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中考考前冲刺复习资料
中考数学篇
1
第一部分 思维导图
2
3
4
5
6
7
8
第二部分 定理及公式
线
1、同位角/内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行（反之成立）
2、判断几个点是否共线：①几何图形中，证明邻角互补；②函数图像中，求出直线解析式，将点代
入
3、两点之间线段最短；垂线段最短
4、★线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
★如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
角
1、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等
2、★角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上
三 角 形
1、三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边
2、三角形内角的和等于 180°
3、★三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
等 腰
1、等腰三角形：等角对等边；等边对等角
2、★★三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高线；只要看到其中两个条件就考虑三线合一）
3、等腰三角形含 1 个 60°角为等边三角形；等边三角形的各边各角都相等
3
4、★★边长为 a 2的等边三角形的面积为 a
4
直 角 三 角 形
1、★直角三角形的两个锐角互余（经常用在证全等或垂直，等量代换）
2 2 2 2、★直角三角形：两直角边 a、b，斜边 c，则 a b c （反之成立-逆定理）
3、★★直角三角形：30°角所对直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
相 似 、 全 等
1、相似判定：平行；★角角；边角边；边边边；HL（Rt△）
2、相似模型：A 字型；8 字型；★★一线三角型（一线三垂直）
3、★直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似（射影定理）
4、相似三角形对应边、高线、中线、角平分线，周长的比，都等于相似比
5、★相似三角形面积的比等于相似比的平方
6、★全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL（Rt△））
全等性质：对应角相等、对应边相等
四 边 形
1、四边形的内角和等于 360°；四边形的外角和等于 360°
2、★n 边形的内角的和等于 n 2 180 ；多边的外角和等于 360°；
9
n 2 180 180 360 正 n 边形的每个内角都等于
n n
3、夹在两条平行线间的平行线段相等；★平行线间的距离处处相等
4、平行四边形性质：对角相等；对边相等；
5、平行四边形判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行
四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组
对边平行相等的四边形是平行四边形
矩 形
1、矩形的性质：四个角都是直角；对角线相等
2、矩形判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角
的平行四边形是矩形
菱 形
1、菱形的性质：四条边都相等；对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
2、菱形面积=对角线乘积的一半，即 S a b 2
3、菱形判定：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；邻边相等的平行
四边形是菱形
正 方 形
1、正方形的性质：四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，
每条对角线平分一组对角
2、正方形判定：邻边相等的矩形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是
正方形
对 称
1、关于某条直线对称的两个图形是全等形；关于中心对称的两个图形是全等的
2、成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
3、如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
等 分
1、平行线分线段成比例
a c a b c d
2、比例的基本性质：若 a :b c : d ，则 ad bc；若 ，则
b d b d
3、三角形中位线：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
4、推论：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
圆
1、不在同一直线上的三个点确定一个圆
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
3、①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，
并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条
弧；④圆的两条平行弦所夹的弧相等
4、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等
5、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所
对应的其余各组量都相等
6、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
7、推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；半圆 (或
直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；如果三角形一边上的中线等于这边的一
10
半，那么这个三角形是直角三角形
8、圆内接四边形性质：对角互补；外角等于内对角
*圆的外切四边形的两组对边的和相等
9、切线判定：过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径
10、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的
夹角
11、*弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角（选择、填空题直接用）
12、弧长计算公式： l n R 2 r R :扇形半径 即母线 , r :圆锥底面圆半径180
2
13 n R 1、扇形面积公式： S lR Rr R :扇形半径 即母线 ,r :圆锥底面圆半径360 2
【应用题公式】
一、列方程（组）解应用题的一般步骤 现价=原价*折扣率
1、审题：弄清题意和题目中的已知数、未知数； 折扣率=现价/原价*100%
2、找等量关系：找出能够表示应用题全部含义 每件商品的利润=售价-进价=利润率*进价
的一个(或几个)相等关系； 毛利润=销售额-费用
3、设未知数：据找出的相等关系选择直接或间 利润率=（售价--进价） /进价*100%
接设置未知数 ； 标价=售价=现价
4、列方程（组）：根据确立的等量关系列出方 进价=售价-利润
程 ； 售价=利润+进价
5、解方程(或方程组)，求出未知数的值； 3 .增 长 率 问 题
6、检验：分式方程必须要检验； 若平均增长（下降）百分率为 x，增长（或下降）
7、作答：包括单位名称在内进行完整的答语。 前的是 a,增长（或下降）n 次后的量是 b,则它们
二 应用题常考模型及公式 的数量关系可表示为：a(1+x)n =b 或 a(1-x) n=b
1 .行 程 问 题 4 . 工 程 问 题
路程＝速度×时间 工作总量=工作时间×工作效率
路程÷时间＝速度 5 .循 环 问 题
路程÷速度＝时间 n 个球队，比赛场数为 n-1 场次
2 .利 润 问 题 单循环：n(n-1)/2 双循环：n（n-1）
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第三部分 辅助线添加规律
三角形中常见辅助线的添加
1. 与角平分线有关的
（1）可向两边作垂线
（2）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
（3）可作垂线，构造等腰三角形
2. 与线段长度相关的
（1） ★截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得
它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可
（2） 补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得
延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即
可
（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得
到全等三角形。
（4）★遇到 1 个中点，考虑三线合一或面积等分；遇到 2 个中点，考虑中位线
倍长中线 连中点构造中位线 倍长一边构造中位线 构造三线合一 构造斜边中线
3. 与等腰等边三角形相关的
（1）考虑三线合一
（2）旋转一定的度数，构造全等三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转 60 °
4. 与直角三角形相关的
（1）★遇斜边中点，连斜边中线
（2）当出现 30°/45°/60°/135°/150°特殊角时可添加特殊角直角三角形
利用 45°角直角三角形三边比为1:1: 2；★30°角直角三角形三边比为1: 2 : 3进行证明或求边长
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4. 与相似相关的
★相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线
四边形中常见辅助线的添加
1. 和平行四边形有关的辅助线作法
（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形
（2）利用两组对边平行构造平行四边形
（3）利用对角线互相平分构造平行四边形
（4）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
（5）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形
（6）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等
2. 与矩形有辅助线作法
（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题
（2）★对角线相关的考查，已知一条对角线，则连接另外一条对角线
（3）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题
3. 和菱形有关的辅助线的作法
和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定理解决问题 .
