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7.1为什么要证明
一．选择题（共5小题）
1．下列说法中正确的是（　　）
A．相等的两个角是对顶角
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．直线外一点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离
2．如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝57°，则∠4＝57°，下面是A，B，C，D四个同学的推理过程，你认为推理正确的是（　　）
A．因为∠1＝60°＝∠2，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57°
B．因为∠4＝57°＝∠3，所以a∥b，故∠1＝∠2＝60°
C．因为∠2＝∠5，又∠1＝60°，∠2＝60°，故∠1＝∠5＝60°，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57°
D．因为∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝57°，所以∠1＝∠3＝∠2﹣∠4＝60°﹣57°＝3°，故∠4＝57°
3．下列说法中正确的是（　　）
A．实验、观察或归纳完全可以判断一个数学结论正确与否
B．证明是科学家的事，与我们没有多大的关系
C．对于自然数n，n2+n+37一定是质数
D．有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
4．若通过举例说明“如果a+b＞0，那么ab＞0”是错误的，则下面可以作为例子的是（　　）
A．a＝1，b＝3 B．a＝3，b＝﹣1 C．a＝﹣3，b＝﹣2 D．a＝﹣3，b＝﹣1
5．下列推理正确的是（　　）
A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为弟弟的明年比今年长大了1岁
B．如果a＞b，b＞c，则a＞c
C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小也差不多
D．因为对顶角必然相等，所以相等角也必是对顶角．
6．骑自行车的速度是每小时15千米，骑摩托车的速度每小时40千米，则下列结论中你能肯定的是（　　）
A．从A地到B地，骑摩托车的人比骑自行车的人一定先到达
B．从A地到B地，骑自行车的人比骑摩托车的人后到达
C．从A地到B地，骑自行车和骑摩托车的不可能同时到达
D．从A地到B地，骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达
二．填空题（共3小题）
7．甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的”； 乙说：“不是我打破的”； 丙说：“甲说谎”．三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是　 　 打破的．
8．老师在黑板上写了三个算式；52﹣32＝8×2，92﹣72＝8×4，152﹣132＝8×7．请你写两个具有相同规律的等式 　 　 、　 　 ．
9．此次数学考试八（1）班全班45名学生没有不及格的．黄天是八（1）班的一名学生，由此推断黄天考试及格了．这个判断是 　 　 （填“正确”或“不正确”）的．
三．解答题（共2小题）
10．问题：你能很快算出19952吗？
为了解决这个问题，我们观察个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数都可写成10n+5，即求（10n+5）2的值（n为自然数）．分别令n＝1，n＝2，n＝3，…，从中探索其规律并归纳，猜想得出结论． （1）通过计算，探索规律：
152＝225，可写成100×1×（1+1）+25；
252＝625，可写成100×2×（2+1）+25；
352＝1225，可写成100×3×（3+1）+25；
452＝2025，可写成100×4×（4+1）+25；
752＝5625，可写成 　 　 ；
852＝7225，可写成 　 　 ．
（2）从第（1）题结果归纳，猜想得：
（10n+5）2＝　 　 ．
（3）根据上面的归纳、猜想，请计算19952＝　 　 ．
11．在学习中，小朋发现：当n＝1，2，3时，n2﹣6n的值都是负数．于是小朋猜想：当n为任意正整数时，n2﹣6n的值都是负数．小朋的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
7.1为什么要证明
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．下列说法中正确的是（　　）
A．相等的两个角是对顶角
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．直线外一点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离
【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】A；根据对顶角的概念即可判定；
B：根据平行公理，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行即可判定；
C：根据两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等即可判定；
D：根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离即可判定．
