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第十七章 因式分解
第17章 因式分解
章末复习
1．能运用提公因式法、公式法进行因式分解．
2．会利用因式分解解决有关问题．
因式分解
整式的乘法
乘法公式
提公因式法
相反变形
相反变形
具体方法
公式法
特殊 形式
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．举例说明因式分解与整式的乘法之间的关系．
2．因式分解的方法有哪几种？举例说明如何运用所学的方法分解因式．
3．分解因式时应注意什么？
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．举例说明因式分解与整式的乘法之间的关系．
因式分解与整式乘法是方向相反的变形．
pa＋pb＋pc
p(a＋b＋c)
因式分解
整式乘法
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
2．因式分解的方法有哪几种？举例说明如何运用所学的方法分解因式．
（一）提公因式法？
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
2．因式分解的方法有哪几种？举例说明如何运用所学的方法分解因式．
（二）公式法
平方差公式
a2b2=(a+b)(ab)
完全平方公式
a2±2ab＋b2＝(a±b)2
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
3．分解因式时应注意什么？
一“提”：看有无公因式，若有，则提取公因式；
二“套”：考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式；
三“检查”：检查分解因式是否彻底，若不彻底则继续分解．
考点一：运用提公因式法分解因式
例1：用提公因式法将下列各式分解因式．
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）；
（2）；
（3）
．
运用提公因式法分解因式的技巧
（1）如果多项式的第一项系数为负，那么一般提出“－”号，同时多项式中的各项都变号；
（2）如果多项式中某些项的系数为小数（或分数），那么一般要提取小数（或分数），使多项式的各项的系数为整数；
（3）当一个式子的公因式是多项式时，可以把该多项式看作一个整体，提取公因式时比较简便；
（4）可以用整式的乘法验证因式分解的结果是否正确．
考点一：运用提公因式法分解因式
考点二：运用平方差公式分解因式
例2：因式分解．
（1）； （2）．
解：（1）
；
（2）
．
用平方差公式因式分解的注意事项
（一）适用条件：多项式需是两项，且为“平方减平方”形式两项符号相反．
（二）先提公因式：分解前优先提取多项式各项的公因式，再看是否符合平方差公式．
（三）分解要彻底：用平方差公式分解后的因式，若仍可分解需继续分解至不能再分解．
（四）符号处理：注意多项式公因式的符号转化，确保两项为 “平方差” 结构．
考点二：运用平方差公式分解因式
考点三：运用完全平方公式分解因式
解：（1）
；
例3：因式分解：
（1）；
（2）．
考点三：运用完全平方公式分解因式
例3：因式分解：
（1）；
（2）．
解：（2）
．
用完全平方公式因式分解的注意事项
（一）适用条件：多项式需是三项式，且满足 “首平方+尾平方±2×首×尾”的结构，符号与中间项一致．
（二）先提公因式：优先提取各项公因式，再判断剩余部分是否符合完全平方公式．
（三）换元简化：遇到复杂多项式，可将整体视为“首”或“尾”，简化结构后套用公式．
（四）分解彻底：分解后需检查因式是否还能进一步化简．
考点三：运用完全平方公式分解因式
考点四：运用分解因式解决实际问题
解：是等腰三角形．理由如下：
，
∴，
，
，
故或．
显然边长，
∴，
故为等腰三角形．
例4：的三边长分别为，且，请判断是等边三角形还是等腰三角形？
运用分解因式解决实际问题的注意事项
（一）整理等式：先将实际问题中的等量关系整理为多项式等式，再通过移项化为“一边为0”的形式．
（二）因式分解：对等式左边多项式进行因式分解，转化为整式乘积形式．
（三）结合实际意义：根据问题背景，排除不合理的因式解，保留符合实际的结论．
（四）验证结论：需结合实际条件验证分解后的结果，确保逻辑严谨．
考点四：运用分解因式解决实际问题
【知识技能类练习】必做题：
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
【知识技能类练习】必做题：
2．已知点关于x轴的对称点为，则多项式可因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
A
【知识技能类练习】必做题：
3．分解因式：
(1) (2)
解：（1）
；
（2）
．
【知识技能类练习】选做题：
4．在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ．
【综合拓展类练习】
5．下面是对整式因式分解的部分过程．解答下列问题：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（第五步）
