ［新题推荐］ 如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中△ABC 是三角板），其依据是 （ ）A． 同旁内角互补，两直线平行B． 两直线平行，同旁内角互补C． 同位角相等，两直线平行D． 两直线平行，同位角相等C第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）·题型解法·平行线的判定问题，关键是在复杂的图形（或尺规作图痕迹）中抽象出同位角、内错角或同旁内角，再根据判定方法进行判定.练习 数学活动课上，四位同学围绕作图问题“已知直线 l 和直线 l 外一点 P，用无刻度的直尺和圆规过点 P 作 l 的平行线”分别作出了下列图形，其中作法不正确的是 （ ）第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）B(共17张PPT)第三节 全等三角形中考考点清单解读● 中考考点清单解读● 链接河北中考·突破重难题型第三节 全等三角形［人教］ 八上第十二章 P30~56；［冀教］ 八上第十三章 P35~51，八上第十七章 P159~161；［北师］ 七下第四章P92~104，P108~109对接版本第三节 全等三角形■考点一 全等三角形的定义全等符号用“≌”表示，在书写三角形全等时，应注意对应顶点的字母要写在对应位置上.易错警示能够①_________ 的两个三角形叫做全等三角形.完全重合第三节 全等三角形■考点二 全等三角形的性质与判定（每年必考）性质1. 全等三角形的对应边②______，对应角③______.2. 全等三角形的周长④_______，面积⑤________.3. 全等三角形的对应中线、高、角平分线都⑥_________.相等相等相等相等相等第三节 全等三角形判定方法1. 三边分别相等的两三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）.2. 两边和它们的⑦_____ 对应相等的两三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）.3. 两角和它们的⑧_____ 对应相等的两三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）.4. 两角和其中一角的⑨_____ 对应相等的两三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）.5. 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“直角边、斜边”或“HL”）.夹角夹边对边第三节 全等三角形四种构造全等三角形的方法（1）倍长中线法：如图 1，若 AD 为 BC 边上的中线，延长 AD 使DE=AD，可构造出△DBE≌△DCA；（2）平行线法：如图 2，若 F 为 DE 边的中点，作 EG∥DC，可构造出△EFG≌△DFC；（3）垂线法：如图 3，若 AD为∠BAC 的平分线，作 DE⊥AB，DF⊥AC，可构造出△ADE ≌△ADF；（4）旋转法：如图 4，在正方形ABCD 中 ， ∠EBF =45° ， 将BE 绕点 B 按逆时针方向旋转 90°与 DA 的延长线交于点 G，可构造出△GBF≌△EBF，△BAG≌△BCE.满分备考第三节 全等三角形满分备考第三节 全等三角形判定思路已知两边对应相等找夹角→SAS找直角→HL 或 SAS找另一边→SSS已知一边和一角对应相等边为角的对边→找任一角→AAS边为角的邻边→找夹角的另一边→SAS找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角对应相等找夹边→ASA找其中一角的对边→AAS第三节 全等三角形“SSA”不是判定三角形全等的方法.例如，如图，在△ABC 和 △ABD 中 ，AB =AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABC 与△ABD 不全等.易错警示第三节 全等三角形如图，已知∠ABD=∠BAC，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD 的是 （ ）A． AC=BD B． ∠DAB=∠CBA C． ∠C=∠D D． BC=AD即学即练D■题型 全等三角形的性质与判定（每年必考）第三节 全等三角形例 ［25·河北 19 题］ 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 E，AC=AD，∠ACB=∠ADB，点 F 在 ED 上，∠BAF=∠EAD．（1）求证：△ABC≌△AFD；（2）若 BE=FE，求证：AC⊥BD．第三节 全等三角形证明：（1）∵∠BAF=∠EAD，∴∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF，∴∠BAC=∠FAD，在△ABC 和△AFD 中，∠BAC=∠FAD，AC=AD，∠ACB=∠ADF，∴△ABC≌△AFD（ASA）；（2）由（1）得△ABC≌△AFD，∴AB=AF，∵BE=FE，∴AC⊥BF，即 AC⊥BD．·题型解法·判定三角形全等找等角或等边的常用方法：平行线的性质对顶角相等等角 等角加（减）等角，和（差）相等直角三角形两锐角互余三角形外角的性质第三节 全等三角形特殊图形隐含的条件等边 等边加（减）等边，和（差）相等由已有的全等三角形性质得到第三节 全等三角形练习 ［25·邯郸名校模考］ 如图 1，C，O，B 三点在同一条直线上，点 A 在线段 OC 上，点 D 在线段 OE上，且 OA=OD，AC=DE，连接 CD，AE．（1）求证：AE=CD；（2）写出∠1，∠2 和∠C 三者间的数量关系，并说明理由；（3）如图 2，OC，OE 两根长度相等的木棍固定在点 O 处，∠2=90°．