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浙江省嘉兴市平湖市当湖高级中学2025-2026学年高一上学期9月阶段性测试数学试题
1．（2025高一上·平湖月考）已知集合，则为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025高一上·平湖月考）已知集合，则满足条件的集合的个数有（　　）．
A．6 个 B．7 个 C．8 个 D．9 个
3．（2025高一上·平湖月考）命题“，”的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2025高一上·平湖月考）设，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025高一上·平湖月考）已知，则函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025高一上·平湖月考）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025高一上·平湖月考）函数的图象与直线的交点个数（　　）
A．至少有1个 B．至多有1个
C．仅有1个 D．可能有无数多个
8．（2025高一上·平湖月考）已知函数满足对任意，都有成立，则a的范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·平湖月考）下列各组函数中，是同一函数的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．（2025高一上·平湖月考）已知 满足且，下列选项中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025高一上·平湖月考）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025高一上·平湖月考）设函数，若，则实数a的值为　 　．
13．（2025高一上·平湖月考）已知集合，集合，命题：，命题：，若是的充分条件，则实数的取值范围是　 　.
14．（2025高一上·平湖月考）已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是　 　
15．（2025高一上·平湖月考）已知集合
（1）求集合A；
（2）．
16．（2025高一上·平湖月考）已知，.
（1）用定义判断并证明函数在上的单调性；
（2）若，求实数的取值范围.
17．（2025高一上·平湖月考）已知，函数．
（1）当时，画出的图象，并写出的单调递增区间；
（2）当时，求在区间上的最小值．
18．（2025高一上·平湖月考）求下列各式的最值
（1）已知，求函数 的最大值
（2）设，则的最小值
（3）设正实数，，满足，当取得最大值时，求的最大值．
19．（2025高一上·平湖月考）已知函数，，集合．
（1）若集合中有且仅有个整数，求实数的取值范围；
（2）集合，若存在实数，使得，求实数b的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。
2．【答案】C
【知识点】有限集合的子集个数
【解析】【解答】解：由子集的定义，
可知集合有，，，，，，，共个.
故答案为：C.
【分析】利用子集的定义，从而写出满足要求的集合的个数.
3．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由全称命题的否定知：原命题的否定为，.
故答案为：D.
【分析】根据全称量词命题的否定规则，将全称量词“”改为存在量词“”，并否定结论，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：充分性：，当时，，当时，，充分性不成立；
必要性：，，必要性成立；
“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】分别证明充分性和必要性是否成立.
5．【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：设，则，所以，
所以，
故答案为：D．
【分析】通过设中间变量，将关于的表达式转化为关于的表达式，进而得到，再替换为，同时注意定义域的限制.
6．【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由条件可知，的两个实数根是和，且，
则，得，，所以，
即，解得：，所以不等式的解集为.
故答案为：A
【分析】根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系，求出、、之间的关系，再将其代入所求不等式，进而求解该不等式的解集.
7．【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：当x在定义域内任意取一个值，都有唯一的一个函数值与之对应，
则函数的图象与直线有唯一交点；
当x不在定义域内时，函数值不存在，函数的图象与直线没有交点，
则函数的图象与直线至多有一个交点，
所以，函数的图象与直线的交点至多有一个.
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义判断出函数的图象与直线的交点个数.
8．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为对任意都有，所以函数在定义域上单调递增，
所以， 解得，所以a的范围是
故答案为：B
【分析】根据函数单调递增的性质，分别分析分段函数的两段单调性，并考虑分段点处的函数值大小关系，从而列出不等式组求解实数的取值范围.
9．【答案】C,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：对于选项，因为函数，定义域为，化简得，
又因为函数，定义域为，
所以，两函数的定义域虽相同，但对应关系不一致，所以不是同一函数，故选项错误；
对于选项，因为函数，定义域为，
又因为函数，定义域为，化简得，
所以，两函数对应关系不一致，则不是同一函数，故选项错误；
对于选项，因为函数，定义域为，值域为，
又因为函数，定义域为，值域为，
则对，有.故两函数是同一函数，故选项正确；
对于选项，因为函数，定义域为，
又因为函数，定义域为，
对，有，所以两函数是同一函数，故选项正确.
故答案为：.
【分析】根据同一函数的判断方法，即对每组函数的定义域与对应关系进行比较判断，从而找出同一函数的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：因为且，所以.
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据结合不等式的基本性质，从而逐项判断找出一定成立的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】一元二次不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：原不等式转化为，由不等式的解集为，可得，再利用韦达定理可得，则，，故A、D正确；，令，易得函数的零点为，因为的解集为，，则有
由图象可知，故B错误，C正确.
故答案为：ACD.
【分析】原不等式转化为，根据不等式的解集为，可得，再由利用韦达定理可得，从而判断A、D选项；原不等式转化为，画出图象，根据图象即可判断B、C选项.