(1)在横线上继续完成对本题的因式分解．
(2)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（写出两种方法）
提公因式法，公式法
【综合拓展类练习】
(3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解．
解：（3）
．
请同学们总结一下本节课所复习的主要内容
【知识技能类作业】必做题：
1．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
2．在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，嘉嘉和琪琪的做法如下：
嘉嘉：添加，得到；
琪琪：添加，得到．
则下列判断正确的是（ ）
A．只有嘉嘉的做法正确 B．只有琪琪的做法正确
C．嘉嘉和琪琪的做法都正确 D．嘉琪和琪琪的做法都不正确
C
【知识技能类作业】必做题：
3．因式分解．
(1) (2)
(3) (4)
解：（1）
；
（2）
；
【知识技能类作业】必做题：
3．因式分解．
(1) (2)
(3) (4)
（3）
；
（4）
．
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ．
84
【综合拓展类作业】
5．阅读理解：
已知，求，的值．
解：，
，
，
又，，
，，
，．
【综合拓展类作业】
学以致用：
(1)若，求t的值；
解：（1）∵，
，
，
解得：；
【综合拓展类作业】
(2)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状．
（2），
，
，
．
∵、、是的三边，
∴是等边三角形．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第六课时《第17章 因式分解 章末复习》教学设计
课型 新授课口 复习课 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节复习课是人教版八年级上册因式分解章节的总结性课程，属于“知识梳理+能力提升”型教学内容．其核心定位是：衔接整式乘法与后续分式运算、方程求解等知识，通过系统梳理整章内容，帮助学生构建因式分解的知识体系，巩固核心方法，提升知识应用与综合迁移能力，同时强化“逆向思维”“化归思想”的渗透．
学习者分析 学生已完成整式乘法与因式分解的学习，具备提取公因式、运用平方差及完全平方公式分解基础多项式的能力，对“因式分解是整式乘法逆运算”有初步认知，但存在明显薄弱点：一是方法选择不灵活，面对含多项式公因式或需先提公因式再用公式的题目时，易出现思路卡顿；二是分解彻底性不足，常忽略提公因式步骤或未检查因式是否还能分解；三是知识应用能力较弱，将因式分解与实际计算、几何性质结合时，难以建立代数与实际问题的关联，且逆向思维和逻辑推理能力有待通过复习课强化，以突破综合题与拓展题的解题障碍．
教学目标 1．能运用提公因式法、公式法进行因式分解． 2．会利用因式分解解决有关问题．
教学重点 运用提公因式法、公式法进行因式分解．
教学难点 利用因式分解解决有关问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．能运用提公因式法、公式法进行因式分解． 2．会利用因式分解解决有关问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：知识框图教师活动2： 出示知识框图 学生活动2： 学生认真听老师的讲本章知识架构活动意图说明： 通过出示本章知识框图，让学生对本章所学内容有明确的了解，为进一步进行知识回顾做好准备环节三：回顾思考教师活动3： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．举例说明因式分解与整式的乘法之间的关系． 预设： 因式分解与整式乘法是方向相反的变形． ２．因式分解的方法有哪几种？举例说明如何运用所学的方法分解因式． 预设：（一）提公因式法？ 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． （二）公式法 平方差公式 a2b2=(a+b)(ab) 完全平方公式 a2±2ab＋b2＝(a±b)2 ３．分解因式时应注意什么？ 预设：一“提”：看有无公因式，若有，则提取公因式； 二“套”：考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式； 三“检查”：检查分解因式是否彻底，若不彻底则继续分解．学生活动3： 学生先独立思考，然后在小组合作探究中完成老师提出的问题活动意图说明： 以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识设疑并回顾，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望环节四：考点梳理教师活动4： 考点一 运用提公因式法分解因式 例1：用提公因式法将下列各式分解因式． （1）； （2）； （3）． 