点 A 在木棍 OC 上，点 D 在木棍 OE 上，AE 与 CD 是两根皮筋，皮筋的端点 C，E 固定，改变皮筋端点 A，D 的位置，始终保持 OA=OD，且皮筋处于绷直状态，若∠1 增加了 3°，则∠CFE______（选填“增加”或“减少”）_____ 度．第三节 全等三角形减少6第三节 全等三角形第三节 全等三角形解：（1）证明：∵OA=OD，AC=DE，∴OA+AC=OD+DE，∴OC=OE，在△AOE 和△DOC 中，OA=OD，∠AOE=∠DOC，OE=OC， ∴△AOE≌△DOC（SAS），∴AE=CD；（2）∠2=∠1+∠C，理由：∵△AOE≌△DOC，∴∠C=∠E.∵∠2=∠1+∠E，∴∠2=∠1+∠C；(共31张PPT)第二节 三角形的基本性质中考考点清单解读● 中考考点清单解读● 链接河北中考·突破重难题型第二节 三角形的基本性质［人教］ 八上第十一章 P1～18；［冀教］ 七下第九章 P99～114， 八下第二十一章 P112~P115；［北师］ 七下第四章 P81～91，八上第七章 P178～183，八下第六章 P150～152对接版本第二节 三角形的基本性质■考点一 三角形的分类按角分等腰三角形与等边三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形属于等腰三角形且拥有等腰三角形的一切性质，但等腰三角形不属于等边三角形.易错警示锐角三角形：三个内角都是①_____.②_____ 三角形：有一个内角为 90°.钝角三角形：有一个内角是③_____按边分不等边三角形：三条边④_________.等腰三角形底与腰不相等的等腰三角形.⑤______ 三角形.锐角直角钝角都不相等等边第二节 三角形的基本性质■考点二 三角形的稳定性三角形的稳定性是其特有的性质，只要三角形的三边长度固定，其形状和大小就固定了.三角形的稳定性在生活中有广泛的应用，如桥梁、起重机、人字形屋顶等.第二节 三角形的基本性质■考点三 三角形边和角的关系（每年必考）2.三角形内角和外角1. 三边关系：三角形任意两边的和⑥______ 第三边，任意两边的差⑦_______ 第三边.如图，a+b⑧____c，｜a-b｜ ⑨_____c.内角和定理：三角形的内角和等于⑩______.内外角关系三角形的一个外角 _____ 与它不相邻的两个内角之和；如图，∠1=∠A+ _____．三角形的一个外角 ______ 与它不相邻的任意一个内角；如图，∠1 ____∠A，∠1 ______∠B.大于小于＞＜180°等于∠B大于＞＞第二节 三角形的基本性质3. 边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边.判定给定的三条线段能否组成三角形，只要判断两条较短的线段的和是否大于最长线段即可.满分备考第二节 三角形的基本性质■考点四 与三角形有关的重要线段（5 年 3 考）图 形 定 义 性质及应用 备 注中 线 三角形一边的 ______ 与此边所对 顶点的连线 BD= _______= _____BC，S△ABD= ______= S△ABC. 可利用中线将三角形分成两个面积相等的三角形解题； 在等腰三角形中可构造“三线合一”； 重心：三角形三条 _____ 的交点.中点CD12S△ACD中线第二节 三角形的基本性质续表图 形 定 义 性质及应用 备 注中 线 三角形一边的 ______ 与此边所对 顶点的连线 在直角三角形中利用斜边上的中线等于斜边的 ______ 求线段的长度 重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的 __倍，如 AO= ____一半22OD中点第二节 三角形的基本性质续表图 形 定 义 性质及应用 备 注高 线 从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段 AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC= _____. 可利用三角形的高线进行面积的计算； 可利用三角形的高线构造直角三角形从而利用勾股定理或锐角三角函数进行计算 垂心：三角形三条 _____ 的交点90°高线第二节 三角形的基本性质续表图 形 定 义 性质及应用 备 注角平 分线 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，这个内角的顶点与所交的 点之间的线段 ∠1= _____= ∠BAC. 常过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等三角形 内心：三角形的 三条角平分线的交点，到三角形各边的距离 _____∠2相等第二节 三角形的基本性质续表图 形 定 义 性质及应用 备 注中位 线 连接三角形两 边中点的线段 DE∥ _____ 且 DE= ____BC. 当三角形中遇到中点时，常构造三角形中位线，进一步利用其证明线段平行或倍分关系 中位线分三角形为两个相似三角形，如△ADE∽△ABC，其相似比为 ____，面积比为 ____BC121∶21∶4第二节 三角形的基本性质续表图 形 定 义 性质及应用 备 注中垂 线 三角形一边的 垂直平分线 DE⊥BC，且 BE= ____，BD= _____. 可利用中垂线进行线段或周长的计算 外心：三角形三条边垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点的距离 ____CECD相等第二节 三角形的基本性质与角平分线有关的结论：（用含∠A 的代数式填空）（1）如图 1，在△ABC 中，BP，CP 分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BPC= _____________；（2）如图 2，点 D 在 BC 的延长线上，BP，CP 分别平分∠ABC，∠ACD，则∠BPC= ________；（3）如图 3，点 D，E 分别在 AB，AC 的延长线上，BP，CP 分别平分∠DBC，∠ECB，则∠BPC= ___________.