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15.1图形的轴对称
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知平面直角坐标系中，点P为直线上的动点，点，设的最小值为t．则随着k值的变化，t的值不可能等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
2．下列人工智能图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列定理有逆定理的是（ ）
A．对顶角相等
B．等角的补角相等
C．同角的余角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
6．尺规作图，要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；、作线段的垂直平分线；、过直线上一点作这条直线的垂线；、作角平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图，则正确的配对是（ ）
A．图--，图--，图--Ⅰ，图-- B．图--，图--，图--，图--Ⅰ
C．图--，图--，图--，图--Ⅰ D．图--，图--Ⅰ，图--，图--
7．在中，，，作图痕迹如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．若两个实数相等，则它们的绝对值相等
B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形的对应角相等
D．两直线平行，内错角相等
9．如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，与关于直线对称，连接，其中分别交于点，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，已知线段，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点，作直线交于点E，在直线上任取一点F，连接，．若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
二、填空题
13．如图，垂直平分线段于点，垂直平分线段于点．若，则 ．
14．如图，所示的美丽图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 个．
15．如图，在中，,点分别是边上的点，连结,将沿翻折得到，点的对称点恰好落在边上，若以点为顶点的三角形与相似，则的长为 ．
16．如图，与关于直线对称，，延长交于点F，当 时，．
17．如图，在△ABC中，已知点O是边AB、AC垂直平分线的交点，点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，若∠O+∠E＝180°，则∠A＝ 度．
三、解答题
18．如图，物流超市A，B在街道m和n之间，某物流公司计划修建一个物流中转站，要求中转站到物流超市A，B的距离相等，且到街道m和n的距离也相等，请在图中利用尺规作出中转站Q的具体位置．（不写作法，保留作图痕迹）
19．如图所示，村庄，分别在笔直公路的两侧．一辆汽车在公路上行驶，汽车在什么位置时到，两村庄的距离相等？请找出这个点，并说明理由．
20．项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明．
为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写．
【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球．
（1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球．
项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的．
如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的．
（2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．
（3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．
……
（4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示）
21．（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则___________；
（2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则___________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是___________；
（4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由．
22．如图，已知：，，点E在的延长线上．
(1)求证：垂直平分；
(2)求证：
23．已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，．
(1)连接，，若，求的周长；
(2)若，求证：平分，
24．如图，有一家四边形儿童活动训练中心，现要在训练中心内部修建一间训练座谈室O，使得座谈室O到边、边的距离相等，且座谈室O到点A的距离与座谈室O到点D的距离相等，请你找出座谈室O的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
《15.1图形的轴对称》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B D D A D B C
题号 11 12
答案 C B
1．A
【分析】当直线与线段有交点时，可得；当直线与线段没有交点时，作点O关于直线的对称点，可得的最小值为的长度，点在如图3中优弧上运动，求出的最大值即可得到t的最大值，进而得出答案．
【详解】解：设，则直线过定点B，
如图1，当直线与线段有交点时，
可得点P为交点时，取最小值，最小值t为的长，即；
如图2，当直线与线段没有交点时，
作点O关于直线的对称点，连接与直线交于点P，则此时的最小值为的长度，
如图3，以点B为圆心，的长为半径作，设直线与交于点C，
∵，
∴当直线与线段没有交点时，点在如图3中优弧上运动，
∴当点运动到点C的位置时，取最大值，最大值为的长度，
∵，，
∴，
∴的最大值为8，
∴当直线与线段没有交点时，t的最大值为8，
∴t的值不可能等于10，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，轴对称最短路径问题，圆的基本性质，勾股定理等知识，判断出点的运动轨迹，求出的最大值是解题的关键．
2．C
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称的定义．根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了轴对称图形的概念．
轴对称图形指的是一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，按概念判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D．
4．B
【分析】将一个图形沿着某条直线对折，如果直线两边的图形能够完全重叠，则这个图形就是轴对称图形；将某个图形围绕某一点旋转180°之后能够与原图形完全重合，则这个图形就是中心对称图形，由此判断即可．
【详解】第一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，不是轴对称图形，第四个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形的共2个．
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握二者的定义．
5．D
【分析】本题主要考查了逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
分别写出各个选项的条件和结论互换的说法，然后进行判断即可．
【详解】解：A、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，错误，故没有逆定理，不符合题意；
B、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是等角的补角，错误，故没有逆定理，不符合题意；
C、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，错误，故没有逆定理，不符合题意；
D、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，且是逆定理，符合题意，
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查了尺规作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【详解】解：图是作角平分线，对应Ⅳ
图2是过直线外一点作这条直线的垂线，对应Ⅰ，
图3是作线段的垂直平分线，对应Ⅱ，
图4是过直线上一点作这条直线的垂线，对应Ⅲ，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线，垂直平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等，根据三角形内角和定理求出，由作图痕迹可得垂直平分，平分，进而求出，，再利用三角形内角和定理求出，最后利用三角形外角的性质求出，利用对顶角相等即可得出结果．
【详解】解：如图，
∵在中，，，
∴，