【解答】解：A：因为，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，所以A选项错误；
B：因为，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以B选项错误；
C：因为，两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，所以C选项错误；
D：因为，点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，对顶角，点到直线的距离及平行公理的概念，合理应用相关概念进行判断是解决本题的关键．
2．（2017秋 凤翔县期末）如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝57°，则∠4＝57°，下面是A，B，C，D四个同学的推理过程，你认为推理正确的是（　　）
A．因为∠1＝60°＝∠2，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57°
B．因为∠4＝57°＝∠3，所以a∥b，故∠1＝∠2＝60°
C．因为∠2＝∠5，又∠1＝60°，∠2＝60°，故∠1＝∠5＝60°，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57°
D．因为∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝57°，所以∠1＝∠3＝∠2﹣∠4＝60°﹣57°＝3°，故∠4＝57°
【考点】命题与定理．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定和性质即可作出判断．
【解答】解：A、因为∠1＝60°＝∠2，不能判定a∥b，错误；
B、因为∠4＝57°＝∠3，不能判定a∥b，错误；
C正确；
D、因为不能判定a∥b，所以不能计算出∠4＝57°，错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的判定及性质定理，比较简单．
3．下列说法中正确的是（　　）
A．实验、观察或归纳完全可以判断一个数学结论正确与否
B．证明是科学家的事，与我们没有多大的关系
C．对于自然数n，n2+n+37一定是质数
D．有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
【考点】推理与论证．
【专题】证明题；推理能力．
【答案】D
【分析】选项A中，判断一种数学结论的正确与否，需进行推理论证，故A说法不正确；选项B中，推理对于每个人来说都很重要，故B说法不正确；选项C中，当n＝1时，n2+n+37＝39，39不是质数，故C说法不正确；选项D中，有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个，故D说法正确．
【解答】解：选项A中，判断一种数学结论的正确与否，需进行推理论证，故A说法不正确；
选项B中，推理对于每个人来说都很重要，故B说法不正确；
选项C中，当n＝1时，n2+n+37＝39，39不是质数，故C说法不正确；
选项D中，有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个，故D说法正确；
故选：D．
【点评】本题考查了推理与论证，利用排除法是解题的关键．
4．若通过举例说明“如果a+b＞0，那么ab＞0”是错误的，则下面可以作为例子的是（　　）
A．a＝1，b＝3 B．a＝3，b＝﹣1 C．a＝﹣3，b＝﹣2 D．a＝﹣3，b＝﹣1
【考点】有理数的乘法；有理数的加法．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】B
【分析】利用有理数的乘法法则和有理数的加法法则解答．
【解答】解：两数相加大于0，两数相乘有可能小于0，所以有可能一正一负，但正数绝对值大，B．符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘法、加法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则和有理数的加法法则．
5．下列推理正确的是（　　）
A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为弟弟的明年比今年长大了1岁
B．如果a＞b，b＞c，则a＞c
C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小也差不多
D．因为对顶角必然相等，所以相等角也必是对顶角．
【考点】命题与定理．
【答案】B
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、错误，因为哥哥和弟弟的年龄同时增长；
B、正确，如果a＞b，b＞c，则a＞c，正确；
C、错误，两角相等它们看起来应一样大；
D、错误，不符合对顶角的定义．
故选：B．
【点评】要注意对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．
6．骑自行车的速度是每小时15千米，骑摩托车的速度每小时40千米，则下列结论中你能肯定的是（　　）
A．从A地到B地，骑摩托车的人比骑自行车的人一定先到达
B．从A地到B地，骑自行车的人比骑摩托车的人后到达
C．从A地到B地，骑自行车和骑摩托车的不可能同时到达
D．从A地到B地，骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达
【考点】命题与定理．
【答案】D
【分析】此题需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：因为此题的路程没有确定，所以无法只根据速度来确定时间．