满分备考90°+ ∠A∠A90°- ∠A第二节 三角形的基本性质满分备考第二节 三角形的基本性质一题串考点（1）在△ABC 中，若 AB=5，AC=2，则 BC 的取值范围是 _________；（2）如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，连接 AD，AE 是 BC 边上的高.3＜BC＜7第二节 三角形的基本性质①若 AD 是边 BC 上的中线，AE=4，△ABC 的面积为 24，则 CD 的长为_______；②已知 AD 是∠BAC 上的平分线.若∠C=65°，∠B=35°，则∠DAE=______；若 AB=5，AC=3，则S△ABD∶S△ACD=_______；③若△ABC 的周长为 18，面积为 12，点 M，N，D 分别是边 AB，AC，BC 的中点，则△MND 的周长为 ______，面积为 _______.615°5∶393过三角形某个角的平分线所在直线上一点，作其对边的垂线，所夹锐角的度数等于另外两个内角度数的差的一半.方法点拨■题型一 三角形三边关系的简单应用（5 年 3 考）第二节 三角形的基本性质例 1 ［25·石家庄模拟］ 如下左图，在四边形 ABCD 中，AB=BC=6，AD=CD=4，且点 D 在△ABC 外部，则 B，D 之间的距离可能是 （ ）A． 4 B． 4.4 C． 9 D． 11C第二节 三角形的基本性质·题型解法·已知三角形两边长 a，b（a＞b），根据三角形三边关系可知，第三边长 c的取值范围是 a-b＜c＜a+b.拓题一 若 BC=8，其他条件不变，对角线 AC 的长度随四边形形状的改变而变化.（1）当△ABC 是等腰三角形时，对角线 AC 的长为 _______；（2）当△ABC 是直角三角形时，对角线 AC 的长为 _______.第二节 三角形的基本性质62拓题二 若四边形 ABCD 是用木螺丝连接不能弯曲的木棒围成的一个四边形木框，再加一根木棒组成五边形 ABECD，不计螺丝之间的距离，其中木棒长如图所示，在不破坏木框的前提下，任意改变木框的内角大小，那么其中两顶点之间能达到的最大距离是 （ ）A． 12 B． 11 C． 9 D． 8第二节 三角形的基本性质A■题型二 三角形的内外角关系（5 年 3 考）第二节 三角形的基本性质例 2 一副直角三角板按如下图所示方式摆放， 图中∠α 的度数为 （ ）A． 65° B． 67.5° C． 75° D． 80°C第二节 三角形的基本性质·题型解法·转化 思想 利用三角形内角和与内外角的关系求角度的问题，一般都需要利用题目所给的条件，将角转化到同一个三角形中方程 思想 若题目中没有明确给出角度，必要时可根据角之间的数量关系设未知数，列方程求解构造 三角形 在不规则的四边形中求角度时，常常需要添加辅助线，构造出三角形，再利用三角形的内角和或外角性质求解练习一 如图， 在△ABC 中，∠B=∠C，∠BAC=∠B+15°，∠DAC 是△ABC 的外角，则∠DAC 的度数是 （ ）A． 100° B． 105° C． 110° D． 115°第二节 三角形的基本性质C练习二 将两张三角形纸片△AOB 和△COD 按如图 1 位置放置，点 D，C 分别在 AO，BO 的延长线上，记∠A+∠B=α；沿虚线将△AOB 剪掉一部分得到图 2 的△MON，记∠M+∠N=β，则正确的是 （ ）A． α＞β B． α=β C． α＜β D． 无法比较 α 与 β 的大小第二节 三角形的基本性质B练习三 如图，在凹四边形 ABCD 中，∠A=45°，∠B=35°，∠D=20°，求∠BCD 的度数．下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：方法一：作射线 AC；方法二：延长 BC 交 AD 于点 E；方法三：连接 BD．请选择上述中的一种方法，求∠BCD 的度数．第二节 三角形的基本性质第二节 三角形的基本性质解：（方法不唯一） 选择方法二：如图，延长 BC 交 AD 于点 E，∴∠CED=∠A+∠B，∠BCD=∠CED+∠D，∴∠BCD=∠A+∠B+∠D=45°+35°+20°=100°，即∠BCD 的度数是 100°．■题型三 三角形中的重要线段（5 年 3 考）第二节 三角形的基本性质例 3 ［25·邢台模拟］ 如图，在任意△ABC 中，折叠三角形，使得点 B 与点 A 重合，DE 为折痕，连接 CD.下列说法错误的是（ ）A. 线段 DE 一定垂直平分线段 ABB. 线段 DE 可能是△ABC 的中位线C. 线段 CD 一定是△ABC 的中线D. 线段 CD 一定不是△ABC 的角平分线D第二节 三角形的基本性质·题型解法·判断三角形中的重要线段，不管是折纸还是尺规作图，都严格按照相关定义或性质进行判断，其中，三角形的中线，要先确定对应边上的中点，才能确定中线.练习一 ［25·石家庄模拟］ 利用一块含 30°角的透明直角三角板过点 A 作△ABC 的边 BC 的垂线，下列三角板摆放的位置正确的是 （ ）第二节 三角形的基本性质D练习二 ［25·广东］ 如下左图，D，E，F 分别是△ABC 各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF= （ ）A． 20° B． 40° C． 70° D． 110°第二节 三角形的基本性质C练习三 如图，在△ABC 中，D，E，F 分别为 BC，AD，CE 的中点，且 S△ABC=4 cm2，则图中阴影部分的面积为 ________ cm2．第二节 三角形的基本性质1(共25张PPT)第五节 锐角三角函数及应用中考考点清单解读● 中考考点清单解读● 链接河北中考·突破重难题型第五节 锐角三角函数及应用［人教］ 九下第二十八章 P60～85；［冀教］ 九上第二十六章 P103～126；［北师］ 九下第一章 P1～27对接版本第五节 锐角三角函数及应用■考点一 锐角三角函数定义：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，则有∠A 的正弦：∠A 的正切：我们把锐角∠A 的正弦、余弦和正切统称为∠A 的三角函数.