（1）作菱形的高
（2）连接菱形的对角线
4. 与正方形有关辅助线的作法
正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，通常作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线
圆中常见辅助线的添加
（1）弦心距：连半径，作垂线
① 利用垂径定理（★求弦长、半径、直径）
② 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系
③ 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量
★如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线
（2）弦+半径：等腰三角形
（3）见直径作圆周角
（4）见切线连半径
（5）★证切线：连半径，证垂直；作垂线，证半径
（6）切线长：常常连接切点和圆心、连接圆心和圆外的一点、连接两切点
① 角、线段的等量关系
② 垂直关系
③ ★全等、相似三角形
（7）遇到三角形的内切圆时连接内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段
① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线
② 内心到三角形三条边的距离相等
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（8）遇到三角形的外接圆时，连接外心和各顶点：外心到三角形各顶点的距离相等
（9）遇到两圆相交时常常作公共弦、连接交点和圆心等
①利用垂径定理有关知识②利用圆内接四边形的性质③利用两圆公共的圆周的性质
（10） 遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆
旋转翻折常见辅助线
（1）如遇条件中有 45°、30°、22.5°、15°及有一个角是 30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或
者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等
遇 60度旋 60度，造等边三角形；遇 90度旋 90度，造等腰直角；
遇等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋 180度，造中心对称
（2）旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接
在一起，成对称全等
（3）如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。
在制造两个三角形相似时，一般有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形
中的某一线段进行平移
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第四部分 尺规作图
（1）作一条线段等于已知线段．
已知：线段 a ． a
求作：线段 AB，使 AB = a．
作法：
（1）作射线 AP； B
（2）在射线 AP上截取 AB=a A P．
（2）作已知线段的垂直平分线．
已知：线段MN．
求作： MN的中垂线．
作法：
1
（1）分别以M、N为圆心，大于 MN 长为半径画弧，两弧相交于 P，Q；
2
（2）连接 PQ交MN于 O．
P
M O N
Q
（3）作已知角的角平分线．
已知：如图，∠AOB．
求作：∠AOB的平分线 OP．
作法：
（1）以 O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交 OA，OB于M，N；
1
（2）分别以M、N为圆心，大于 MN 长为半径画弧，交∠AOB内于 P；
2
（3）画射线 OP． A
M P
O N B15
（4）作一个角等于已知角（平行线）．
已知：如图，∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB
作法：
（1）作射线 O′A′；
（2）以 O为圆心，任意长度为半径画弧，交 OA于M，交 OB于 N；
（3）以 O′为圆心，以 OM的长为半径画弧，交 O′A′于M′；
（4）以M′为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于 N′；
（5）连接 O′N′并延长．
B B'
N N'
O M A O' M' A'
（5）经过直线上一点做已知直线的垂线．
已知：如图，P是直线 AB上一点．
求作：直线 CD，使 CD经过点 P，且 CD⊥AB．
作法：
（1）以 P为圆心，任意长为半径画弧，交 AB于M、N；
1
（2）分别以M、N为圆心，大于 MN 长为半径画弧，两弧交于点 Q；
2
（3）过 P、Q作直线 CD．
C
Q
M N
A P B
（6）经过直线外一点作已知直线的垂线 D
已知：如图，直线 AB及外一点 P．
求作：直线 CD，使 CD经过点 P，且 CD⊥AB．
作法：
（1）以 P为圆心，任意长为半径画弧，交 AB于M、N；
1
（2）分别以M、N圆心，大于 MN 长为半径画弧，两弧交于点 Q；
2
（3）过 P、Q作直线 CD． D
P
A M N B
Q
C
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（7）已知三边作三角形．
已知：如图，线段 a，b，c．
求作：△ABC，使 AB = c，AC = b，BC = a．
作法：
（1）作线段 AB = c；
（2）以 A为圆心，以 b为半径作弧，以 B为圆心，
以 a为半径作弧与前弧相交于 C；
（3）连接 AC，BC． C
a b a
b
c A Bc
（8）已知两边及夹角作三角形．
已知：如图，线段 m，n，∠ ．
求作：△ABC，使∠A=∠ ，AB=m，AC=n．
作法：
（1） 作∠A=∠ ；
（2） 在 AB上截取 AB=m ，AC=n；
（3） 连接 BC．
n
m C
n
α α
A m B
（9）已知两角及夹边作三角形．
已知：如图，∠ ，∠ ，线段 m ．
求作：△ABC，使∠A=∠ ，∠B=∠ ，AB=m．
作法：
（1）作线段 AB=m；
（2）在 AB的同旁作∠A=∠ ，作∠B=∠ ，
∠A与∠B的另一边相交于 C．
m C
α β α β
A B
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第五部分 几何证题思路
证 明 两 线 段 相 等 1.垂直于同一直线的各直线平行
1.两全等三角形中对应边相等 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两
2.同一三角形中等角对等边 直线平行
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底 3.平行四边形的对边平行
边 4.三角形的中位线平行于第三边
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两 5.梯形的中位线平行于两底
段相等 6.平行于同一直线的两直线平行
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两端点距 线段对应成比例，则这条直线平行于第三边
离相等
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等 证 明 两 条 直 线 互 相 垂 直
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直
分第二边所成的线段相等 于底边
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一
的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等 边所对的角是直角
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个
内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等 角是直角
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后 4.邻补角的平分线互相垂直
项（或两前项）相等 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于
另一条
证 明 两 个 角 相 等 6.两条直线相交成直角则两直线垂直
1.两全等三角形的对应角相等 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的
2.同一三角形中等边对等角 垂直平分线上
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶 8.利用勾股定理的逆定理
角 9.利用菱形的对角线互相垂直
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的 10.在圆中平分不是直径直径的弦（或弧）的直
对角相等 径垂直于弦
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等 11.利用半圆上的圆周角是直角
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角
相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的 证 明 线 段 的 和 差 倍 分
圆周角 1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连 2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证
线平分两条切线的夹角 明余下部分等于第二条线段
8.相似三角形的对应角相等 3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段
9.圆的内接四边形的外角等于内对角 相等
10.等于同一角的两个角相等 4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段
5.利用一些定理（三角形的中位线、含 30 度的
证 明 两 直 线 平 行 直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形
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的重心、相似三角形的性质等） 3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，
第三边大的，两边的夹角也大
证 明 角 的 和 差 倍 分 4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同
2.利用角平分线的定义 证 明 比 例 式 或 等 积 式
3.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 1.利用相似三角形对应线段成比例
角的和 2.利用内外角平分线定理
3.平行线截线段成比例
证 明 线 段 不 等 4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理
1.同一三角形中，大角对大边 5.与圆有关的比例定理---相似
2.垂线段最短 6.利用比例式或等积式化得
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第
三边 证 明 四 点 共 圆
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等， 1.对角互补的四边形的顶点共圆
则夹角大的第三边大 2.外角等于内对角的四边形内接于圆
5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小 3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底
边的同侧）
证 明 两 角 的 不 等 4.同斜边的直角三角形的顶点共圆
1.同一三角形中，大边对大角 5.到顶点距离相等的各点共圆
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角
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第六部分 几种模型
手拉手模型
条件 图例 结论
①△ ABC≌△ AB ′C ′
△ABB′ 和 △ACC′ 中 ，
②∠BOB′=∠BAB′
AB=AB′，AC=AC′，
③ OA 平分∠ BOC ′
∠BAB′=∠CAC′
在△ABC 和△ADE 中， ①△ ABD≌△ ACE
AB=AC，AD=AE， ② BD⊥ EC
∠BAC=∠DAE=90° ③AF平分∠BFE
①△ ABE≌△ ADG
四边形 ABCD 和四边形
② BE⊥ GD 于点 H
AEFG都是正方形
①△ ABD≌△ ACE
②∠ BHC＝∠ DHE＝ 60°
③△ ABF≌△ ACG
△ABC和△ADE为等边三
④△ AGE≌△ AFD
角形，且 B、A、E共线
⑤ FG∥ BE
⑥△ AFG 为等边三角形
⑦ HA 平分∠ BHE
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半角模型
条件 图例 结论
1 ①MO平分∠AMN
MON AOB ②NO平分∠BNM
2
OA OB ③AM+BN=MN
④C△CMN=AC+BC
A B 180 ⑤S△MON=S△AOM+S△BON
折叠类模型
条件 图例 结论
正方形 ABCD中，点 E在 ① BG CG
边 CD 上，且 CD=3DE.