12．【答案】5
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故答案为：5．
【分析】根据可知，再结合，从而求出a的值．
13．【答案】
【知识点】集合间关系的判断；充分条件
【解析】【解答】解：命题，命题，
由是的充分条件，得，
则
所以，
解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和充分条件的判断方法，再结合集合的包含关系列出关于m的不等式组，从而解不等式组得出实数m的取值范围.
14．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，
则或，
解得：或，
综上所述，实数的取值范围是．
【分析】利用已知条件和分类讨论的方法，再利用基本不等式求最值的方法、函数求最值的方法，从而得出函数在区间[1，4]上的最大值，进而得出实数a的取值范围.
15．【答案】（1）解：由，
移项得：，
通分：，
等价于：，
因此，不等式的解集为：，
所以，集合 .
（2）解：由，
因式分解，得：，
则不等式的解集为：，
所以集合 ；
由，
得，
所以.
【知识点】交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）通过移项、作差，把分式不等式转化成一元二次不等式，从而解不等式得出集合A.
（2）利用一元二次不等式的解法把集合具体化，再根据集合的运算法则，从而得出集合.
（1）由移项得：，
通分：，
等价于：，
因此，不等式的解为：，
集合 .
（2）由因式分解得：，
不等式的解集为：，
所以集合 ；
由，得：；
所以.
16．【答案】解：（1）在上为增函数.证明如下：任取，，且，所以.因为，所以，则，所以，则函数在上为增函数.（2）由（1）知，在上单调递增，因为，所以解得则，所以的取值范围是.
（1）解：在上为增函数.
证明如下：任取，，且，
所以.
因为，
所以，
则，
所以，
则函数在上为增函数.
（2）解：由（1）知，在上单调递增，
因为，
所以
解得
则，
所以的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件和增函数的定义，从而判断并证明函数在上的单调性.（2）由（1）知，在上单调递增，再利用函数的单调性和已知条件，从而得出实数的取值范围.
17．【答案】（1）解：当时，，
作图如下：
所以的单调递增区间为：，.
（2）解：当时，，
由图可知：
当时，在区间上的最小值为，
当时，在区间上的最小值为.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）把代入函数解析式，再利用绝对值的定义将函数分段表示出，从而画出分段函数图象，再利用分段函数图象求出函数的单调递增区间.
（2）利用已知条件分类讨论，和三种情况，再分段求出函数在区间上的最小值.
（1）当时，，
作图：
所以的单调递增区间为：，；
（2）当时，，
当时，在区间上的最小值为，
当时，在区间上的最小值为，
18．【答案】（1）解：由题意知，则，
所以，
当且仅当时，即当时取等号，
所以函数 的最大值为.
（2）解：由，，且，
则
当且仅当时，即当，时取等号，
则的最小值为.
（3）解：由，且，
可得，
则，
当且仅当时，即当时取等号，此时，
所以，当时取到最大值，
则当取得最大值时的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合基本不等式求最值的方法，可得，从而得出函数 的最大值.
（2）由结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
（3）由题意可得，从而可得，进而得到取等条件和，则可得，从而得出当取得最大值时的的最大值.
（1）由题知，则，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数 的最大值为.
（2）由，，且，
则，
当且仅当，即，时取等号，
所以则的最小值为.
（3）由，且，可得，
则，
当且仅当，即时取等号，此时，
所以，当时取到最大值，
所以当取得最大值时的最大值为.
19．【答案】（1）解：由，
因为对称轴为，
所以，集合中有且仅有个整数，
则集合的个整数只可能是，
若即时，集合与题意矛盾，所以；
若即时，集合，
则，
解得，
若，即当时，集合，
则，
解得，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）解：若，即当时，
集合，，
因为，所以，
则，
解得；
若，即当时，集合，
则
设集合，
因为，所以，如图所示，
则，
所以，
得，
所以，
可得，
所以，
则，
又因为，
所以，
则，
综上所述，的取值范围是．
【知识点】元素与集合的关系；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件解不等式，则，分、、三种情况得到集合，再利用二次函数的对称轴分析出，再根据集合中有且仅有3个整数，则个整数只可能是，再由集合列出不等式组，从而解不等式组得出实数的取值范围.
（2）分和两种情况分别写出集合， 对应的解集，再根据列出不等式组，再利用不等式的基本性质，从而求出的取值范围．
（1）由，
由于对称轴为，所以，集合中有且仅有个整数，所以集合的个整数只可能是，
若即时，集合与题意矛盾，所以；
若即时，集合，
则解得，
若即时，集合，
则解得，
综上所述实数的取值范围是；
（2）若即时，集合，，
因为，所以即解得，
若即时，集合，
则
设集合，因为，即，如图所示，
则即得，
所以可得，所以，所以
又因为，
所以即.