锐角三角函数第五节 锐角三角函数及应用特殊角的三角函数值锐角三角函数1第五节 锐角三角函数及应用1. 求锐角三角函数常用的方法：①定义法；②构造法（作高构造直角三角形）；③参数法；④角度转化法.2. 对特殊角的三角函数值的记忆可借助一副三角板：含 30°角的三角板三边长度之比为 1∶∶2；含 45°角的三角板三边之比为 1∶1∶满分备考第五节 锐角三角函数及应用■考点二 解直角三角形（每年必考，不单独考查）定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.具体解法：解直角三角形已知条件 图 形 解 法已知一条直角边 和一锐角（a，∠A） ∠B =90° - ∠A，AB =，AC = ____（或 AC= ）第五节 锐角三角函数及应用续表解直角三角形已知条件 图 形 解 法已知斜边和一锐角（c，∠A） ∠B =90° - ∠A，BC= _________，AC=c·cosA（或 AC= ）已知两直角边（a，b） AB= _________，由tanA= ________ 求∠A，∠B=90°-∠Ac·sinA第五节 锐角三角函数及应用续表解直角三角形已知条件 图 形 解 法已知斜边和一直角边（c，a） AC= _______，由sinA = _______求 ∠A，∠B =90° -∠A解直角三角形的原则：有角求角，无角求边；有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，取原避中；化斜为直，方程相助.满分备考第五节 锐角三角函数及应用■考点三 解直角三角形的应用（每年必考）概 念 仰角、俯角 坡度（坡比） 方位角图 形 坡度 i=tanα= ______点A位于点O的 __________方向，点 B 位于点 O 的 _________方向，点 C 位于点 O 的 ___________方向（或西北方向）北偏东 30°南偏东 60°北偏西 45°■题型一 方位角（2023 年考查）第五节 锐角三角函数及应用例 1 台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，点 A 是东方市，台风中心 B 位于东方市的南偏东 45°方向，已知台风中心沿北偏西75°的 BD 方向移动，一段时间后台风中心移动到东方市的南偏东 15°方向的点 C 处．下列说法正确的是 （ ）A. 点 C 位于点 B 的南偏东 15°方向B. 点 A 位于点 C 的北偏东 15°方向C. ∠ACB=135°D. AC=BCD第五节 锐角三角函数及应用·题型解法·1. 若 A 在 B 的北偏东 n°方向上，则 B 在 A 的南偏西 n°方向上.2. 解决方位角问题常用关系：拓题一 若 AB=240 km，求台风移动的路径 BC 的长度；第五节 锐角三角函数及应用解：在题图上过点 C 作 CH⊥AB于点H，由题意可得∠CAB=∠CBA=30°，∴AC=BC，∴AH=BH= AB=120 km，∴BC= =240 km，即台风移动的路径 BC 的长度为 240 km.拓题二 在拓题一的条件下，若此次台风影响区域的半径为 200 km 且移动方向不改变，这次台风是否会影响东方市，为什么？（参考数据： ≈1.732）第五节 锐角三角函数及应用解：这次台风不会影响东方市，理由：在题图上过点 A 作 AE⊥BD于点 E，则∠AEB=90°，∵∠ABE=30°，∴AE= AB=120 ≈207.84（km），∵207.84＞200，∴ 这次台风不会影响东方市．■题型二 解直角三角形的应用（5 年 4 考）第五节 锐角三角函数及应用例 2 ［25·河北 16题］ 2025 年 3 月是第 10 个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字 1～12 对应的点均匀分布在一个圆上，数字 0 对应圆心．图中以数字 0～12 对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为 1，则这条线段的长为__________． (参考数据：sin15°= ，sin75°= )第五节 锐角三角函数及应用第五节 锐角三角函数及应用·题型解法·利用解直角三角形解决实物模型问题的一般过程：练习一 ［25·湖南］ 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱 AB 和 CD 分别垂直地面水平线 l 于点 B，D，AB=19 dm，CD＞AB．在点 A，C 之间的晾衣绳上有固定挂钩 E，AE=13 dm，一件连衣裙 MN 挂在点E 处（点 M 与点 E 重合），且直线 MN⊥l.（1）如图 1，当该连衣裙下端点 N 刚好接触到地面水平线 l 时，点 E 到直线 AB 的距离 EG 等于12 dm，求该连衣裙 MN 的长度；（2）如图 2，未避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩 F 处再挂一条长裤（点 F 在点 E 的右侧），若∠BAE=76.1°，求此时该连衣裙下端点 N 到地面水平线 l 的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04）第五节 锐角三角函数及应用第五节 锐角三角函数及应用第五节 锐角三角函数及应用解：（1）在 Rt△AGM 中 ， AM =13 dm，MG=12 dm，AG⊥GM，∴AG= =5（dm），∵AB=19 dm，∴MN=BG=AB-AG=19-5=14（dm），∴ 该连衣裙 MN 的长度为 14 dm；（2）如图，过点 M 作 MK⊥AB 于点 K，∵ 在 Rt △AKM 中 ，AM =13 dm，∠BAM=76.1°，AK⊥KM，∴AK=AM·cos76.1°≈13×0.24=3.12（dm），∵AB=19 dm，∴BK=AB-AK=19-3.12=15.88（dm），第五节 锐角三角函数及应用∴BK-MN=15.88-14=1.88≈2（dm），∴ 该连衣裙下端点 N 到地面水平线l 的距离约为 2 dm．