由作图痕迹可得垂直平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了逆命题及命题真假的判断，熟练掌握写命题的逆命题，全等三角形、平行线、实数绝对值的相关性质和判定，是解题关键．
交换原命题的题设和结论部分得到四个命题的逆命题，然后根据平行线的判定、全等三角形的判定和绝对值的意义进行判定即可．
【详解】解：A、若两个实数相等，则它们的绝对值相等的逆命题为绝对值相等的两个实数相等，不成立；
B、全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形全等，不成立；
C、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立；
D、两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两直线平行，成立．
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．
【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，
∵平分，，，
∴，
∴，此时取最小值．
∵的面积为18，，
∴，
∴．
即的最小值为6，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：和关于直线对称，
，故①正确，
和关于直线对称，点与点是关于直线对称的对称点，
，故②正确；
和关于直线对称，
线段被直线垂直平分，
直线垂直平分，故③正确；
和关于直线对称，
线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误，
正确的有①②③，共3个
故选：C．
11．C
【分析】本题考查了线段的垂直平分线性质，解题关键是理解线段的垂直平分线性质．
直接利用线段的垂直平分线性质求解．
【详解】解：∵垂直平分线段，在直线上任取一点F，，
∴，
故选：C．
12．B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键．
先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得．
【详解】解：∵，且点为线段的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
13．6
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题关键是掌握垂直平分线的性质．利用垂直平分线的性质即可求得待求线段的长．
【详解】解：∵垂直平分线段于点，，
∴，
∵垂直平分线段于点，
∴，
故答案为：6．
14．3．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：（1），（3），（4）是轴对称图形，也是中心对称图形．
（2）是轴对称图形，不是中心对称图形．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了轴对称与中心对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
15．或2
【分析】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质及相似三角形知识是解题的关键．
根据折叠的性质得到，再由相似三角形的性质分两种情况讨论即可得到结论．
【详解】解：∵将沿翻折得到，
∴，
∵，
∴，
∵以点C、E、F为顶点的三角形与相似，
∴或，即或，
解得：或2，
故答案为：或2．
16．/36度
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．设，根据三角形的外角性质可得，再根据轴对称的性质可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：设，
则，
由轴对称的性质得：，，
若，
则在中，，
解得，
即当时，．
故答案为：．
17．36.
【分析】连接AO并延长，由垂直平分线和三角形外角的性质可得∠BOC=∠OBA+∠OCA+∠BAC=2∠BAC，由角平分线和三角形内角和定理可得∠BEC=90°+∠BAC，再根据已知条件∠O+∠E＝180°即可求解．
【详解】解：如图，连接OA并延长．
∵点O是AB，AC的垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠ABO，∠OAC=∠OCA，
∵∠BOC=∠ABO+∠OAB+∠OCA+∠OAC=2∠BAC，
∵点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，
∴∠E=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠BAC）
=90°+∠BAC，
∵∠BOC+∠E=180°，
∴2∠BAC+90°+∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°，
故答案为36．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．见解析
【分析】本题考查了尺规作角平分线，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握尺规作角平分线，尺规作线段的垂直平分线．
作的线段的垂直平分线，再作出街道m和n构成的角的平分线，与的线段的垂直平分线的交点Q即为所求．
【详解】解：如图所示，中转站Q即为所求．
19．位置见解析，理由见解析
【分析】结合题意，根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等的性质分析，即可得到答案．
【详解】如图，连接，作线段的垂直平分线，且交公路与点，点即为所求，
理由：∵点C是线段AB垂直平分线上的点，
∴CA=CB．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的知识；解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，从而完成求解．
20．
（1）3
（2）5
（3）7
（4）
【分析】本题考查了折射的提醒，在于观察生活以及对物体成像的理解，较为抽象，比较难懂，解题关键在于熟悉知识体系，
根据两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，然后分别解答即可.
【详解】解：（1）原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的．
故答案为：3.
（2）由题可知，当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为5．
故答案为：5.
（3）如图：可知当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为7．
故答案为：7.
（4）两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，故当“镜子门”张角的大小为（且能被360整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为．
故答案为：.
21．（1）；（2）220°；（3）；（4）
【分析】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，四边形内角和，直角三角形中两个锐角互余，熟练掌握相关知识为解题关键．
（1）利用了四边形内角和为和直角三角形的性质求解；
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；
（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解．
【详解】解：（1）四边形的内角和为，直角三角形中两个锐角和为
．
等于．
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）根据（1）和（2）的求解过程可知：
与的关系是：；
故答案为：；
（4）是由折叠得到的，
又，
．
22．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质．
（1）由线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题;
（2）由线段垂直平分线的性质定理推出，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，，
∴点A和D都在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分；
（2）证明：由（1）知垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴．
23．(1)15
(2)见解析
【分析】本题考查了轴对称的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
（1）先根据轴对称的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得；
（2）先根据轴对称的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证．
【详解】（1）解：如图，连接，
点与点关于对称，
．
同理：．
的周长；
（2）证明：，、为，的中点，
，，
．
又点与点关于对称，点与点关于对称，
，，
平分．
24．见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
作线段的垂直平分线，作平分，射线交直线F于点O，点O即为所求．
【详解】解：如图，点O即为所求．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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