解：（1）； （2）； （3） ． 归纳：运用提公因式法分解因式的技巧 （1）如果多项式的第一项系数为负，那么一般提出“－”号，同时多项式中的各项都变号； （2）如果多项式中某些项的系数为小数（或分数），那么一般要提取小数（或分数），使多项式的各项的系数为整数； （3）当一个式子的公因式是多项式时，可以把该多项式看作一个整体，提取公因式时比较简便； （4）可以用整式的乘法验证因式分解的结果是否正确． 考点二 运用平方差公式分解因式 例2：因式分解． （1）；（2）． 解：（1） ； （2） ． 归纳：用平方差公式因式分解的注意事项 （一）适用条件：多项式需是两项，且为“平方减平方”形式两项符号相反． （二）先提公因式：分解前优先提取多项式各项的公因式，再看是否符合平方差公式． （三）分解要彻底：用平方差公式分解后的因式，若仍可分解需继续分解至不能再分解． （四）符号处理：注意多项式公因式的符号转化，确保两项为 “平方差”结构． 考点三 运用完全平方公式分解因式 例3：因式分解： （1）； （2）． 解：（1） ； （2） ． 归纳：用完全平方公式因式分解的注意事项 （一）适用条件：多项式需是三项式，且满足 “首平方+尾平方±2×首×尾”的结构，符号与中间项一致． （二）先提公因式：优先提取各项公因式，再判断剩余部分是否符合完全平方公式． （三）换元简化：遇到复杂多项式，可将整体视为“首”或“尾”，简化结构后套用公式． （四）分解彻底：分解后需检查因式是否还能进一步化简． 考点四 运用分解因式解决实际问题 例4：的三边长分别为，且，请判断是等边三角形还是等腰三角形？ 解：是等腰三角形．理由如下： ， ∴， ， ， 故或． 显然边长， ∴， 故为等腰三角形． 归纳：运用分解因式解决实际问题的注意事项 （一）整理等式：先将实际问题中的等量关系整理为多项式等式，再通过移项化为“一边为0”的形式． （二）因式分解：对等式左边多项式进行因式分解，转化为整式乘积形式． （三）结合实际意义：根据问题背景，排除不合理的因式解，保留符合实际的结论． （四）验证结论：需结合实际条件验证分解后的结果，确保逻辑严谨．学生活动4： 学生先独立完成例题，然后小组合作交流，并派代表班内汇报交流活动意图说明： 通过例题，考查查学生对本章所学知识的掌握情况，提高学生综合运用知识解决相关问题能力．环节五：课堂小结教师活动5： 问题：请同学们总结一下本节课所复习的主要内容？ 教师通过学生的回答，进行归纳学生活动5： 学生积极对本节课所复习的内容进行总结活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所复习的知识，将所学的知识进一步整合，完善本章知识体系．
板书设计 课题：第17章因式分解章末复习一、知识框图 二、考点梳理 1. 运用提公因式法分解因式 2. 运用平方差公式分解因式 3. 运用完全平方公式分解因式 4. 运用分解因式解决实际问题教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．已知点关于x轴的对称点为，则多项式可因式分解为（ ） A． B． C． D． 答案：A 3．分解因式： (1) (2) 解：（1） ； （2） ． 选做题： 4．在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ． 答案： 解：原式 ； 故答案为：． 【综合拓展类练习】 5．下面是对整式因式分解的部分过程．解答下列问题： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)在横线上继续完成对本题的因式分解． (2)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（写出两种方法） (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 解：（1）原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） 故答案为：，； （2）第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法； 故答案为：分组分解法，提公因式法，公式法（任选其二即可）； （3） ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，嘉嘉和琪琪的做法如下： 嘉嘉：添加，得到； 琪琪：添加，得到． 则下列判断正确的是（ ） A．只有嘉嘉的做法正确 B．只有琪琪的做法正确 C．嘉嘉和琪琪的做法都正确 D．嘉琪和琪琪的做法都不正确 答案：C 3．因式分解． (1) (2) (3) (4) 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 选做题： 4．如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 答案：84 解：大长方形的周长为12，面积为7 ，， ，， ， 故答案为：． 【综合拓展类作业】 5．阅读理解： 已知，求，的值． 解：， ， ， 又，， ，， ，． 学以致用： (1)若，求t的值； (2)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状． 解：（1）∵， ， ， 解得：； （2）， ， ， ． ∵、、是的三边， ∴是等边三角形．