② AG CF
将△ADE 沿 AE 对折至
△AFE，将△ABG 沿 AG
③ S S
对折至△AGF，G、F、E EGC AFE
三点共线，连接 AG、CF. ④ AGB AED 135
如图所示，折叠矩形纸片
ABCD，使点 B落在边 AD 当 E点与 A点重合时，AB’最大
上，折痕 EF 的两端分别
在 AB、BC上（含端点）
当 F点与 C点重合时，AB’最小
将⊙O 沿弦 AB 折叠，圆
弧恰好经过圆心 O，点 P APB 60
是弧 AMB上一点
在等边△AOB中，△ACD
沿着直线 CD折叠，点 A
COE ∽ EBD
恰好落在 OB上与 E点重
合
21
【模型应用】
1．如图 1，正方形 ABCD的边长为 6，点 E在边CD上，且CD 3DE ．将 ADE沿 AE对折至 AFE，延
长 EF 交边 BC于点G ，连接 AG、CF ．则下列结论：①△ABG≌△AFG；② BG CG；③ AG / /CF ；④
S EGC S AFE ；⑤ AGB AED 135 ．其中正确的是 ．
2．如图 2，在矩形纸片 ABCD中， AB 3， BC 5，点 E、 F 是 BC、CD边上的动点（包括端点处），
若将纸片沿 EF折叠，使得点C恰好落在 AD边上点 P处．设CF x，则 x的取值范围为 ．
3．如图 3，矩形 ABCD中， AB 3，BC 4，点 E是 BC边上一点，连接 AE，把 B沿 AE折叠，使点 B
落在点 B 处．当 CEB 为直角三角形时， BE的长为 ．
图 1 图 2 图 3 图 4
4．如图 4，在边长为 4的菱形 ABCD中， A 60 ，M 是 AD边的中点，点 N 是 AB边上一动点，将 AMN
沿MN 所在的直线翻折得到△ A MN ，连接 A C ，则线段 A C 长度的最小值是 ．
5．如图 5坐标系中，O(0,0) ，A(6，6 3)，B(12,0)，将 OAB沿直线CD折叠，使点 A恰好落在线段OB
24
上的点 E处，若OE ，则CE :DE的值是 ．
5
图 5 图 6 图 7
6．如图 6，Rt ABC中， ACB 90 ， AC 6，BC 8，将边 AC 沿CE 翻折，使点 A落在 AB上的点D
处；再将边 BC沿CF 翻折，使点 B落在CD的延长线上的点 B 处，两条折痕与斜边 AB分别交于点 E、F ，
则线段 B E的长为 ．
7 AD 2．如图 7以半圆中的一条弦 BC（非直径）为对称轴将弧 BC折叠后与直径 AB交于点D，若 ，且
DB 3
AB 10，则CB的长为 ．
22
第七部分 中考考点梳理+真题
近五年中考数学选择填空命题规律
考点 考察
考题统计 预测热度
一级考点 二级 难度
2015，1，3 分 2015，7，3 分 2016，1，3 分
有理数 ★ 2016，7，3分 2017，1，3分 2018，1，3分 ★★★★★
2019，1，3分 2019，8，3分 2019，11，4分
绝对值/相反
★★ 2018，13，4分 2018，14，4分 ★★★
数/平方根
数与式 2015，2，3分 2016，4，3分 2017，2，3分
科学记数法 ★ ★★★★★
2018，2，3分 2019，2，3分
2015，6，3分 2016，9，3分 2017，8，3分
整式的运算 ★★ ★★★★★
2017，15，4分 2019，4，3分 2019，14，4分
因式分解 ★★ 2016，12，4分 2017，11，4分 2018，12，4分 ★★★★
找规律 ★★★★ 2018，16，4分 2019，16，4分 ★
解方程和不 2015，8，3分 2015，13，4分 2018，6，3分
方程和不 ★★★ ★★★★
等式 2019，7，3分
等式
根的判别式 ★★ 2016，13，4分 2018，9，3分 2019，9，3分 ★★★
函数的图 三大函数图 2015，10，3分 2016，10，3分 2017，7，3分
★★★★ ★★★★
像 像 2018，10，3分
概率 ★★ 2017，14，4分 ★★
概率和统
2015，3，3分 2016，6，3分 2017，5，3分
计 统计 ★★ ★★★
2019，6，3分
轴对称和 轴对称和中 2015，5，3分 2016，3，3分 2016，6，3分
★★ ★★★
中心对称 心对称 2018，5，3分 2019，5，3分
多边形 内角和 ★★ 2015，11，4分 2017，12，4分 2019，13，4分 ★★★
基本性质 ★★★ 2015，14，4分 ★★★
三角形
相似 ★★ 2018，8，3分 2019，10，3分 ★★
平行四边形 2015，12，4分 2016，5，3分 2016，15，4分
四边形 ★★★ ★★★★
性质 2017，10，3分
圆周角定理
★★★ 2017，9，3分 2018，11，4分 ★★
圆 及垂径定理
圆有关计算 ★★★ 2015，9，3分 2016，14，4分 2018，15，4分 ★★
三角函数 解三角函数 ★★★ 2016，7，3分 2019，15，4分 ★
视图 三视图 ★ 2018，3，3分 2019，3，3分 ★
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近五年中考数学六分七分题命题规律
考点 考察难度 考题统计 预测热度
2016，17，6分
2017，17，6分
有理数混合运算 ★★ ★★★★
2018，17，6分
2015，17，6分（一元二次方程）
解方程（组）和不等式（组） ★★ 2018，20，7分（二元一次方程组） ★★
2019，17，6分（一元一次不等式组）
2015，18，6分
2016，18，6分
分式化简求值 ★★★ 2017，18，6分 ★★★★
2018，18，6分
2019，18，6分
2015，19，6分（垂线）
2016，19，6分（中点）
尺规作图 ★★★ 2017，20，7分（垂直平分线） ★★★★★
2018，19，6分（垂直平分线）
2019，19，6分（作一个角等于已知角）
2015，22，7分（方程组和不等式）
2016，20，6分（分式方程）
应用题 ★★★★ 2017，19，6分（方程组）
★★★★★
2019，21，7分（一元一次不等式，二元一
次方程组）
2015，20，7分（概率）
2016，22，7分（统计）
概率与统计 ★★★ 2017，22，7分（统计） ★★★★★
2018，21，7分（统计）
2019，20，7分（统计+概率）
2015，21，7分（翻折正方形）
2016，21，7分（30度直角三角形）
2017，21，7分（菱形）
几何综合题 ★★★★ ★★★
2018，22，7分（矩形翻折证全等）
2019，22，7分（勾股定理+扇形面积）
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【2016-2019年中考选择填空真题】（顺序依次为 2016、2017、2018、2019）：
一、选择题
1． 2的绝对值是（ ）
1 1
A．2 B． 2 C． D．
2 2
1． 5的相反数是( )
1 1
A． B．5 C． D．-5
5 5
1
1．四个实数0、 、 3.14、 2中，最小的数是（ ）
3
1
A．0 B． C． 3.14 D．2
3
1． 2的绝对值是 ( )
A．2 B 1． 2 C． D． 2
2
2．如图所示，a和 b的大小关系是（ ）
A．a＜b B．a＞b C．a=b D．b=2a
2．“一带一路”倡议提出三年以来，广东企业到“一带一路”国家投资越来越活跃.据商务部门发布的数据显示。
2016年广东省对沿线国家的实际投资额超过 4 000 000 000美元。将 4 000 000 000用科学记数法表示为
（ ）
A．0.4×109 B 10．0.4× 10 C．4×109 D 4×1010．
2．据有关部门统计，2018年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游客约 14420000人次，将数 14420000