练习二 ［25·石家庄十八县联考］ 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷 AB 长为 5 m，与水平面的夹角为 16°，且靠墙端离地高 BC 为 4 m，当太阳光线 AD 与地面 CE 的夹角为 45°时，（1）若 AF⊥BC，求 BF 的长度；（2）求阴影 CD 的长．（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）第五节 锐角三角函数及应用第五节 锐角三角函数及应用解：（1）由题意知：AF⊥BC，∠BAF=16°，∴∠AFB=∠AFC=90°，在 Rt△AFB 中，BF=AB·sin∠BAF=5·sin16°≈5×0.28=1.4（m）；（2）如图，过点 A 作 AK⊥CD 于点K，则∠AKD=90°，由（1）知，BF=1.4 m，AF =AB·cos ∠BAF =5·cos16° ≈5 ×0.96=4.8（m），∴CF=BC-BF=2.6 m，易得四边形 AFCK 是矩形，∴AK=CF=2.6 m，CK=AF=4.8 m，由题意知∠ADK=45°，∴∠DAK=90°-∠ADK=45°=∠ADK，∴DK=AK=2.6 m，∴CD=CK-DK=2.2 m，∴ 阴影 CD 的长为 2.2 m．第五节 锐角三角函数及应用练习三 ［24·河北 22 题］中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点 P 恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离 BQ＝4 m，仰角为 α；淇淇向前走了 3 m 后到达点 D，透过点 P 恰好看到月亮，仰角为 β，如图是示意图．已知淇淇的眼睛与水平地面 BQ 的距离 AB＝CD＝1.6 m，点 P 到 BQ 的距离 PQ＝2.6 m，AC 的延长线交 PQ 于点 E（注：图中所有点均在同一平面上）.（1）求 β 的大小及 tanα 的值；（2）求 CP 的长及 sin∠APC 的值．第五节 锐角三角函数及应用解：（1）由题意可得，PQ⊥AE，PQ＝2.6 m，AB＝CD＝EQ＝1.6 m，AE＝BQ＝4 m，AC＝BD＝3 m，∴CE＝4-3＝1（m），PE＝2.6-1.6＝1（m），又 ∵∠CEP＝90°．∴CE＝PE．∴β＝∠PCE＝45°；tanα=tan∠PAE= = ；第五节 锐角三角函数及应用（2）∵CE ＝PE ＝1 m， ∠CEP ＝90° ，∴CP= = （m）．在题图上过点 C作 CH⊥AP 于点 H，则tanα=tan∠PAE= = ，设 CH=x m，则 AH=4x m，∵AC=3 m，∴x2+（4x）2=32．∴x= ，∴CH= m．∴sin∠APC= = = ．(共23张PPT)第六节 相似三角形（含位似）中考考点清单解读● 中考考点清单解读● 链接河北中考·突破重难题型第六节 相似三角形（含位似）［人教］ 九下第二十七章 P23～59；［冀教］ 九上第二十五章 P57～102；［北师］ 九上第四章 P76～123对接版本第六节 相似三角形（含位似）■考点一 比例线段的相关概念线段的比：两条线段的比是两条线段的①_____ 之比.比例线段：在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即②________，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.比例中项：如果 ，即 b2=③_____，我们就把 b 叫做 a，c 的比例中项.比例线段求两条线段的比值时，两条线段要用同一长度单位.易错警示ac长度第六节 相似三角形（含位似）比例的性质比例线段性质 1：如果 ，那么 ad=④______；性质 2：如果 ，那么 =⑤____；性质 3：如果 =…= （b+d+…+n≠0），那么 =bc已知 = ，y≠-3，那么下列等式不成立的是 （ ）即学即练D第六节 相似三角形（含位似）比例线段黄金分割：如图 1，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，且⑥_________，那么线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比(黄金比 = ≈0.618).第六节 相似三角形（含位似）平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的线段对应⑦______.如图 2，若 l1∥l2∥l3，则推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段⑧_______.如图 3，在△ABC 中，因为 DE∥BC，所以 ，也可以是 . 如图 4，在△ABC中，因为 DE∥BC，所以 .成比例成比例第六节 相似三角形（含位似）1. 一条线段上有两个黄金分割点，它们是关于该线段的中点对称存在的.满分备考第六节 相似三角形（含位似）■考点二 相似三角形（多边形）的性质与判定（每年必考）相似三角形判定定理1. 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形⑨______.2. ⑩_____ 角对应相等的两个三角形相似.3. 两边对应成比例且 ____ 角相等的两个三角形相似.4. _____ 边对应成比例的两个三角形相似.5. 直角边、 _____ 对应成比例的两个直角三角形相似.相似两夹三斜边第六节 相似三角形（含位似）1. 相似三角形的 ________ 相等， ________ 成比例.2. 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 ______.3. 相似三角形周长的比等于 _______，面积的比等于相似比的 ______.相似三角形要使两个三角形相似，若已知有一对角相等，则需夹这对角的两边对应成比例.