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图形的初步知识 单元强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知AD平分∠BAE，若∠BAD=62°，则∠CAE的度数是（　　）
A．55° B．56° C．58° D．62°
2．若∠1=40.4°，∠2=40°4'，则∠1与∠2 的大小关系是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．以上都不对
3．如图， ，射线OM、ON分别平分 与 ， 是直角，则 的度数为（　　）
A．70° B．62° C．60° D．58°
4．如图，点C，D在线段上，若，则（　　）
A． B． C． D．
5．下列条件能说明OC是∠AOB平分线的是（　　）.
A．∠AOC＝ ∠AOB B．∠BOC＝ ∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC
6．如图，下列条件不能说明 平分 的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.根据图中三种状态所显示的数字，正方体的正面“？”表示的数字是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
8．用正方形纸片剪出一副七巧板，并将其拼成如图的“小天鹅”，设小天鹅的水平宽度为l（左右最大距离），铅垂高度为h（上下最大距离），则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON=90°．若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
10．如图，点为线段外一点，，，，为上顺次排列的四点，连接，，，，在下列结论中：
①以为顶点的角有15个；
②若平分，平分，，则
③若为的中点，为的中点，则；
④若，，则．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要　 　枚钉子．
12．如图，在同一平面内，∠AOB=90°，∠AOC=25°，∠COD=50°，∠BOD>15°，则∠BOD的度数为　 　
13．如图，将下列等式补充完整：
（1）∠AOC=∠AOB+　 　=∠AOD-　 　.
（2）∠BOC=　 　-∠COD=　 　-∠AOB.
14．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A，B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中 蕴含的数学道理是　 　．
15．如图所示，在直线l上顺次取A，B，C三点，使得，如果点O是线段的中点，那么线段的长是 　 　．
16．已知线段 AB=8cm ，在直线 AB 上有一点C，若 BC=6cm ，则线段 AC 　 　cm .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知线段AB和CD的公共部分BD= AB= CD，线段AB、CD的中点E，F之间距离是10cm，求AB，CD的长．
18．一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块.
（1）求每个小正方体木块的棱长；
（2）求这个大长方体木块的表面积.
19．如图，直线 AB，CD 相交于点O，OM⊥AB.
（1）若∠1=∠2，证明：ON⊥CD.
（2）若 求∠BOD 的度数.
20．我们知道，若有理数、表示在数轴上得到点、，且，则点点与点之间的距离为，现已知数轴上三点A、B、C，其中A表示的数为，B表示的数为3，C与A的距离等于m，C与B的距离等于n，请解答下列问题：
（1）若点C在数轴上表示的数为，求=　 　.
（2）若，请你直接写出点C表示的数为　 　.
21．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大 ，求这个角的度数.
22．如图，已知点M是线段AB的中点，点E将AB分成 的两段，若 ，求线段AB的长度．
23．乐乐从一副七巧板（如图1）中取出了其中的六块，拼成了一个（如图2），已知原来七巧板拼成正方形的边长为4；
（1）图2中小正方形②的边长=　 　：线段　 　；
（2）求对角线AC的长.
24．“少年中国说”团体操展示出整体之美，如图1，小深想从数学角度分析动作的美观性．为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，A、B、C、D在同一平面内，点O为此平面内的定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．
（1）如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，求的度数；
（2）如图3，踢腿运动时，小深发现手臂伸直使得A、O、B三点共线，，且射线平分时，动作最优美，求的度数；
（3）如图4，彩旗挥舞这一节中，小深发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且．开始运动前A、O、B三点在同一水平线上（即），射线绕点O逆时针旋转速度为每秒，同时射线绕点O顺时针旋转速度为每秒．当射线旋转到与射线第一次重合时，两条射线均停止运动．当脚跟C或D的位置在的角平分线上时，请直接写出射线的运动时间．
25．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．
情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．
情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：
你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？
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图形的初步知识 单元强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知AD平分∠BAE，若∠BAD=62°，则∠CAE的度数是（　　）
A．55° B．56° C．58° D．62°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAE，
∴∠BAE=2∠BAD=2×62°=124°，
∴∠CAE=180°﹣124°=56°．
故答案为：B
【分析】根据角平分线的定义得出∠BAE=2∠BAD=2×62°=124°，然后根据平角的定义即可算出∠CAE的度数。
2．若∠1=40.4°，∠2=40°4'，则∠1与∠2 的大小关系是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．以上都不对
【答案】B
【解析】【解答】解：∠1=40.4°=40°24'，∠2=40°4'，
∠1>∠2；
故选：B．
【分析】本题考查角度分秒的换算，角的大小比较．根据度分秒之间的换算可将 ∠1=40.4° 转化为：∠1=40.4°=40°24'，进而可比较出 ∠1与∠2的大小.