用科学记数法表示为（ ）
A．1.442 107 B．0.1442 107 C．1.442 108 D．0.1442 108
2．某网店 2019年母亲节这天的营业额为 221000元，将数 221000用科学记数法表示为 ( )
A． 2.21 106 B． 2.21 105 C． 221 103 D． 0.221 106
3．下列所述图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．直角三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形
3．已知 A 70 ，则 A的补角为（ ）
A．110 B．70 C．30 D．20
3．如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
25
3．如图，由 4个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是 ( )
A． B． C． D．
4．据广东省旅游局统计显示，2016年 4月全省旅游住宿设施接待过夜旅客约 27700000人，将 27700000用
科学记数法表示为（ ）
A 0.277 107． B．0.277 108 C． 2.77 107 D． 2.77 108
4 2．如果 2是方程 x 3x k 0的一个根，则常数 k的值为（ ）
A．1 B．2 C． 1 D． 2
4．数据1、5、7、 4、8的中位数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．下列计算正确的是 ( )
A．b6 b3 b2 B．b3 b3 b9 C． a2 a2 2a2 D． (a3 )3 a6
5．如图，正方形 ABCD的面积为 1，则以相邻两边中点连接 EF为边的正方形 EFGH的周长为（ ）
A． 2 B．2 2 C． 2 1 D．2 2 1
5．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，
95，则这组数据的众数是（ ）
A．95 B．90 C．85 D．80
5．下列所述图形中，是轴对称图形但不．是．中心对称图形的是（ ）
A．圆 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰三角形
5．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
6．某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是 3000元，4000元，5000元，7000元和 10000元，
那么他们工资的中位数为（ ）
A．4000元 B．5000元 C．7000元 D．10000元
6．下列所述图形中， 既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．圆
26
6．不等式3x 1 x 3的解集是（ ）
A． x 4 B． x 4 C． x 2 D． x 2
6．数据 3，3，5，8，11的中位数是 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
7．在平面直角坐标系中，点 P（ 2, 3）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
k
7．如图，在同一平面直角坐标系中，直线 y k1x(k1 0)与双曲线 y 2 (k 0) 相交于 A、B两点，已x 2
知点 A的坐标为（1，2），则点 B的坐标为( )
A．（ 1, 2） B．（ 2, 1） C．（ 1, 1） D．（ 2, 2）
7．在△ ABC中，点D、E分别为边 AB、 AC 的中点，则 ADE与△ ABC的面积之比为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
7．实数 a、 b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是 ( )
A． a b B． | a | | b | C． a a b 0 D． 0
b
8．如图，在平面直角坐标系中，点 A坐标为（4，3），那么 cos 的值是（ ）
3 4 3 4
A． B． C． D．
4 3 5 5
8．下列运算正确的是( )
2
A． a 2a 3a B 3． a ·a2 a5 C． (a4 )2 a6 D 4 2． a a a4
8．如图， AB∥CD，则 DEC 100 ， C 40 ，则 B的大小是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．化简 42 的结果是 ( )
A． 4 B．4 C． 4 D．2
27
9．已知方程 x 2y 3 8，则整式 x 2y的值为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
9．如图，四边形 ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为( )
A．130° B．100° C．65° D．50°
9 2．关于 x的一元二次方程 x 3x m 0有两个实数根，则实数m 的取值范围为（ ）
9 9 9 9
A．m B．m C．m D．m
4 4 4 4
9．已知 x 21， x2是一元二次方程 x 2x 0的两个实数根，下列结论错误的是 ( )
A． x1 x2 B． x
2
1 2x1 0 C． x1 x2 2 D． x1 x2 2
10．如图，在正方形 ABCD中，点 P从点 A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积
y与点 P运动的路程 x之间形成的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边的中点，DE 与 AC 相交于点 F，连接 BF，下列结论：
① S△ABF S△ADF ；② S△CDF 4S△CBF ；③ S△ADF 2S△CEF ；④ S△ADF 2S CDF ，其中正确的是( )△
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
28
10．如图，点 P 是菱形 ABCD 边上的一动点，它从点 A出发沿在 A→B→C→D 路径匀速运动到点 D，设
△PAD的面积为 y，P点的运动时间为 x，则 y关于 x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形 ABCD的边长为 4，延长CB至 E使 EB 2，以 EB为边在上方作正方形 EFGB，延长 FG
交 DC于M ，连接 AM ， AF ，H 为 AD的中点，连接 FH 分别与 AB， AM 交于点 N、 K：则下列结论：
① ANH GNF ；② AFN HFG；③ FN 2NK；④ S AFN : S ADM 1: 4．其中正确的结论有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．9的算术平方根为 ．
11．分解因式： a2+a ．
11．同圆中，已知弧 AB所对的圆心角是 100°，则弧 AB所对的圆周角是 ．
1 111 20190 ．计算： ．
3
12 2．分解因式：m 4 = ．
12．一个 n边形的内角和是 720 ，那么 n= ．
12 2．分解因式： x 2x 1 ．
12．如图，已知 a / /b， 1 75 ，则 2 ．
x 1≤2 2x

13．不等式组 2x x 1 的解集为 ．
＞ 3 2
29
13．已知实数 a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 a+b 0(填“>”，“<”或“=”).