当无法确定对应关系时，则夹这对角的两边的比就有两种情况，因此必须进行分类讨论，否则就会因漏解而致错.易错警示性质定理对应角对应边相似比相似比平方第六节 相似三角形（含位似）定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.相似多边形性质1. 相似多边形的 _________ 相等， _________ 成比例.2. 相似多边形周长的比等于 _______，面积的比等于相似比的 ______.对应角对应边相似比平方第六节 相似三角形（含位似）一题串考点如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 上的动点，若 AE=3，AC=8，AB=6.（1）若 DE∥BC，则 AD=_____；（2）若△ADE∽△ACB.①对应边角的关系为：=________=________=________；②∠ADE=______，∠AED=______；③△ADE 与△ACB 的周长之比为 _______，面积之比为 _______；∠ACB∠ABC1∶21∶4第六节 相似三角形（含位似）（3）添加一个条件（不添加辅助线）：______________________________，使得△ADE∽△ABC；（4）若△ADE 与△ACB 相似，则 AD 的长度是 ________.∠ADE=∠ABC（答案不唯一）4 或94第六节 相似三角形（含位似）■考点三 图形的位似与位似作图图形的位似定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 ________.性质1. 两个图形是相似图形，具有相似图形的一切性质.2. 对应点的连线都经过同一点.3. 对应边互相 ______ 或在同一条直线上.4. 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为 k ，那么位似图形上的对应点的坐标比等于 ________.位似中心平行k 或-k第六节 相似三角形（含位似）位似作图1. 确定位似中心 O.2. 连接图形各关键点与位似中心 O.3. 依照位似比在所连接的线段（或延长线）上找各关键点变换后的对应点.4. 顺次连接各关键点变换后的对应点，所得图形就是所求作的图形.1. 位似是相似的特例.位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.2. 位似图形可能在位似中心同侧，也可能在异侧，因此作一个图形的位似图形时，位似图形往往有两个.易错警示■题型一 相似三角形的判定与性质（每年必考）第六节 相似三角形（含位似）例 1 ［25·河北 9 题］ 如图，在五边形 ABCDE 中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线 DE 于点 M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是 （ ）A． ∠B+∠4=180° B． CD∥ABC． ∠1=∠4 D． ∠2=∠3D·题型解法·判定相似三角形的思路：有平行截线———用平行线的性质，找等角有一对等角两边对应成比例第六节 相似三角形（含位似）另一对等角这个角的两边对应成比例夹角相等第三边也对应成比例有一对直角直角三角形等腰三角形第六节 相似三角形（含位似）一对锐角相等两直角边对应成比例斜边、直角边对应成比例顶角相等一对底角相等底和腰对应成比例练习一 ［25·唐山模拟］ 如图，在△ABC 中，D，E 为边 AB 的三等分点，EF∥DG∥AC，H 为 AF 与 DG 的交点．若 AC=6，则 DH=（ ）A． 2B． 1C． 0.5D． 1.5第六节 相似三角形（含位似）B练习二 ［25·石家庄模拟］ 如下左图，小明探究“制作视力表”的相关内容.当测试距离为 5 m 时，标准视力表中对应的最大的“E”字高度为 72.7 mm，当测试距离为 3 m 时，对应的最大的“E”字高度为 _______ mm．第六节 相似三角形（含位似）43.62练习三 ［24·河北 19 题］ 如上右图，△ABC 的面积为 2，AD 为 BC 边上的中线，点 A，C1，C2，C3 是线段 CC4 的五等分点，点 A，D1，D2 是线段 DD3 的四等分点，点 A 是线段BB1 的中点．（1）△AC1D1 的面积为 ______；（2）△B1C4D3 的面积为 ______．第六节 相似三角形（含位似）17■题型二 图形的位似第六节 相似三角形（含位似）例 2 ［25·秦皇岛一模］如图，正方形 OEFG 和正方形 ABCD 是位似图形，且点 F 与点 C 是一对对应点，点 F 的坐标是（1，1），点 C的坐标是（4，2），则它们的位似中心的坐标是 _________．（-2，0）第六节 相似三角形（含位似）·题型解法·1. 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为 k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.2. 确定位似中心的方法：拓题一 正方形 OEFG 和正方形 ABCD 的相似比是 _____，面积比是 _____；正方形 ABCD 和正方形 OEFG 的相似比是 _____；周长比是 ________.拓题二 以点 A 为位似中心，将正方形 ABCD 按 2∶1 缩小，则点 C 的对应点的坐标为 _____________________.第六节 相似三角形（含位似）1∶21∶42∶12∶1（3，1）或（1，-1）(共28张PPT)第四节 等腰三角形与直角三角形中考考点清单解读● 中考考点清单解读● 链接河北中考·突破重难题型第四节 等腰三角形与直角三角形［人教］ 八上第十三章 P75~84，八下第十七章 P21~39；［冀教］ 八上第十七章 P140~158；［北师］ 八下第一章 P2~21对接版本第四节 等腰三角形与直角三角形■考点一 等腰三角形的性质与判定（近 5 年连续考查）定义：有①______ 相等的三角形叫做等腰三角形，在等腰三角形中，相等的两边叫做②_____，另一边叫做③_______，两腰的夹角叫做④______，腰和底边的夹角叫做⑤______.