3．如图， ，射线OM、ON分别平分 与 ， 是直角，则 的度数为（　　）
A．70° B．62° C．60° D．58°
【答案】C
【解析】【解答】解：设∠AOB＝2x°，则∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，
∵射线OM、ON分别平分∠AOB与∠COD
∴∠BOM＝ ∠AOB＝x°
∠CON＝ ∠COD＝2x°
∵∠MON＝90°
∴∠CON＋∠BOC＋∠BOM＝90°
∴2x＋3x＋x＝90
解得：x＝15
∴∠COD=4x =15°×4＝60°.
故答案为：C.
【分析】设∠AOB＝2x°，则∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，根据角平分线的概念可得∠BOM=x°，∠CON＝2x°，然后根据∠MON＝90°可得x，进而求出∠COD的度数.
4．如图，点C，D在线段上，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵，
∴，
即．
故答案为：B．
【分析】利用线段的和差求出即可。
5．下列条件能说明OC是∠AOB平分线的是（　　）.
A．∠AOC＝ ∠AOB B．∠BOC＝ ∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC
【答案】D
【解析】【解答】∵OC是∠AOB平分线得∠AOC＝∠BOC=∠AOB，
∴A.∠AOC＝ ∠AOB、B.∠BOC＝ ∠AOB、C.∠AOB＝2∠BOC不足以说明OC是∠AOB平分线，
故答案为：D.
【分析】由OC是∠AOB平分线得∠AOC＝∠BOC=∠AOB即可判断.
6．如图，下列条件不能说明 平分 的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A．∵∠AOB=2∠BOC，
∴OC平分∠AOB，
∴A不符合题意；
B．∵∠AOC=∠BOC，
∴OC平分∠AOB，
∴B不符合题意；
C．∵∠AOC= ∠AOB，
∴OC平分∠AOB；
∴C不符合题意；
D．∵∠AOC+∠COB=∠AOB，
∴OC不一定平分∠AOB，
∴D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的定义即可判断．
7．如图，一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.根据图中三种状态所显示的数字，正方体的正面“？”表示的数字是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：∵与5相邻的数是1、4、3，而与3相邻的数有1、2、5，
∴1、3、5是相邻的数，故“？”表示的数是1.
故答案为：A.
【分析】观察图形发现，与5相邻的数是1、4、3，而与3相邻的数有1、2、5，所以1、3、5、是相邻的数，进行解答.
8．用正方形纸片剪出一副七巧板，并将其拼成如图的“小天鹅”，设小天鹅的水平宽度为l（左右最大距离），铅垂高度为h（上下最大距离），则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，设正方形的边长为4a，
则⑤的对角线长为2a，④的最长边为2a，⑥的斜边的一半为a，
∴，
由③的斜边为2a，④的高为a，②的斜边为4a，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】设正方形的边长为4a，根据七巧板的特点依次得到各块的边长，从而即可表示出h、l的长，进而再求比值即可.
9．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON=90°．若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°．
故答案为：C．
【分析】先求出∠MOC=35°，再求出∠MON=90°，最后计算求解即可。
10．如图，点为线段外一点，，，，为上顺次排列的四点，连接，，，，在下列结论中：
①以为顶点的角有15个；
②若平分，平分，，则
③若为的中点，为的中点，则；
④若，，则．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：以O为顶点的角有个，故①正确；
由角平分线的定义可得：，，
∵，
∴
∴，
∴，
，
故②错误；
由中点定义可得：，，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，即，故④错误.
故选：B.
【分析】本题考查了角平分线概念，以及线段中点的相关计算，根据角的概念，求得以O为顶点的角的个数，可判断①；由角平分线的定义及角之间的和差关系，求得，可判断②；根据线段的中点，结合，求得， 可得判断③；根据，且，得到，可得判断④．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要　 　枚钉子．
【答案】2
【解析】【解答】解：至少需要2根钉子，
故答案为：2．
【分析】根据直线的性质求解即可。
12．如图，在同一平面内，∠AOB=90°，∠AOC=25°，∠COD=50°，∠BOD>15°，则∠BOD的度数为　 　
【答案】65°或 115°或165°
【解析】【解答】解：①当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的内部时，如图：
∵
∴
∵
∴
②当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的外部时，如图：
∵
∴
③当OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，如图：
∵
∴
∴
综上所述，的度数为：65°或 115°或165°，
故答案为：65°或 115°或165°.
【分析】由题意知需分三种情况：①：当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的内部时，②：当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的外部时，③：当OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，分别根据角的运算计算即可.
