资源简介

对比维度 2022年版义务教育数学课程标准（2025修订） 2011年版义务教育数学课程标准
内容要求 1．锐角三角函数 （1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（，，)，知道，，角的三角函数值． （2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角． （3）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题． 1．锐角三角函数 （1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（，，)，知道，，角的三角函数值． （2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角． （3）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题．
学业要求 1．锐角三角函数：知道直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，掌握其定义及在直角三角形中的表示方法；能根据锐角三角函数的定义进行简单的数值计算，会用计算器求锐角三角函数值；能用锐角三角函数解决简单的实际问题（如测量物体高度、距离，建筑工程中的坡度计算等），在解决问题过程中感悟数学与现实生活的联系，发展应用意识和运算能力． 探索并理解直角三角形的边角关系，掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，能运用锐角三角函数解决简单的实际问题.
教学目标 解锐角三角函数的概念，掌握其在直角三角形中的表示与计算；经历从实际情境中抽象出三角函数关系的过程，能用锐角三角函数解决实际问题，发展几何直观与应用意识，感悟数学与现实的联系. 无具体相关内容
纬度 具体表现
题型分布 选择题、填空题考查基础知识（锐角三角函数定义辨析、特殊角函数值计算等）；解答题侧重考查解直角三角形、实际应用等.
考查形式 1．基础题型：考查正弦、余弦、正切的定义、特殊角三角函数值记忆与计算． 2．解直角三角形题型：考查勾股定理与三角函数的综合运用． 3．实际应用题型：依托测高、坡度、方位角等生活场景，考查将实际问题转化为数学模型的能力． 4．综合创新题型：融合圆、四边形、相似三角形或二次函数等知识，结合动态情境设计问题．
核心素养考查 数学抽象、逻辑推理、数学运算、模型观念
考点一 锐角三角函数值
1．正弦、余弦、正切
名称 定义 符号语言 图示
正弦 在中，，的对边与斜边的比叫作的正弦，记作，即. 在中， ，
余弦 在中，，的邻边与斜边的比叫作的余弦，记作. 在中， ，
正切 在中，，的对边与邻边的比叫作的正切，记作. 在中， ，
2．锐角三角函数：的正弦、余弦、正切都是的锐角三角函数.
3．锐角三角函数之间的关系
（1）同一锐角的三角函数之间的关系：.
（2）互余两角的三角函数之间的关系：任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即或.
（3）任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数，即.
4．特殊锐角的三角函数值的计算
锐角三角函数的定义和直角三角形的有关性质，可得到角的三角函数值.列表如下：
1
5．角的三角函数值的记忆方法
（1）图形记忆法：如图所示，由三角函数的定义可得
角的三角函数值.
（2）特殊值记忆法：
①角的正弦值依次为；
②角的余弦值依次为；
③（为锐角）的值随角的增大而增大，角的正切值依次为
（3）口诀记忆法：1,2,3；3,2,1,；3,9,27；弦比2，切比3，分子根号别忘添.
考点二 解直角三角形及其应用
1．解直角三角形的概念
解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.
2．直角三角形中的边角关系
如图所示，在中，，所对的边分别为，那么除直角外的五个元素之间有如下关系.
（1）三边之间的关系：（勾股定理）.
（2）两锐角之间的关系：.
（3）边角之间的关系：
，
，
.
3．解直角三角形的基本类型及解法
图形 已知条件 解法
两边 两直角边 由，求
斜边、一直角边（如） 由，求
一边和一锐角 一直角边和一锐角 一锐角与邻边（如） ；
一锐角与对边（如） ；
一锐角与斜边（如） ；
4．利用解直角三角形解决实际问题
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据问题中的条件，选用合适的锐角三角函数解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案.
【重点】在实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式
图形 关系式 图形 关系式
锐角三角函数：
基础题为主，侧重定义辨析、特殊角函数值计算及简单边角关系应用；
在此基础上延伸，结合解直角三角形、实际应用及与圆、四边形、函数的综合题型，难度跨度大，侧重知识综合运用与模型构建．
1．[2025年江苏镇江中考真题]如图，小丽从点A出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了( )
A.米 B.米 C.米 D.米
2．[2025年广东深圳中考真题]如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为( )
A. B.3 C. D.
3．[2025年天津中考真题]的值等于( )
A.0 B.1 C. D.
4．[2025年云南中考真题]如图，在中，.若，，则( )
A. B. C. D.
5．[2025年江苏南通中考真题]在中，，，，则的长为( )
A.1 B.2 C. D.5
6．[2025年山东东营中考真题]如图为一节楼梯的示意图，，，米.现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要( )米.
A. B. C. D.
7．[2025年山东淄博中考真题]如图，在中，，D为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点E.若，，则的长是( ).