等腰三角形1. 两腰⑥______，如图，AB=AC.2. 两个底角⑦______（简称“等边对等角”），如图，∠B=∠C.3. 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高⑧________（简称“三线合一”）.4. 是⑨_______ 图形，如图，⑩______ 所在直线是对称轴.性质两边腰底边顶角底角相等相等互相重合轴对称AD第四节 等腰三角形与直角三角形等腰三角形判定1. 在△ABC 中，若 _______，则△ABC 是等腰三角形（定义）.2. 在△ABC 中，若 _______，则△ABC 是等腰三角形（简称“等角对等边”）.面积计算公式：如图，S= ____________AB=AC∠B=∠CBC·AD121. 等腰三角形两腰上的高 _____，两腰上的中线 ______，两底角的平分线 ______，等腰三角形顶角的外角平分线与底边 _____.2. 等腰三角形底边（或其延长线）上一点到两腰的距离和（或差）等于一腰上的 _____.知识拓展相等相等相等平行高第四节 等腰三角形与直角三角形1. 当等腰三角形的顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验.2. 当等腰三角形的腰长和底边长不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形三边关系检验.易错警示第四节 等腰三角形与直角三角形一题串考点在△ABC 中，AB=AC.（1）若△ABC 中有一个内角为 50°，则∠ABC=_________；若△ABC 中有一内角为 100°，则∠ABC=_________°；（2）若△ABC 的周长为 12，一边长为 5，则AB=_________；若一边长为 4，则△ABC 是________ 三角形；50°或 65°405 或 3.5等边第四节 等腰三角形与直角三角形（3）如图 1，D 为边 BC 的中点，连接 AD.①若△ABC 的面积为 12，AD=3，则 AB=_______；②如图 2，过点 D 作 DE∥AB 交 AC 于点 E，则△CDE 为 _____ 三角形；③如图 2，若 AB=5，点 E 是 AC 的中点，连接 DE，则 DE=______.④如图 3，若 F 为底边 BC 上任意一点，FM⊥AB 于点 M，FN⊥AC 于点 N，AB=5，BC=8，则 FM+FN=_____.5等腰2.5第四节 等腰三角形与直角三角形■考点二 等边三角形的性质与判定等边三角形定义： ______ 都相等的三角形是等边三角形.1. 三条边 ______，如图，AB=BC=AC.2. 三个内角 ______，且每个角都等于 _____，如图，∠A=∠B=∠C= ____.3. 是 ______ 图形，如图，它有 ______ 条对称轴.性质三边相等相等60°60°轴对称三第四节 等腰三角形与直角三角形等边三角形重合1. 等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三边垂直平分线的交点 _____.2. 等边三角形内任一点到三边的距离之和等于任一边上的 ____.知识拓展高第四节 等腰三角形与直角三角形等边三角形判定1. 在△ABC 中，若 ___________，则△ABC 是等边三角形（定义）.2. 在△ABC 中，若 _______________，则△ABC 是等边三角形.3. 有一个角等于 _______ 的等腰三角形是等边三角形面积计算公式：如图，S= a2，a 是等边三角形任意一边的长AB=AC=BC∠A=∠B=∠C60°在△ABC 中，∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=58，则 AC=______．即学即练58第四节 等腰三角形与直角三角形■考点三 直角三角形的性质与判定（每年必考）直角三角形定义：有一个角等于 ______ 的三角形叫做直角三角形.1. 直角三角形两锐角之和等于 ______，如图，∠A+∠C= _____.2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 _____，如图，BD 是斜边上的中线，BD= _____AC.3. 30°角所对的直角边等于斜边的 _____，如图，若∠A=30°，则 BC= ____AC.4. 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 ________.性质90°90°90°一半一半a2+b2=c2第四节 等腰三角形与直角三角形直角三角形5. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 _____，如图，BC= AC，则∠A= _____.性质判定1. 有一个角等于 ______ 的三角形是直角三角形（定义）.2. 有两个角 ________ 的三角形是直角三角形.3. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边 a，b，c 满足 _________（其中 c 为最长边），那么这个三角形是直角三角形.30°30°90°互余a2+b2=c2第四节 等腰三角形与直角三角形直角三角形S= ab= ch，其中 a，b 为两直角边长，c 为斜边长，h 为斜边上的高.面积计算公式公式应用一般知道直角三角形的三边，求斜边上的高时，常用等面积法，利用公式 h= 进行求解.第四节 等腰三角形与直角三角形1. 勾股定理的拓展应用：如图，若直角三角形的三边分别记为 a，b，c，分别以三条边为边向外作等边三角形、正方形、半圆，则有 S1+S2=S3.2. 赵爽弦图：如图，若直角三角形的三边分别记为 a，b，c，则 S 大正方形=S 小正方形+4S 直角三角形.