13．如图，将下列等式补充完整：
（1）∠AOC=∠AOB+　 　=∠AOD-　 　.
（2）∠BOC=　 　-∠COD=　 　-∠AOB.
【答案】（1）∠BOC；∠COD
（2）∠BOD；∠AOC
【解析】【解答】解：(1)由图可得.
故答案为：∠BOC；∠COD.
(2)由图可得.
故答案为：∠BOD；∠AOC.
【分析】观察图形，利用角的和差即可得到角之间的关系.
14．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A，B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中 蕴含的数学道理是　 　．
【答案】两点之间，线段最短
【解析】【解答】解：A，B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短.
【分析】把A，B两地看作两个点，再利用线段公理作答即可.
15．如图所示，在直线l上顺次取A，B，C三点，使得，如果点O是线段的中点，那么线段的长是 　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵点A，B，C是直线l上顺次的三点，且，
∴，
∵点O是线段的中点，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】先求出AC的长，然后利用线段中点的定义得到AO长，再根据解答即可 ．
16．已知线段 AB=8cm ，在直线 AB 上有一点C，若 BC=6cm ，则线段 AC 　 　cm .
【答案】2或14
【解析】【解答】解：①当点C在AB之间时，如图，
AC=AB-BC=8-6=2cm；
②当点C在AB之外时，如图，
AC=AB+BC=8+6=14cm.
故答案为： 2或14 .
【分析】分两种情况讨论，即①当点C在AB之间时，AC等于AB和BC之差；②当点C在AB之外时，AC等于AB和BC之和，据此分别解答即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知线段AB和CD的公共部分BD= AB= CD，线段AB、CD的中点E，F之间距离是10cm，求AB，CD的长．
【答案】解：设BD=xcm，则AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm．
∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE= AB=1.5xcm，CF= CD=2xcm．
∴EF=AC﹣AE﹣CF=6x﹣1.5x﹣2x=2.5xcm．∵EF=10cm，∴2.5x=10，解得：x=4．
∴AB=12cm，CD=16cm
【解析】【分析】先设BD=xcm，由题意得AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm，再根据中点的定义，用含x的式子表示出AE和CF，再根据EF=AC﹣AE﹣CF=2.5x，且E、F之间距离是10cm，所以2.5x=10，解方程求得x的值，即可求AB，CD的长．
18．一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块.
（1）求每个小正方体木块的棱长；
（2）求这个大长方体木块的表面积.
【答案】（1）解：∵大正方体木块的体积是，
∴每个小正方体木块的体积是
∴每个小小正方体木块的棱长是：
答：每个小小正方体木块的棱长是3cm.
（2）观察图形可知：大长方体木块的长是，宽是3cm，高是.
∴这个大长方体木块的表面积是：
答：这个大长方体木块的表面积是.
【解析】【分析】（1）由大正方体木块的体积，可求得每个小正方体木块的体积，从而求得小正方体木块的棱长；
（2）长方体木块是由小正方体木块排列成的，根据小正方体木块的棱长，求出长方体木块的长、宽、高，从而求得长方体木块的表面积.
19．如图，直线 AB，CD 相交于点O，OM⊥AB.
（1）若∠1=∠2，证明：ON⊥CD.
（2）若 求∠BOD 的度数.
【答案】（1）证明：∵OM⊥AB，
∴∠AOM=∠BOM=90°，
∴∠1+∠AOC=90°，
∵∠1=∠2，
即∠CON=90°，
∴ON⊥CD.
（2）解：∵
∴∠BOM=3∠1=90°，
解得：∠1=30°，
【解析】【分析】（1）利用角的运算和等量代换可得，即∠CON=90°，从而可得ON⊥CD；
（2）先求出∠1=30°，再利用角的运算求出即可.
20．我们知道，若有理数、表示在数轴上得到点、，且，则点点与点之间的距离为，现已知数轴上三点A、B、C，其中A表示的数为，B表示的数为3，C与A的距离等于m，C与B的距离等于n，请解答下列问题：
（1）若点C在数轴上表示的数为，求=　 　.
（2）若，请你直接写出点C表示的数为　 　.
【答案】（1）10
（2）或
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
则
故答案为：10
（2）设C表示的数为x
当C在A左侧时
则-3-x+(x-3)=7
解得：x=-3.5
当C在B右侧时
则x-(-3)+(x-3)=7
解得：x=3.5
故答案为：或
【分析】（1）根据两点间的距离即可求出答案；
（2）分当C在A左侧时，当C在B右侧时，根据两点间距离即可求出答案.
21．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大 ，求这个角的度数.