A.10 B.12 C.13 D.15
8．[2025年山东济南中考真题]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
9．[2025年四川自贡中考真题]如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点E，F在坐标轴上.若，，，则点G坐标为( )
A. B. C. D.
10．[2025年江苏连云港中考真题]如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为( )
A. B. C. D.
11．[2025年湖南长沙中考真题]如图，AB为的弦，于点C，连接OA，OB，若，，则OA的长为______.
12．[2025年上海中考真题]某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪(线段)的竖直高度2.7米，某人(线段)身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为______米.(备用数据：，，，精确到米)
13．[2025年广东广州中考真题]如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为____________.
14．[2025年江苏苏州中考真题]如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则______.(结果保留根号)
15．[2025年湖北武汉中考真题]某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的P处，测得A处的俯角为，B处的俯角为，则A，B之间的距离是______m.(取)
16．[2025年山东济南中考真题]计算：.
17．[2025年江苏宿迁中考真题]小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点A、B处，选取河对岸的一块石头C作为测量点(点A、B、C在同一水平面内)，小明同学在点A处测得为，小军同学在点B处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度.(参考数据：，，，)
18．[2025年四川甘孜州中考真题]为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动：
【制作仪器】
把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点.
【测量高度】
小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度.(参考数据：，，)
19．[2025年江苏徐州中考真题]下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头.某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙(如图)，记作.同学们测得，，.求的长度(精确到).
答案(参考数据：，，，，，)
20．[2025年湖北中考真题]如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为，A到地面的距离为18m，求乙楼的高.(参考数据：)
21．[2025年湖南长沙中考真题]如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知.
(1)求的度数；
(2)求景点C与景点D之间的距离.(结果保留根号)
22．[2025年山东威海中考真题]问题提出
已知，都是锐角，，，求的度数.
问题解决
(1)如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数.(点A，B，C，D都在格点上)
策略迁移
(2)已知，都是锐角，，，则___________°；
(3)已知，，都是锐角，，，，求的值.
(提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案)
参考答案
1．答案：D
解析：如图，由题意得：，，米，
∴，
∴米，
即她沿垂直方向升高了米，
故选：D.
2．答案：D
解析：∵长为10米，斜道长为30米，
∴根据题意得：，
故选：D.
3．答案：A
解析：
故选：A.
4．答案：D
解析：∵，，，
∴在中，，
故选：D.
5．答案：C
解析：在中，，，，
∴.
∴.
故选：C.
6．答案：B
解析：在中，，米，
∴(米)，
∴地毯的长度为米.
故选：B.
7．答案：B
解析：设中点圆心为O，半径为r，连接，
因为圆与相切于点E，所以，
则，即，
解得，，
又，
所以.
故选：B.
8．答案：C
解析：由网格可知：，，
，
∴，
∵，
∴
∴，
故选C.
9．答案：B
解析：过点A作轴，作交的延长线于点K，
则：，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，，
∵平移，
∴，，
∴，
∴将点A先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点E，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点G，
∴；
故选B.
10．答案：A
解析：∵，，
∴，，
设，则：，
∵平分，，
∴点D到，的距离相等均为的长，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
故选A.
11．答案：6
解析：∵，，
∴，
∴是等边三角形；
∴；
∵，
∴，
故答案为：6.
12．答案：
解析：过点C作于点E，则：米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴米；
故答案为：.
13．答案：
解析：∵，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
过点B，作，交于点Q，
∵AD平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点B到的距离为；
故答案为：10.
14．答案：
解析：如图，连接，交于点D，
由题意得：，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
故答案为：.
15．答案：
解析：过点P作于点E，
由题意得，，，，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：.
16．答案：
解析：原式
.
17．答案：此河流的宽度为米
解析：过点C作于点D，
设，则由题意得，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，，
∴，
解得：，
∴(米)，
答：此河流的宽度为米.
18．答案：树的高度为16.5米
解析：由题意得，，，，
在中，，
∴，
∴
答：树的高度为16.5米.
19．答案：的长度约为
解析：如图，过A作于D，则，
设，而，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴的长度约为.
20．答案：乙楼的高为
解析：如图，
由题意得，四边形为矩形，，，，
∴，，，
∵在中，，
∴，
∴，
答：乙楼的高为.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)如图，由题意可得，，，，.
，.
.
(2)，
.
由(1)得.
.
又，
.
在中，，，
，
.
.
，，
.
.
∴景点C与景点D之间的距离为.
22．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)如图1中，连接，
，，
，
∴是等腰直角三角形，
，，
；
(2)如图2中，连接，
由题意，，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
故答案为：；
(3)如图2中，
由题意知，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
.

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