13．一个正数的平方根分别是 x+1和 x 5，则 x= ．
13．已知一个多边形的内角和是1080 ，这个多边形的边数是 ．
14．如图，把一个圆锥沿母线 OA剪开，展开后得到扇形 AOC，已知圆锥的高 h为 12cm，
OA=13cm，则扇形 AOC中弧 AC 的长是 cm．（结果保留 ）
14．在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，5.随机摸出一个小
球，摸出的小球标号为偶数的概率是 ．
14．已知 a b b 1 0，则 a+1= ．
14．已知 x 2y 3，则代数式 4x 8y 9的值是 ．
15．如图矩形 ABCD中，对角线 AC= 2 3，E为 BC边上一点，BC=3BE，将矩形 ABCD 沿 AE所在的直
线折叠，B点恰好落在对角线 AC上的 B′处，则 AB= ．
15．已知 4a 3b 1，则整式8a 6b 3的值为 ．
15．如图矩形 ABCD中，BC=4，CD=2，以 AD为直径的半圆 O与 BC相切于点 E，连接 BD，则阴影部分
的面积为 ．（结果保留π）
15．如图，某校教学楼 AC 与实验楼 BD的水平间距CD 15 3米，在实验楼顶部 B点测得教学楼顶部 A点
的仰角是 30 ，底部C点的俯角是 45 ，则教学楼 AC 的高度是 米（结果保留根号）．
30
16．如图，点 P是四边形 ABCD 外接圆⊙O上任意一点，且不与四边形顶点重合，若 AD是⊙O的直径，
AB=BC=CD，连接 PA，PB，PC，若 PA=a，则点 A到 PB和 PC的距离之和 AE+AF= .
16．如题 16图（1），矩形纸片 ABCD中，AB=5，BC=3，先按题 16图（2）操作，将矩形纸片 ABCD沿过
点 A的直线折叠，使点 D落在边 AB 上的点 E处，折痕为 AF；再按题 16图（3）操作：沿过点 F 的直线
折叠，使点 C落在 EF上的点 H处，折痕为 FG,则 A、H两点间的距离为 .
3
16．如图，已知等边△OA1B1，顶点 A1在双曲线 y x 0 上，点 B1的坐标为（2，0）．过 B1作 B1A2∥OA1
x
交双曲线于点 A2，过 A2作 A2B2∥A1B1交 x轴于点 B2，得到第二个等边△B1A2B2；过 B2作 B2A3∥B1A2交
双曲线于点 A3，过 A3作 A3B3∥A2B2交 x轴于点 B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点 B6
的坐标为 ．
16．如图 1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图 2所示方法玩拼
图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用 9个这样的图形（图1)拼出来的图形的总长度是 （结
果用含 a， b代数式表示）．
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第八部分 易错整理练习
数与式
易错点 1：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。
弄不清绝对值与数的分类。选择题考得比较多。
易错点 2：关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是
把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
易错点 3：平方根、算术平方根、立方根的区别。
易错点 4：分式值为零时易忽略分母不能为零。
易错点 5：分式运算要注意运算法则和符号的变化。当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，
因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。填空题易
考。
易错点 6：非负数的性质：几个非负数的和为 0，每个式子都为 0；整体代入法；完全平方式。
易错点 7：计算第一题易考五个基本数的计算：0 指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化
简。
易错点 8：科学记数法，精确度。这个知道就好！
易错点 9：代入求值要使式子有意义。各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序。
【例题】
1、 4的倒数是( ).
4 1 1A．4 B． C． D．
4 4
2、下列式子中，计算结果为﹣1的是（ ）
A 2．| 1 | B． 1 C． 12 D． 1
3、电影《流浪地球》从 2月 5日上映以来，凭借其气势磅礴的特效场面与动人的父子情获得大众的喜爱与
支持，截止 3月底，中国电影票房高达 4559000000元．数据 4559000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4、如图，将一些形状相同的小五角星按图中规律排放，据此规律，第 10个图形有（ ）个五角星．
A．120 B．121 C．99 D．100
32
5、 的平方根是______．
6、分解因式： 2x3 4x2 2x =___________．
7、已知 a2 2a 3，则 2019 6a 3a2 =______．
1 28、 3 2 2015 0 27 2 tan 60
3
5 x2 6x 99、先化简，再求值： 1 ，其中 ．
x 2 x 2
方程（组）与不等式（组）
易错点 1：各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件．
易错点 2：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为 0 的情况，还要关注解方程与方
程组的基本思想．
易错点 3：不等式两边同时乘或除以（不为零）的数时，容易忘记改不变号的方向而导致结果出错．
易错点 4：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为 0．
易错点 5：关于一元一次不等式组有解、无解的条件易忽视相等的情况．
易错点 6：解分式方程时首要步骤去分母，易忘记根检验，导致运算结果出错．
易错点 7：不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴．
【例题】
x 2 1
1、方程 x2 2x的根为 ． 2、不等式组 的解集为 ．
3x 1 8
3、若关于 x的一元二次方程 kx2 6x 9 0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是（ ）
A． k 1且 k 0 B． k 0 C． k 1 D． k 1
4、关于 x的一元二次方程 x2 4x k 0有两个实数根，则 k的取值范围是（ ）
A． k 4 B． k 4 C． k 4 D． k 4
1 2
5、解分式方程： .
