资源简介

对比维度 2022年版义务教育数学课程标准（2025修订） 2011年版义务教育数学课程标准
内容要求 1．图形的相似 （1）了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割． （2）通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比． （3）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． （4）了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．了解相似三角形判定定理的证明． （5）了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方． （6）了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小． （7）会利用图形的相似解决一些简单的实际问题． 1．图形的相似 （1）了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割． （2）通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比． （3）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． （4）了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．了解相似三角形判定定理的证明． （5）了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方． （6）了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小． （7）会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．
学业要求 1．图形的相似：了解图形相似的意义，掌握相似多边形的对应角相等、对应边成比例的性质，会判断简单的相似三角形；理解相似三角形的判定定理和性质，能运用相似三角形解决简单的实际问题，在解决问题过程中感悟数学与现实生活的联系，发展几何直观、逻辑推理能力和应用意识． 了解图形相似的意义，会判断简单的相似三角形；探索并掌握相似三角形的性质与判定，能运用相似三角形解决简单的实际问题．
教学目标 引导学生理解图形相似的概念，探索相似三角形的性质与判定，经历几何命题发现和证明的过程，提升抽象能力与推理能力，发展几何直观和模型观念，会用相似知识解决实际问题，感悟数学表达的准确性和严谨性. 无具体相关内容
纬度 具体表现
题型分布 选择题、填空题考查相似图形概念、相似三角形判定与性质等基础知识；解答题侧重结合图形性质、辅助线构造，考查相似三角形的综合应用．
考查形式 1．基础题型：集中考查“图形的相似”的基础知识，侧重定义本质理解． 2．相似三角形题型：选择题、填空题直接考查相似三角形性质；解答题需添加辅助线构造相似三角形，解决线段计算、比例证明等问题． 3．位似图形题型：考查位似中心、位似比及平面直角坐标系中位似变换的坐标求解． 4．综合创新题型：跨模块融合圆、函数等知识，或结合实际场景构建模型．
核心素养考查 几何直观、空间观念、逻辑推理、模型观念
考点一 平行线分线段成比例定理
1．线段的比
在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫作这两条线段的比.
2．四条线段成比例
对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段成比例.
3．比例的相关性质
（1）基本性质：若，则.
（2）合比性质：若，则.
（3）分比性质：若，则.
（4）等比性质：若，则.
4．黄金分割线
在线段上，点把线段分成两条线段和（），如果，那么称线段被点黄金分割，点叫作线段的黄金分割点，与的比叫作黄金比，黄金比为，线段有两个黄金分割点和.
5．平行线分线段成比例的基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
几何语言：如图，直线，直线被直线，，所截，那么
，可简记为：.
6．平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形中的结论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
几何语言：如图，，或或.
考点二 三角形相似的判定与性质
1．相似图形
相似图形：我们把形状相同的图形叫作相似图形.
2．相似多边形
相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.
相似比：相似多边形对应边的比叫作相似比.
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
3．相似三角形的判定
（1）利用平行线判定两个三角形相似的定理
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
几何语言：如图所示，，.
（2）利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理
定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
几何语言：如图所示，在和中，,且，.
（3）应用三边判定两个三角形相似的定理
定理：三边成比例的两个三角形相似.
几何语言：如图所示，在和中，，.
（4）利用两角判定两个三角形相似的定理
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
几何语言：如图所示，在和中，,.
（5）直角三角形相似的判定方法
①一个锐角相等的两个直角三角形相似；
②两组直角边成比例的两个直角三角形相似；
③斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
考点三 相似三角形的性质
1.相似三角形的性质
根据三角形相似的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2.相似三角形对应线段的性质
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.即相似三角形对应线段的比等于相似比.
已知，且相似比为，由相似三角形的判定定理和相似三角形的定义可以证明对应线段的比等于相似比，具体如下表：
图形 推理 结论
相似比 相似比为
对应高的比 由两角分别相等的两个三角形相似，得， 再由相似三角形的定义，得 对应高的比等于相似比
对应中线的比 由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，得， 再由相似三角形的定义，得 对应中线的比等于相似比
对应角平分线的比 由两角分别相等的两个三角形相似，得， 再由相似三角形的定义，得 对应角平分线的比等于相似比
3.相似三角形周长的比：等于相似比.
4.相似三角形面积的比：等于相似比的平方.
5.应用
几何图形的证明与计算 常见的类型是证明线段的数量关系，求线段的长度及图形的面积等.
解决实际问题 常见类项是计算物体的高度和河的宽度等，基本思想是建立相似三角形模型
考点四 位似
定义 两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），像这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心.
性质 （1）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于相似比； （2）位似图形对应点的连线或延长线相交于一点； （3）位似图形对应边平行（或在同一条直线上）； （4）位似图形对应角相等； （5）在平面直角坐标系中，如果原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标比等于.
作图步骤 确定位似中心；确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；描出新图形
基本图形
图形的相似：
考查覆盖基础概念、相似三角形判定与性质及位似图形，题型集中在选择、填空和解答题．
在此基础上延伸，结合辅助线构造、跨模块知识融合及实际场景，侧重几何直观、逻辑推理与模型观念的培养．
1．[2025年黑龙江绥化中考真题]两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是( )
A.14cm B.18cm C.30cm D.34cm
2．[2025年黑龙江哈尔滨中考真题]如图，，若，，则( )
A. B. C. D.
3．[2025年河北中考真题]“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片(如图).回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为( )
A. B. C. D.
4．[2025年内蒙古中考真题]如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点O为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点A的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
5．[2025年河南中考真题]如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为( )
A. B.1 C. D.
6．[2025年浙江中考真题]如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，.若的长为3，则的长为( )
A. B.4 C. D.5
7．[2025年河北中考真题]如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是( )
A. B. C. D.
8．[2025年四川宜宾中考真题]如图，一张锐角三角形纸片，点D、E分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9．[2025年吉林长春中考真题]将直角三角形纸片()按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
10．[2025年青海西宁中考真题]如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P.若，则的值是( )
A. B. C. D.
11．[2025年黑龙江绥化中考真题]在平面直角坐标系中，把以原点O为位似中心放大，得到.若点A和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________.