A、B、C因为出发时间没有确定，不是同时同地出发没有可比性，故错误；
D、说的只是有可能，故正确．
故选：D．
【点评】此题要特别注意时间和路程、速度两个量有关系．
二．填空题（共3小题）
7．甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的”； 乙说：“不是我打破的”； 丙说：“甲说谎”．三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是　乙　 打破的．
【考点】推理与论证．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题须分别分析甲、乙、丙三人说的话，再根据三人中只有一人说的是真话，进行推理即可得出结论．
【解答】解：根据题意可得：玻璃是乙打破的
∵此时乙说：“不是我打破的”则乙说的是假话
甲说：“是丙打破的”也是假话，
则丙说：“甲说谎”是真话，
∴玻璃是乙打破的符合题意
故答案为：乙
【点评】本题主要考查了推理与论证，在解题时要能根据题意进行推理与论证得出正确答案是本题的关键．
8．老师在黑板上写了三个算式；52﹣32＝8×2，92﹣72＝8×4，152﹣132＝8×7．请你写两个具有相同规律的等式 　172﹣152＝8×8　 、　72﹣52＝8×3　 ．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】172﹣152＝8×8，72﹣52＝8×3．
【分析】根据题意，等式左边为连个连续奇数平方的差，右边为8的倍数．
【解答】解：根据题意，得出：172﹣152＝8×8，72﹣52＝8×3，
故答案为：172﹣152＝8×8，72﹣52＝8×3．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，找到题目中的规律是解题的关键．
9．此次数学考试八（1）班全班45名学生没有不及格的．黄天是八（1）班的一名学生，由此推断黄天考试及格了．这个判断是 　正确　 （填“正确”或“不正确”）的．
【考点】推理与论证．
【专题】证明题；推理能力．
【答案】正确．
【分析】根据此次数学考试八（1）班全班45名学生没有不及格的，得出此次数学考试八（1）班全班45名学生全部及格，再根据黄天是八（1）班的一名学生，由此推断黄天考试及格了．
【解答】解：∵此次数学考试八（1）班全班45名学生没有不及格的，
∴此次数学考试八（1）班全班45名学生全部及格，
∵黄天是八（1）班的一名学生，
∴黄天考试及格了，
故答案为：正确．
【点评】本题考查了推理与论证，根据题意推理是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
10．问题：你能很快算出19952吗？
为了解决这个问题，我们观察个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数都可写成10n+5，即求（10n+5）2的值（n为自然数）．分别令n＝1，n＝2，n＝3，…，从中探索其规律并归纳，猜想得出结论． （1）通过计算，探索规律：
152＝225，可写成100×1×（1+1）+25；
252＝625，可写成100×2×（2+1）+25；
352＝1225，可写成100×3×（3+1）+25；
452＝2025，可写成100×4×（4+1）+25；
752＝5625，可写成 　100×7×（7+1）+25　 ；
852＝7225，可写成 　100×8×（8+1）+25　 ．
（2）从第（1）题结果归纳，猜想得：
（10n+5）2＝　100×n×（n+1）+25　 ．
（3）根据上面的归纳、猜想，请计算19952＝　3980025　 ．
【考点】规律型：数字的变化类；尾数特征．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】（1）100×7×（7+1）+25，100×8×（8+1）+25．（2）100×n×（n+1）+25．（3）3980025．
【分析】（1）根据题意得出即可．
（2）根据题意得出（10n+5）2＝100×n×（n+1）+25即可．
（3）求出n，代入规律求出即可．
【解答】解：（1）752＝5625＝100×7×（7+1）+25，852＝7225＝100×8×（8+1）+25，
故答案为：100×7×（7+1）+25，100×8×（8+1）+25．
（2）（10n+5）2＝100×n×（n+1）+25，
故答案为：100×n×（n+1）+25．
（3）19952＝（10×199+5）2＝100×199×（199+1）+25＝3980025，
故答案为：3980025．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，关键是能根据题意得出规律．
11．在学习中，小朋发现：当n＝1，2，3时，n2﹣6n的值都是负数．于是小朋猜想：当n为任意正整数时，n2﹣6n的值都是负数．小朋的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
【考点】因式分解﹣运用公式法；非负数的性质：偶次方．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据因式分解，可得n（n﹣6），再分类讨论，可得答案．
【解答】解：小明的猜想不对．
∵n2﹣6n＝n（n﹣6），
当n≤0，或n≥6时，n2﹣6n≥0，
∴小明的说法不对．
【点评】本题考查了因式分解，由因式分解，可得出代数式的值是非负数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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