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第四章
指数函数与对数函数
4.2.1 指数函数的概念
指数爆炸
印度，国王痴迷新奇游戏。智者发明国际象棋，国王欲赏。智者求在棋盘 64 格依次放麦粒，从 1 粒起，后一格是前一格 2 倍。国王觉易，命仆人放置。起初顺利，然格子增加，麦粒数剧增。第 10 格需 512 粒，20 格超 50 万粒，30 格超 5 亿粒，40 格达 5000 多亿粒。王国粮仓渐紧，国王仍硬着头皮继续。临近 64 格，麦粒数庞大难算，约 18446744073709551615 粒，远超王国及当时全世界麦粒总量。国王终晓鲁莽，折服于智者智慧。此传说流传，彰显指数增长威力，令后人对棋盘 64 格敬畏。
你明白其中的道理吗？
导入新知
对折次数
第1次
第2次
第3次
第x次
情景一：对折次数为x，层数为y
......
2层
4层
21
22
8层
23
情景导入
折纸活动
折纸次数
1次
2次
3次
4次
x次
纸张
初始面积
为1
......
情景二：纸张初始面积为1，设对折次数为x，对折后的面积为y
情景导入
折纸活动
两个函数解析式的共同特点有哪些？
（1）均是幂的形式
（2）底数是一个正常数
（3）指数位置是自变量
新知探究
知识点一　指数函数
新知探究
常数（大于0且不等于1）
自变量
系数为1
y＝1 · ax
形如y=k·ax(k∈R且k≠1,a>0且a≠1)的函数属于指数型函数.
如：y=－4x，y=3x+2=9·3x，
相同点：都是幂的形式；
不同点：指数函数是底数a是常数，指数x是自变量，
幂函数是指数是a是常数，底数x是自变量。
①若a =0，则当x> 0时，
新知探究
例1. (1)(2025·广东广州高一上期中)下列是指数函数的是(　　)
A．y＝－3x　　　　　　 B．y＝2x2－1
C．y＝ax+1 D．y＝πx
解析：D　根据指数函数的特征：系数为1，底数满足a>0且a≠1，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D.
新知应用
例1.(2)(2025·吉林长春高一上期中)函数y＝(a2－5a＋7)ax＋6－2a是指数函数，则有(　　)
A．a＝2或a＝3 B．a＝3
C．a＝2 D．a>2，且a≠3
解析：B　由指数函数的概念，得a2－5a＋7＝1且6－2a＝0，解得a＝3.
新知应用
判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求．
(2)ax前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求．
巩固练习
巩固练习
例2 (1)(链接教材P114例1)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(x)＝________________________．
答案：3x
解析：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)
∴a2＝9，a＝3.∴f(x)＝3x.
知识点二　求指数函数的解析式或函数值
新知应用
新知应用
巩固练习
【感悟提升】判断指数函数的关键：
(1)指数函数的定义域是实数集R；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上，且指数位置只能有x这一项；
(3)底数a只能有一项，且其系数必须为1；
(4)底数是大于0且不等于1的常数，底数.a的范围是a>0且a≠1
能力提升
能力提升
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