x 1 x
33
函数
易错点 1：各个系数表示的意义．
易错点 2：熟练掌握各种函数解析式的求法，有几个的待定系数就要几个点坐标．
易错点 3：利用图像求不等式的解集和方程（组）的解，利用图像性质确定增减性．
易错点 4：两个变量利用函数模型解实际问题，注意区别方程、函数、不等式模型解决不等领域的
问题．
易错点 5：利用函数图象进行分类（平行四边形、相似、直角三角形、等腰三角形）以及分类的求
解方法．
易错点 6：与坐标轴交点坐标一定要会求。面积最大值的求解方法，距离之和的最小值的求解方法，
距离之差最大值的求解方法．
易错点 7：数形结合思想方法的运用，还应注意结合图像性质解题。函数图象与图形结合学会从复
杂图形分解为简单图形的方法，图形为图像提供数据或者图像为图形提供数据．
易错点 8：自变量的取值范围有：二次根式的被开方数是非负数；分式的分母不为 0；0 指数幂的底
数不为 0，其它都是全体实数．
【例题】
1、函数 y x 2 的自变量取值范围是______．
x 1
m
2、如图，反比例函数 y 的图象与一次函数 y=kx+4的图象在第一象限的交点于 P，过点 P作 x轴，y轴
x
垂线分别交于 A，B两点，且函数 y=kx+4的图象分别交 x轴、y轴于点 C，D，已知 S△OCD=2，OA=2OC．
（1）点 D的坐标为______；
（2）求一次函数解析式及 m的值；
m
（3）写出当 x＞0时，不等式 kx 4 的解集．
x
3、已知二次函数 y ax2 bx 3的图象经过 A（﹣1，0）、C（3，0），并且与 y轴相交于点 B，点 P是直
线 BC上方的抛物线上的一动点，PQ∥y轴交直线 BC于点 Q．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求△BPC的面积最大值；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使△MAB为等腰三角形？若存
在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．
34
4、如图，抛物线的图象与 x轴交 A（-3，0），B（1，0）两点，与 y轴交于点 C（0，3），点 D为抛物线的
顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 M为线段 AB上一点（点 M不与点 A，B重合），过 M作 x轴的垂线，与直线 AC交于点 E，与抛
物线交于点 P，过 P作 PQ∥AB交抛物线于点 Q，过 Q作 QN⊥x轴于 N，当矩形 PMNQ的周长最大时，求
△AEM的面积．
5 2、 如图，抛物线 y ax bx 3 a 0 的对称轴为直线 x 1，抛物线交 x轴于 A、C两点，与直线
y x 1交于 A、B两点，直线 AB与抛物线的对称轴交于点 E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P是抛物线对称轴上一点，求出当△BCP周长最小时点 P的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，以点 B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点 D的
坐标．
6 2、如图，抛物线 y ax 4x c 3过点 A(6，0)、B(3， )，与 y轴交于点 C．连接 AB并延长，交 y轴于
2
点 D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点 P在线段 AC上，如果△OAP和△DCA相似，求点 P的坐标．
35
三角形
易错点 1：三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别．
易错点 2：三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。求最短距离的方法（二次函数结
合）．
易错点 3：三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”．
易错点 4：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。着重学会论证三角形全等，三角形相
似与全等的综合运用以及线段相等是全等的特征，线段的倍分是相似的特征以及相似与三角函数的
结合。根据边边角不能得到两个三角形全等．
易错点 5：两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，
对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方．
易错点 6：等腰（等边）三角形的定义以及等腰（等边）三角形的判定与性质，运用等腰（等边）
三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入．
易错点 7：运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题
以及简单的实际问题．
易错点 8：将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用
探究各种解题方法．
易错点 9：中点，中线，中位线性质及定理的归纳．
易错点 10：三角函数的定义中对应线段的比经常出错以及特殊角的三角函数值．
【例题】
1、若一个三角形的两边长分别为 4和 6，则第三边长可能是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2
2、如图 1，直线 m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
3、如图 2，在△ABC中，BD、CE是高，点 G、F分别是 BC、DE的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．GE＝GD B．GF⊥DE C．∠DGE＝60° D．GF平分∠DGE
图 1 图 2 图 3
4、如图 3，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，以 AC为斜边作 Rt△ACC1，使∠CAC1=30°，
Rt△ACC1的面积记为 S1，则 S1=______；再以 AC1为斜边作 Rt△AC1C2，使∠C1AC2=30°，Rt△AC1C2的
面积记为 S2，……，以此类推，则 Sn______.（用含 n的式子表示）
36
5、如图，已知四边形 ABCD是菱形，点 E是对角线 AC上一点，连接 BE并延长交 AD于点 F，交 CD的
延长线于点 G，连接 DE.
（1）△ABE≌△ADE；
（2）EB2=EF·EG；
（3）若菱形 ABCD的边长为 4，∠ABC=60°，AE:EC=1:3，求 BG的长.
6．在数学课堂上，小斐同学和小可同学分别拿着一大一小两个等腰直角三角板，可分别记做△ABC和△
ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°．两位同学先按照如图 1 摆放，点 D、E在 AB、AC上，发现 BD和 CE
在数量和位置关系上分别满足 BD=CE，BD⊥CE．
（1）将△ADE绕点 A逆时针旋转一定角度．如图 2．点 D在△ABC内部，点 E在△ABC外部，连结 BD、
CE，上述结论依然成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
问题延伸：继续将△ADE绕点 A逆时针旋转．如图 3．点 D、E都在△ABC外部，连结 BD、CE、CD、EB，
BD与 CE相交于 H点．
（2）若 BD ，求四边形 BCDE的面积；
（3）若 AB=3，AD=2，设 CD2 ，EB2 ，求 与 之间的函数关系式．
图 1 图 2 图 3
37
四边形
易错点 1：平行四边形的性质和判定，如何灵活、恰当地应用．三角形的稳定性与四边形不稳定性．
易错点 2：平行四边形注意与三角形面积求法的区分。平行四边形与特殊平行四边形之间的转化关系．
易错点 3：运用平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分。对角线将四边
形分成面积相等的四部分．
易错点 4：平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题，突出转化思想的渗透．
易错点 5：矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定及它们之间的关系，主要考查边长、对角线长、面积等
的计算。矩形与正方形的折叠．
易错点 6：四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题，掌握其中的不变与旋转一些性质．
【例题】
1、如图，□DEFG内接于△ABC，已知△ADE、△EFC、△DBG的面积为 1、3、1，那么□DEFG 的面积
为（ ）
A．4 B． C．3 D．2
2、如图 1，在正方形 ABCD中，点 P是对角线 BD上的一点，点 E在 AD的延长线上，且 PAPE，PE交
CD于点 F.
（1）证明：PCPE；
（2）如图 2，把正方形 ABCD改为菱形 ABCD，其它条件不变，当∠ABC120°时，连接 CE，试探究线
段 AP与线段 CE的数量关系，并说明理由.
3、如图①，在矩形纸片 ABCD中，AB=4，AD=6．点 E，F分别在 AB，DC上（E不与 A，D重合，F不
与 B，C重合），现以 EF为折痕，将矩形纸片 ABCD折叠．
38
（1）当 A点落在 BC上时（如图②），求证：△EFA′是等腰三角形；
（2）当 A′点与 C重合时，试求△EFA′的面积；
（3）当 A′点与 DC的中点重合时，试求折痕 EF的长．
4、如图，在正方形 ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交 AD于点 E、F，连接 BD、
DP，BD与 CF相交于点 H.