【答案】解：设这个角是 ，
则这个角的余角是 ，补角是 ，
根据题意，得，解得.
所以这个角的度数为 .
【解析】【分析】设这个角是 ，“一个角的补角比这个角的余角的3倍大 作为相等关系列方程求解即可.
22．如图，已知点M是线段AB的中点，点E将AB分成 的两段，若 ，求线段AB的长度．
【答案】解：∵点E将AB分成 的两段，设AE=3k，BE=4k，
∴AB=AE+BE=3k+4k=7k，
∵点M是线段AB的中点，
∴AM= ，
∴EM=AM-AE= =2cm，
∴k=4cm，
∴AB=7k=7×4=28cm．
∴线段AB的长为28cm．
【解析】【分析】先求出 AB=7k，再求出k=4cm， 最后计算求解即可。
23．乐乐从一副七巧板（如图1）中取出了其中的六块，拼成了一个（如图2），已知原来七巧板拼成正方形的边长为4；
（1）图2中小正方形②的边长=　 　：线段　 　；
（2）求对角线AC的长.
【答案】（1）；
（2）解：延长，过点A作于点E，如图所示：
根据七巧板的特点可知，，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【解析】【解答】（1）解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
即小正方形②的边长为，
∴，
∴，
故答案为：；．
【分析】（1）根据正方形的性质，结合七巧板的特征，求出结果即可；
（2）延长CB，过点A作AE⊥CB于点E，根据七巧板的特点求出AE的长，进而求出CE的长，再根据勾股定理求出AC的长即可．
24．“少年中国说”团体操展示出整体之美，如图1，小深想从数学角度分析动作的美观性．为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，A、B、C、D在同一平面内，点O为此平面内的定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．
（1）如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，求的度数；
（2）如图3，踢腿运动时，小深发现手臂伸直使得A、O、B三点共线，，且射线平分时，动作最优美，求的度数；
（3）如图4，彩旗挥舞这一节中，小深发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且．开始运动前A、O、B三点在同一水平线上（即），射线绕点O逆时针旋转速度为每秒，同时射线绕点O顺时针旋转速度为每秒．当射线旋转到与射线第一次重合时，两条射线均停止运动．当脚跟C或D的位置在的角平分线上时，请直接写出射线的运动时间．
【答案】（1）解：∵A，O，B三点共线，∴，
∵，
∴，
故答案为：90；
（2）解：解：∵，设，，
∵平分，
∴，
∵A、O、B三点共线，则，
∴，
解得：，
∴

（3）或或.
【解析】【解答】解：（3）运动前∵，
∴，，
设运动时间为，则，则，
由题意可知，转动度数为，转动度数为
①当时，，
当脚跟C在的角平分线上时，
即平分时，有，
，解得，（舍）
当脚跟D在的角平分线上时，
即平分时，有，
，解得，
②当时，，
当脚跟C在的角平分线上时，
即平分时，有，
，解得解得，
当脚跟D在的角平分线上时，
即平分时，有，
，解得（舍），
③当时，，
当脚跟C在的角平分线上时，
即平分时，有，
，解得（舍），
当脚跟D在的角平分线上时，
即平分时，有，
，解得，
综上可知，或或.
【分析】（1）由A，O，B三点共线，得出，由，列出算式，求得，即可得到答案；
（2）由，设，，根据A、O、B三点共线，得到，得出，根据，即可求解；
（3）算出运动停止时间，明确讨论范围；设运动时间为t，表示出；分别平分时，列出角的关系与，求出运动时间.
（1）∵A，O，B三点共线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：90；
（2）解：∵，
设，，
∵平分，
∴，
∵A、O、B三点共线，则，
∴，
解得：，
∴
（3）运动前∵，
∴，，
设运动时间为，则，则，
由题意可知，转动度数为，转动度数为
①当时，，
当脚跟C在的角平分线上时，
即平分时，有，
，解得，（舍）
当脚跟D在的角平分线上时，
即平分时，有，
，解得，
②当时，，
当脚跟C在的角平分线上时，
即平分时，有，
，解得解得，
当脚跟D在的角平分线上时，
即平分时，有，
，解得（舍），
③当时，，
当脚跟C在的角平分线上时，
即平分时，有，
，解得（舍），
当脚跟D在的角平分线上时，
即平分时，有，
，解得，
综上可知，或或.
25．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．
情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．
情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：
你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？
【答案】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短；
情景二：（需画出图形，并标明P点位置）

理由：两点之间的所有连线中，线段最短．
赞同情景二中运用知识的做法．
【解析】【分析】因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间线段最短；连接AB，使AB两点同在一条直线上，与河流的交点既是最佳位置．
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