知识拓展第四节 等腰三角形与直角三角形3. 毕达哥拉斯拼图：如图，若直角三角形的三边分别记为 a，b，c，则 S 左图大正方形=S 右图大正方形.4. 伽菲尔德总统拼图：如图，若直角三角形的三边分别记为 a，b，c，S 梯形=2S 小直角三角形+S 大直角三角形.知识拓展第四节 等腰三角形与直角三角形一题串考点如图，∠COD=90°，点 A，B 分别是射线 OC，OD 上的点，点 M 是线段 AB 上的点.（1）若∠OAB=45°，OA=5，则∠ABO=_______°，△AOB 的面积为 _______；（2）若∠OAB=30°，OB=5，则 AB=______；（3）若 OB=3，BM= ，OM= ，则∠BOM=_______°；451030第四节 等腰三角形与直角三角形（4）若 OA=5，OB=3，OM 是 AB 边上的高，则 tan∠MOB=_______；（5）若点 M 是 AB 的中点，AB=10，线段 AB 在∠COD 的边上滑动过程中，线段 OM 的长度_________（填序号）.①变大 ②变小 ③先变大后变小 ④先变小后变大 ⑤不变，恒为 5⑤直角三角形斜边的中线将其分成两个等腰三角形，利用特殊三角形的性质可快速解题.方法点拨第四节 等腰三角形与直角三角形■考点四 等腰直角三角形的性质与判定（5 年 2 考）等腰直角三角形1. 两直角边 ______.2. 两锐角相等且都等于 _______.3. 斜边中线将三角形分为两个 _____ 的等腰直角三角形.4. 是 _________ 图形，有 1 条对称轴，对称轴为底边的 _____________.性质判定1. 有一个角是 90°的等腰三角形是等腰直角三角形.2. 有两边 _______ 的直角三角形是等腰直角三角形.3. 有一个角是 _______ 的直角三角形是等腰直角三角形.4. 有两个角是 _______ 的三角形是等腰直角三角形相等45°全等轴对称垂直平分线相等45°45°第四节 等腰三角形与直角三角形1. 等腰直角三角形既是等腰三角形又是直角三角形，因此它具有两者的所有性质.2. 等腰直角三角形三边的长度之比为 1∶1∶ .满分备考■题型一 等腰（边）三角形的性质与判定（近 5 年连续考查）第四节 等腰三角形与直角三角形例 1 如图，∠B=30°， 以 Rt△ABC 的顶点 B 为圆心， 直角边 BC为半径画弧，与斜边 AB 交于点 D，则∠ADC 的度数为 （ ）A． 95°B． 100°C． 105°D． 110°C第四节 等腰三角形与直角三角形·题型解法·1. 解决等腰三角形的边角问题，往往需要分类讨论.2. 要证明三角形是等腰三角形必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有：（1）通过等角对等边得到两边相等；（2）通过三角形全等得到两边相等；（3）利用线段垂直平分线的性质得到两边相等.练习一 与坐标轴结合如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，AB=AC=13，点 B，C 的坐标分别是（8，12），（8，2），则点 A 的坐标是 （ ）A．（3，6）B．（-4，5）C．（-4，6）D．（-4，7）第四节 等腰三角形与直角三角形D练习二 与六边形结合［25·唐山模拟］一个六边形的六个内角都是 120°（如下图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是 （ ）A． 13 B． 14 C． 15 D． 16第四节 等腰三角形与直角三角形C练习三 如图，M，N 是∠AOB 的边 OA 上的两个点（OM＜ON），∠AOB=30°，OM=a，MN=4， 若边OB 上有且只有 1个点 P，满足△PMN 是等腰三角形，则 a 的取值范围是 ______．甲答：a＞8；乙答：a=4，则正确的是 （ ）A． 只有甲对B． 只有乙对C． 甲、乙答案合一起才完整D． 甲、乙答案合一起也不对第四节 等腰三角形与直角三角形C■题型二 直角三角形的性质与判定（每年必考）第四节 等腰三角形与直角三角形例 2 ［25·陕西］ 如下图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD 为 AB 边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A 互余的角共有 （ ）A． 2 个 B． 3 个C． 4 个 D． 5 个C第四节 等腰三角形与直角三角形·题型解法·在直角三角形中计算线段长度，勾股定理是很重要的工具，当题目中没有垂直条件时，往往作垂线构造直角三角形，然后利用勾股定理可求得线段的长，但是构造直角三角形时，一般不要破坏已知条件中的特殊角和已知的边.练习一 ［新题推荐］ 在学习了勾股定理后，小张同学对勾股定理产生了浓厚的兴趣，在探索中不断发现，他用 9 个直角三角形纸片拼成如下中图所示的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为 1．记这个图形的周长（实线部分）为 l，则下列整数与 l 最接近的是 （ ）A． 14 B． 13 C． 12 D． 11第四节 等腰三角形与直角三角形B练习二 如图，四边形 ABCD 是面积为 3 的正方形，一直角三角板（三个角分别为 30°，60°，90°）的斜边与 AB 重合，直角顶点 E 在 CD 上，则△AEF 的面积为 （ ）A． 3 B． 2 C． 3 D． 4第四节 等腰三角形与直角三角形B 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）.pptx 第三节 全等三角形.pptx 第二节 三角形的基本性质.pptx 第五节 锐角三角函数及应用.pptx 第六节 相似三角形（含位似）.pptx 第四节 等腰三角形与直角三角形.pptx
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