（1）求证：AFDE；
（2）求证：DP2PH·PB；
（3）求 tan∠DBE的值.
5、如图（1），已知点 E在正方形 ABCD的对角线 BD上，EG⊥BC，垂足为点 G，EF⊥AB，垂足为点 F．
（1）求证：△BEF∽△BDA；
DE
（2）猜想： 的值为 ；
CG
（3）将正方形 BFEG绕点 B顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段 DE与 CG之
间的数量关系，并说明理由；
（4）正方形 BFEG 在旋转过程中，当 A，F，G三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 BE交 CD于
点 H．若 DE＝3，EH＝ ，则 BC＝ ．
39
圆
易错点 1：对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻，特别是弦所对的圆周角有两种情况要特别注意，两条弦之
间的距离也要考虑两种情况．
易错点 2：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题．
易错点 3：对切线的定义及性质理解不深，不能准确的利用切线的性质进行解题以及对切线的判定方法两种
方法使用不熟练．
易错点 4：圆周角定理是重点，同弧（等弧）所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角。直角的圆周角
所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
易错点 5：几个公式一定要牢记：三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆的面积公式，圆周
长公式，弧长，扇形面积，圆锥的侧面积以及全面积以及弧长与底面周长，母线长与扇形的半径之间的转
化关系．
【例题】
1、如图 1，AB是⊙O的直径，点 D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则 AD的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．8
2、如图 2，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CBA的度数为（ ）
A． B． C． D．
图 1 图 2 图 3 图 4
3、如图 3，将半径为 2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 ，则折痕 的长度为（ ）
A． B．2 C． D．
4、如图是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5、如图 4，从一个直径为 4的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 60°的扇形 ABC，将剪下来的扇形围成一个圆
锥，则圆锥的底面半径为（ ）
2 3 2 3 3
A． B． C． D．
3 3 3 2
40
6、如图，直径 AB为 10的半圆，绕 A点逆时针旋转 60°，此时点 B旋转到点 B′，则图中阴影部分的面积
是____.
7、如图，在等腰 Rt△ABC中，∠ACB90°，AC=4，以边 AC为直径的半圆交 AB于点 D，则图中阴影部
分的面积是__________（结果保留）.
8、如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，过 O点作 OD⊥BC，交⊙O的切线 CD于点 D，交⊙O于点
E，连接 AC、AE，且 AE与 BC交于点 F．
（1）连接 BD，求证：BD是⊙O的切线；
（2）若 AF：EF=2：1，求 tan∠CAF的值．
9、如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于 H，G为⊙O上一点，连接 AG交 CD于 K，在 CD的延长线上
取一点 E，使 EG=EK，EG的延长线交 AB的延长线于 F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接 DG，若 AC∥EF时．
①求证：△KGD∽△KEG；
4
②若 cosC= ，AK= ，求 BF的长．
5
41
对称图形
易错点 1：轴对称、轴对称图形，及中心对称、中心对称图形概念和性质把握不准．
易错点 2：图形的轴对称或旋转问题，要充分运用其性质解题，即运用图形的“不变性”，在轴对称
和旋转中角的大小不变，线段的长短不变．
易错点 3：将轴对称与全等混淆，关于直线对称与关于轴对称混淆．
【例题】
1、下列图案中，是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
2、如图 1，已知 P为等边△ABC形内一点，且 PA＝3cm，PB＝4 cm，PC＝5 cm，则图中△PBC的面积为
________cm2．
图 1 图 2 图 3
4
3、如图 2，直线 y x 4与 x轴、y轴分别交于 A、B两点，把△AOB绕点 A顺时针旋转 90°后得到
3
△AO′B′，则点 B′的坐标是__．
2
4、如图 3，在△ABC中，∠ACB90°，AB18， cosB ，把△ABC绕着点 C旋转，使点 B与 AB边
3
上的点 D重合，点 A落在点 E处，则线段 AE的长为_____．
统计与概率
易错点 1：中位数、众数、平均数的有关概念理解不透彻，错求中位数、众数、平均数．
易错点 2：在从统计图获取信息时，一定要先判断统计图的准确性。不规则的统计图往往使人产生
错觉，得到不准确的信息．
易错点 3：对普查与抽样调查的概念及它们的适用范围不清楚，造成错误．
易错点 4：极差、方差的概念理解不清晰，从而不能正确求出一组数据的极差、方差．
易错点 5：概率与频率的意义理解不清晰，不能正确求出事件的概率．
易错点 6：平均数、加权平均数、方差公式，扇形统计图的圆心角与频率之间的关系，频数、频率、
总数之间的关系．
易错点 7：求概率的方法：(1)简单事件；（2）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树
状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（3）复杂事件求概率的方法运用频率估
算概率．
易错点 8：判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率与概率的整合．
42
【例题】
1、某中学田径队的 18名队员的年龄情况如下表：
年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18
人数 3 7 3 4 1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15 B．15，15.5 C．15，16 D．16，15
2、在不透明的盒子中装有 4个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外其它完全相同，从中随机摸
1
出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是 ，那么白色棋子的个数是______．
3
3、某中学为了了解在校学生对校本课程的喜爱情况，随机调查了部分学生对 ，，，，五类校本课
程的喜爱情况，要求每位学生只能选择一类最喜欢的校本课程，根据调查结果绘制了如下的两个不完整统
计图.请根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）本次被调查的学生的人数为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，类所在扇形的圆心角的度数为 ；
（4）若该中学有 2000名学生，请估计该校最喜爱 ，两类校本课程的学生约共有多少名．
