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(共28张PPT)
24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定与性质
第二十四章 圆
知识回顾
图形
公共点个数
直线与圆的 位置关系
公共点名称
直线名称
2 个
交点
割线
1 个
切点
切线
0 个
相离
相切
相交
位置关系
公共点个数
导入新课
情境引入
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
新课讲授
A
B
C
问题：已知圆 O 上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作圆 O 的切线？
观察：
（1） 圆心 O 到直线 AB 的距离和圆的
半径有什么数量关系
（2）二者位置有什么关系？为什么？
切线的判定定理
O
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
OA 为⊙O 的半径
BC⊥OA 于A
BC 为⊙O 的切线
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
要点归纳
在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
(1) 不是，因为没有垂直.
(2) (3) 不是，因为没有经过半径的外端点 A.
判一判
注意
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r)时，直线与圆相切；
3. 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
要点归纳
O
O
例1 如图，线段 AB 是☉O 的直径，直线 AC 与 AB 交于点 A，∠ABC = 45°，且 AB = AC.
求证：AC 是☉O 的切线.
分析：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证 OA 垂直于 AC 即可.
证明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°，
∴∠ACB =∠ABC = 45°.
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°，
即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，
∴ AC 是☉O 的切线.
A
O
C
B
例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，
CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
O
B
A
C
证明：连接 OC.
∵ OA ＝ OB，CA ＝ CB，
∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线.
∴ OC⊥AB.
∵ OC 是 ⊙O 的半径，
∴ AB 是 ⊙O 的切线.
分析：由于 AB 过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要
证明 AB⊥OC 即可.
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．
求证：AC 是⊙O 的切线．
B
C
D
A
E
证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E.
∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB.
又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC，
∴ DE = DB = r.
∴ AC 是⊙O 的切线.
(1) 有交点，连半径，证垂直；
证切线时辅助线的添加方法
要点归纳
(2) 无交点，作垂直，证半径.
例3
例2
l为⊙O的切线
◆经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
O
l
A
◎第一步：
◎第二步：
有公共点
连半径
作垂直
◎第三步：
证垂直
证半径
无公共点
方法归纳
思考：如图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？
A
l
O
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
∴直线 l⊥OA.
切线的性质定理
切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
例4 如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交⊙O 于点 B，连接 AB. 若∠B = 25°，求∠P 的度数.
B
O
P
A
解：如图，连接 OA.
∵ PA 是⊙O 的切线，
∵∠AOP = 2∠B = 50°，
∴∠P = 90° - 50° = 40°.
∴∠OAP = 90°.
1. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线 MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = °.
2. 如图②，AB 为⊙O 的直径，D 为 AB 延长线上一点，DC 与⊙O 相切于点 C，∠DAC = 30°. 若⊙O 的半径长 1 cm，则 OD = cm.
60
练一练
图①
图②
例5 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D．求证：AC 是⊙O 的切线．
分析：判定切线，无切点，则作垂直(OE)，证半径(OE = OD)；由 AB 与⊙O相切于点 D，得 OD⊥AB；再根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质，即可得出结论.
E
B
O
C
D
A
证明：如图，连接 OD，OA，过 O 作 OE ⊥AC 于 E.
∵ ⊙O 与 AB 相切于 D，∴ OD⊥AB.
又∵△ABC 为等腰三角形，O 是 BC 的中点，
∴ AO 平分∠BAC.
∴ OE = OD.
∵ OD 是⊙O 的半径，
∴ 点 O 到 AC 的距离等于⊙O 的半径.
∴ AC 是⊙O 的切线．
E
B
O
C
D
A
有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1) 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
(2) 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
要点归纳
当堂练习
1. 判断下列命题是否正确.
(1) 经过半径外端的直线是圆的切线. ( )
(2) 垂直于半径的直线是圆的切线. ( )
(3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的
切线. ( )
(4) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. ( )
(5) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. ( )
×
×
√
√
√
2. 如图，A 是☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP =
12，则 PA 与☉O 的位置关系是 .
A
P
O
相切
3. 如图，在☉O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，
∠BCD = 120°，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于
点 P，则∠ADP 的度数为 （ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
C
P
O
D
A
B
C
第2题图
第3题图
4. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O
的半径是多少？
O
P
B
A
解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为 r，则
OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
在 Rt△OBP 中，
OB2 + PB2 = PO2，
即 r2 + 42 = (2 + r)2.
解得 r = 3，
即 ⊙O 的半径为 3.
O
A
B
C
E
P
5. 如图，△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P，PE⊥AC 于 E. 求证：PE 是 ⊙O 的切线.
证明：连接 OP，如图.
∵ AB = AC，∴∠B =∠C.
∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB.
∴∠OPB =∠C.
∴ OP∥AC.
∵ PE⊥AC，∴ PE⊥OP.
∴ PE为 ⊙O 的切线.
6. 如图，PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与 ⊙O交于 B、C 两点，∠P = 30°，连接 AO、AB、AC.
求证：△ACB≌△APO.
O
A
B
P
C
解析：根据已知条件易得∠CAB = ∠PAO = 90°，由∠P = 30° 可得出∠AOP = 60°，则∠C = 30° = ∠P，即AC = AP；这样就凑齐了角边角，可证得两个三角形全等.
证明：∵ PA 为⊙O 的切线，A 为切点，
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°.
又 OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形.
∴ AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵ BC 为 ⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°.
在△ACB 和 △APO 中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABC＝∠AOP，
∴△ACB≌△APO (ASA).
O
A
B
P
C
课堂小结
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d = r，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的性质
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
有 1 个公共点
d = r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
下 课
Thanks!
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