教学反思 本节课通过知识结构图梳理、考点精讲、课堂拓展，基本达成复习目标，多数学生能熟练运用提公因式法与公式法分解基础多项式，且对“分解彻底”的意识有所加强．但存在不足：一是对学生符号变形的难点突破不够，部分学生仍在转化上出错；二是拓展题时间分配不足，小组研讨深度有限，部分学生未能充分理解分组分解逻辑．后续需优化分层练习设计，增加符号变形专项训练，并预留更多时间让学生自主探究拓展题，提升知识迁移与推理能力．
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同步探究学案
课题 第17章 因式分解 章末复习 单元 第十七章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．能运用提公因式法、公式法进行因式分解． 2．会利用因式分解解决有关问题．
重点 运用提公因式法、公式法进行因式分解．
难点 利用因式分解解决有关问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 １．举例说明因式分解与整式的乘法之间的关系． ２．因式分解的方法有哪几种？举例说明如何运用所学的方法分解因式． ３．分解因式时应注意什么？ 考点梳理： 考点一 运用提公因式法分解因式 例1：用提公因式法将下列各式分解因式． （1）； （2）； （3）． 归纳：运用提公因式法分解因式的技巧 （1）如果多项式的第一项系数为负，那么一般提出“－”号，同时多项式中的各项都变号； （2）如果多项式中某些项的系数为小数（或分数），那么一般要提取小数（或分数），使多项式的各项的系数为整数； （3）当一个式子的公因式是多项式时，可以把该多项式看作一个整体，提取公因式时比较简便； （4）可以用整式的乘法验证因式分解的结果是否正确． 考点二 运用平方差公式分解因式 例2：因式分解． （1）； （2）． 归纳：用平方差公式因式分解的注意事项 （一）适用条件：多项式需是两项，且为“平方减平方”形式两项符号相反． （二）先提公因式：分解前优先提取多项式各项的公因式，再看是否符合平方差公式． （三）分解要彻底：用平方差公式分解后的因式，若仍可分解需继续分解至不能再分解． （四）符号处理：注意多项式公因式的符号转化，确保两项为 “平方差”结构． 考点三 运用完全平方公式分解因式 例3：因式分解： （1）； （2）． 归纳：用完全平方公式因式分解的注意事项 （一）适用条件：多项式需是三项式，且满足 “首平方+尾平方±2×首×尾”的结构，符号与中间项一致． （二）先提公因式：优先提取各项公因式，再判断剩余部分是否符合完全平方公式． （三）换元简化：遇到复杂多项式，可将整体视为“首”或“尾”，简化结构后套用公式． （四）分解彻底：分解后需检查因式是否还能进一步化简． 考点四 运用分解因式解决实际问题 例4：的三边长分别为，且，请判断是等边三角形还是等腰三角形？ 归纳：运用分解因式解决实际问题的注意事项 （一）整理等式：先将实际问题中的等量关系整理为多项式等式，再通过移项化为“一边为0”的形式． （二）因式分解：对等式左边多项式进行因式分解，转化为整式乘积形式． （三）结合实际意义：根据问题背景，排除不合理的因式解，保留符合实际的结论． （四）验证结论：需结合实际条件验证分解后的结果，确保逻辑严谨．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．已知点关于x轴的对称点为，则多项式可因式分解为（ ） A． B． C． D． 3．分解因式： (1) (2) 选做题： 4．在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ． 【综合拓展类练习】 5．下面是对整式因式分解的部分过程．解答下列问题： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)在横线上继续完成对本题的因式分解． (2)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（写出两种方法） (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，嘉嘉和琪琪的做法如下： 嘉嘉：添加，得到； 琪琪：添加，得到． 则下列判断正确的是（ ） A．只有嘉嘉的做法正确 B．只有琪琪的做法正确 C．嘉嘉和琪琪的做法都正确 D．嘉琪和琪琪的做法都不正确 3．因式分解． (1) (2) (3) (4) 选做题： 4．如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 【综合拓展类作业】 5．阅读理解： 已知，求，的值． 解：， ， ， 又，， ，， ，． 学以致用： (1)若，求t的值； (2)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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