4、由中宣部建设的“学习强国”学习平台正式上线．这是推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心、
推进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措．某基层党组织对党员的某天的学习成绩进行了
整理，分成 5个小组(x表示成绩，单位：分，且 10≤x＜70)，根据学习积分绘制出部分频数分布表和部分频
数分布直方图，其中 2、5两组测试成绩人数直方图的高度比为 4：1，请结合下列图标中相关数据回答下列
问题：
学习积分频数分布
组 成绩 x分 频 频
1 20≤x＜ 5
2 30≤x＜ b
3 40≤x＜ 15 30%
4 50≤x＜ 10
5 60≤x＜ a
43
（1）填空：a=_____，b=______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知该基层党组织中甲、乙两位党员的学习积分分别为 62分、65分，现要从 5组中随机选取 2人介
绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中至少 1人被选中的概率．
第九部分 中考注意事项
1.“单”就是单位，数学考试中特别是填空和计算题需要写上单位，因为忘写而扣分屡见不鲜，也有错写单位的，
如面积的平方米错写成米。
2.“格”就是格式，有些同学解题没有格式，随心所欲，也会被扣分。尤其体现在解方程和不等式、以及证明题。
3.“a”就是英文字母 a，一元二次方程的一般形式的二次项系数 a和二次函数的一般形式的二次项系数不为零。
但求字母的取值范围时往往会忽略。
4.“特”就是特殊值法，有些很难的数学题，学生百思不得其解，用特殊值法来做，有时能收到四两拨千斤的效
果，这也符合“一般——特殊——一般”的辩证法。如求字母的比值。
5.“结”就是结论，应用题的答，简答题的结论，作图题的结论，也往往忘记写。尤其压轴题分类讨论后要“综上
所述”将结论一并写出。
6.“标”就是标准，从小学到初中，最后结论因未约分而失分的事时有发生，单项式或二次根式前的系数也常常
写成带分数，分母带根号或根号里面有分母也不鲜见，这些不标准的结论都要避免。尤其坡比课本规定必须写成
“1：n”的形式。
7.“检”就是检验，除了体现在填空题和解答题解分式方程和无理方程的检验，还有在做解答题时在图形标准的
前提下，要根据图形的已知边作为参考量，判断求出的边、角、比值是否合理。
8.“方”就是方程思想，中学数学很多问题若用方程思想来解决，的确能使问题迎刃而解。尤其是几何问题善于
运用“勾股定理”、“一线三等角”等等列出方程求出未知数。
9.“形”就是数形结合，很多题目若借助数形结合的思想方法，可使问题容易解决，尤其要会通过函数图象来判
断 y1 y2时，x的取值范围。
10.“函”就是函数，现在中考很多数学压轴题，都在用函数思想来建模。这也是学生颇感棘手的内容之一。此
时拓展的一些解析法、余弦定理、两角和差正切公式、三角形面积拓展求法等等，都可以作为解决此类问题的参
考方法。
11.“自”就是函数的自变量的取值范围，这里在中考中往往就是 25题中的 1分，有时候这 1分要争取还是花时
间检查前面基础题在于不同学生的权衡。关于函数自变量的取值范围，大致要考虑的基本方法如下：整式取全体
实数，分式分母不为零，偶次根式非负数，实际问题要考虑，这里的式指的是函数解析式中右边的代数式。
12.“量”就是度量，某些几何填空式选择题，要算角、线段的大小或位数关系，的确有一定的难度，不妨用量
44
角器式刻度尺量一量。不过，如果原题图形不精确自己最好画一个。这种隐藏的 bug有时也是命题人难以避免的，
要善于利用。
13.“猜”就是猜想，有些填空题虽然很难，但空着也是浪费，怪可惜的，这里不妨猜一个算一个，解答题也是
一样，这个思想就是不允许空任何小题或者小问，解答题不会最后也要学会写一写字骗分。
14.“分”就是分类讨论思想，这里主要体现在压轴题，基本分类方式要根据课本中的基础知识点，注意分类后
的方法和角度线观察一下是否有特殊关系特殊解法，一般多种分类中往往只有一种计算量较大。
15.“时”就是时间，留心一下时间，一般填空题和选择题大约控制在十分钟左右，其余题目依次做下来，难题
跳过，留到最后做，切忌硬攻而耗费大量时间，最后争取要留 10分种左右时间查全卷，看看是否有低级的数学
错误、涂写错误、低级的计算错误。但也不能过频看表，自乱阵脚，一般一类题看一次。
16.“问”就是看不清的或有疑问的地方，或有什么要求，尽管多问老师，胆小而不敢问，万一试卷真的有什么
差错，后悔可来不及了，监考老师本身也是为你们服务，记得礼貌说“谢谢”哦。
17.“名”就是“名字”，有些考生因为心情紧张，会把名字和准考证号码给漏写了，岂不是等于白考了，这么一提
醒，肯定有用。
18.“装”就是装订线，过去考生做反面的的试卷时，常常会做在装订线的里面，从而做对的题目因为在装订线
内而被扣了分。其实，试卷可沿装订线折叠，答题答在装订线内，从而避免此类情况的发生。
19.“准”就是准考证，除了答题别忘写准考证号码外，进考场和出考场都别忘记带准考，否则，到时下一次考
试不见了准考证，不把你急得浑身是汗才怪。
20.“联”就是答解过程中，证明题要学会借鉴前一问的思路，压轴题的分类讨论中，当作图方法不同时，有时
也可参考前一问的分析过程。
最后，数学考试要带好圆规、量角器、直尺、三角尺、铅笔、橡皮。
45
【参考答案】
【第六部分：模型应用——22页】
2 3 15
5 3 5、 y x 2x 3； , ；
1、①②③④⑤ 2、 x 3 3、 或 3 4、 2 7 2 2 4


3 2
7 8 10 D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)
5、 6、 7、 4 5
8 5
6、 y x2 4x 6 2, 4 3 9 ； 或 ,
2 2
【第七部分：2016-2019真题——25页】
1、ADCA 2、ACAB 3、BABA 4、CBBC 5、BBDC
6、BDDC 7、CACD 8、DBBB 9、ACAD 10 CCBC 【三角形——36页】、
3 3n
11、3;a a 1 ;50 或130 ； 4 1——4 C;A;C; 3, 32 22n 1
12、 m 2 m 2 ;6; x 1 2 105 5、（1）（2）证明略（3） BG BE EG 4 13
；
19
13、 3 x 1; ;2 6、（1）（2）证明略（3）面积为 ； y 26 x ．；8 2
14、10 ; 2 ;2 21 【四边形——38页】
5 ；
1、A
15、 3; 1; 2、证明略； (15 3 15)
4 10
3、（1）（2）证明略（3） EF ．
1 3 3
16、 a; 10; 2 6,0 a 8b2 4、（1）（2）证明略（3）tan∠DBE .；
3 5
5、（1）证明略（2） .（3）DE= CG（4）BC=
2
【数与式——32页】：
1——4 DCCA
【圆——40页】
5——9 2;2x x 1 2 ;2010; 1 6; , 2 50
x 3 2 1——5 BACDB 6——7 ;6 3
3
8、（1）证明略（2）
【方程与不等式——33页】： 3
1——5 x1 0, x2 2; x 3;A;C; x 2 检验 259、（1）（2）①证明略② 24
【函数——34页】： 【对称图形——42页】
1、 x 2且x 1 1、C 2、 4 3+3 3、（7，3） 4、 8 5
2、D（0，4）； y 4x 4，m 24； x 2
3 y x2、 2x 3 9 【统计与概率——42页】 ； ；
4 1、A 2、8
M1（1，1），M2（1， ），M3（1，﹣ ），M4（1，0）
3、（1）300；（2）60；（3）108°；（4）840名.
4 2、 y x 2x 3 1；
2 4、（1）4，32%；（2）略；（3）画图略，概率为
47

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