12．[2025年山东东营中考真题]如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为________________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似.
13．[2025年四川甘孜州中考真题]一块三角形材料的形状如图所示，，.用这块材料剪出一个矩形，其中点D，E，F分别在，，上.则可剪出矩形的最大面积为______.
14．[2025年内蒙古中考真题]如图，在菱形中，，对角线的长为，E是的中点，F是上一点，连接.若，则的长为______.
15．[2025年山东烟台中考真题]如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，的顶点A的坐标为.以点P为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点P同侧；以点P为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点P同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______.
16．[2025年安徽中考真题]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，的顶点和均为格点(网格线的交点).已知点A和的坐标分别为和.
(1)在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；
(2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出.
17．[2025年山东潍坊中考真题]如图，在中，点D、E、G分别是边、、的中点，与相交于点F，连接，.证明：
(1)；
(2).
18．[2025年山东东营中考真题]如图，AB是的直径，点C是上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且，点E在DC的延长线上，且.
(1)求证：DC是的切线；
(2)若，，求DA的长.
19．[2025年江苏连云港中考真题]如图，港口B位于岛A的北偏西方向，灯塔C在岛A的正东方向，，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，.
(1)求岛A与港口B之间的距离；
(2)求.
(参考数据：，，)
20．[2025年江苏扬州中考真题]如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点E，F.
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，平分，求的长.
21．[2025年江苏连云港中考真题]一块直角三角形木板，它的一条直角边长，面积为.
(1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
(2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面.请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值.
22．[2025年黑龙江哈尔滨中考真题]如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图.
(1)在方格纸中，画出(点D在格点上)，满足，且的面积是5；
(2)在的边上画出点E，使线段的长是3个单位长度(保留作图痕迹，体现作图过程)，连接，并直接写出的值.
参考答案
1．答案：B
解析：两个相似三角形的最长边分别为和，
相似比为，
较大三角形与较小三角形的周长比为：，
它们的周长之和为，
较小三角形的周长为：，
故选：B.
2．答案：D
解析：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
故选：D.
3．答案：C
解析：设该化石的实际长度为，依题意，
，
解得：
故选：C.
4．答案：B
解析：∵与位似，相似比为，
∴，
∵，位似中心为原点O，
∴，
故选：B.
5．答案：B
解析：如图，取格点G、H，
由网格的性质可知，，
，，
、E分别是、的中点，
是的中位线，
，
故选：B.
6．答案：C
解析：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A，的坐标分别为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C.
7．答案：D
解析：A、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C不符合题意；
D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意；
故选：D.
8．答案：C
解析：如图所示，过点D作交于点F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴设，，
∵沿将剪成面积相等的两部分，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选：C.
9．答案：D
解析：由折叠可得：，，，，
∴，故A正确，不符合题意；
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，，，
∴，，
∴，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，，，
∴，故D错误，符合题意，
故选：D.
10．答案：A
解析：由题意，得：，，，，
∴设，，则：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得或(不合题意，舍去)；
在中，；
故选A.
11．答案：
解析：把以原点为位似中心缩小得到，点A和它的对应点的坐标分别为，，
则与的相似比为，
故答案为：.
12．答案：3或
解析：当时，
∵，
∴，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
综上，或，
故答案为：3或.
13．答案：16
解析：设矩形中，().
∵，，
∴是等腰直角三角形.
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，又是等腰直角三角形，
∴为等腰直角三角形，
∴.
则.
矩形面积，
∵二次函数中，，图象开口向下，
当时，S取最大值.
最大值.
故答案为：.
14．答案：
解析：连接，交于点O，过点E作于点G，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：.
15．答案：/
解析：依题意，，
∴，，
设直线的解析式为，代入，，
∴
解得：
∴
设
∴
解得：，(舍去)
∴
故答案为：.
16．答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)如图所示，点D即为边AB的中点，
点D的坐标为.
(2)如图所示，即为所求作的三角形.
17．答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)证明：∵点D、E分别是边、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
(2)证明：连接，，
∵点D、E、G分别是边、、的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，E为中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴.
18．答案：(1)见解析
(2)3
解析：(1)证明：如图，连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，即，
，
又是的半径，
是的切线.
(2)∵，
设，则，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)如图，过点B作，垂足为M，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
得：，
在中，由，
得.
答：岛A与港口B之间的距离为；
(2)在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，.
20．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵对角线的垂直平分线是，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
(2)如图，
∵平分，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
21．答案：(1)图1的正方形面积较大
(2)在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为
解析：(1)∵，面积为，
∴，
∴.
设正方形的边长为，
∵四边形是正方形
∴，，
∵
∴
得，
即，
解得.
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
得，
即，
∴.
，
∵，，
∴，
得，
即，
解得.
∵，
∴图1的正方形面积较大.
(2)∵四边形是长方形
∴，，
∵
∴；
得，
则，，
∴长方形的面积，
∵，
∴开口向下，
当时，长方形的面积有最大值为.
在图4中，同理得，
得，
∴，，
同理得，
得，
则，
∴长方形的面积，
∵，
∴开口向下，
∴当时，长方形的面积有最大值为.
22．答案：(1)见解析
(2)见解析，
解析：(1)如图所示：
(2)点E如图所示：
作，则，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∴.

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