综上所述的取值范围是．
1 / 1浙江省嘉兴市平湖市当湖高级中学2025-2026学年高一上学期9月阶段性测试数学试题
1．（2025高一上·平湖月考）已知集合，则为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。
2．（2025高一上·平湖月考）已知集合，则满足条件的集合的个数有（　　）．
A．6 个 B．7 个 C．8 个 D．9 个
【答案】C
【知识点】有限集合的子集个数
【解析】【解答】解：由子集的定义，
可知集合有，，，，，，，共个.
故答案为：C.
【分析】利用子集的定义，从而写出满足要求的集合的个数.
3．（2025高一上·平湖月考）命题“，”的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由全称命题的否定知：原命题的否定为，.
故答案为：D.
【分析】根据全称量词命题的否定规则，将全称量词“”改为存在量词“”，并否定结论，即可求解.
4．（2025高一上·平湖月考）设，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：充分性：，当时，，当时，，充分性不成立；
必要性：，，必要性成立；
“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】分别证明充分性和必要性是否成立.
5．（2025高一上·平湖月考）已知，则函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：设，则，所以，
所以，
故答案为：D．
【分析】通过设中间变量，将关于的表达式转化为关于的表达式，进而得到，再替换为，同时注意定义域的限制.
6．（2025高一上·平湖月考）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由条件可知，的两个实数根是和，且，
则，得，，所以，
即，解得：，所以不等式的解集为.
故答案为：A
【分析】根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系，求出、、之间的关系，再将其代入所求不等式，进而求解该不等式的解集.
7．（2025高一上·平湖月考）函数的图象与直线的交点个数（　　）
A．至少有1个 B．至多有1个
C．仅有1个 D．可能有无数多个
【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：当x在定义域内任意取一个值，都有唯一的一个函数值与之对应，
则函数的图象与直线有唯一交点；
当x不在定义域内时，函数值不存在，函数的图象与直线没有交点，
则函数的图象与直线至多有一个交点，
所以，函数的图象与直线的交点至多有一个.
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义判断出函数的图象与直线的交点个数.
8．（2025高一上·平湖月考）已知函数满足对任意，都有成立，则a的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为对任意都有，所以函数在定义域上单调递增，
所以， 解得，所以a的范围是
故答案为：B
【分析】根据函数单调递增的性质，分别分析分段函数的两段单调性，并考虑分段点处的函数值大小关系，从而列出不等式组求解实数的取值范围.
9．（2025高一上·平湖月考）下列各组函数中，是同一函数的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：对于选项，因为函数，定义域为，化简得，
又因为函数，定义域为，
所以，两函数的定义域虽相同，但对应关系不一致，所以不是同一函数，故选项错误；
对于选项，因为函数，定义域为，
又因为函数，定义域为，化简得，
所以，两函数对应关系不一致，则不是同一函数，故选项错误；
对于选项，因为函数，定义域为，值域为，
又因为函数，定义域为，值域为，
则对，有.故两函数是同一函数，故选项正确；
对于选项，因为函数，定义域为，
又因为函数，定义域为，
对，有，所以两函数是同一函数，故选项正确.
故答案为：.
【分析】根据同一函数的判断方法，即对每组函数的定义域与对应关系进行比较判断，从而找出同一函数的选项.
10．（2025高一上·平湖月考）已知 满足且，下列选项中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：因为且，所以.
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据结合不等式的基本性质，从而逐项判断找出一定成立的选项.
11．（2025高一上·平湖月考）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】一元二次不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：原不等式转化为，由不等式的解集为，可得，再利用韦达定理可得，则，，故A、D正确；，令，易得函数的零点为，因为的解集为，，则有
由图象可知，故B错误，C正确.
故答案为：ACD.
【分析】原不等式转化为，根据不等式的解集为，可得，再由利用韦达定理可得，从而判断A、D选项；原不等式转化为，画出图象，根据图象即可判断B、C选项.
12．（2025高一上·平湖月考）设函数，若，则实数a的值为　 　．
【答案】5
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故答案为：5．
【分析】根据可知，再结合，从而求出a的值．
13．（2025高一上·平湖月考）已知集合，集合，命题：，命题：，若是的充分条件，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】集合间关系的判断；充分条件
【解析】【解答】解：命题，命题，
由是的充分条件，得，
则
所以，
解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和充分条件的判断方法，再结合集合的包含关系列出关于m的不等式组，从而解不等式组得出实数m的取值范围.
14．（2025高一上·平湖月考）已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，
则或，
解得：或，
综上所述，实数的取值范围是．
【分析】利用已知条件和分类讨论的方法，再利用基本不等式求最值的方法、函数求最值的方法，从而得出函数在区间[1，4]上的最大值，进而得出实数a的取值范围.
15．（2025高一上·平湖月考）已知集合
（1）求集合A；
（2）．
【答案】（1）解：由，
移项得：，
通分：，
等价于：，
因此，不等式的解集为：，
所以，集合 .
（2）解：由，
因式分解，得：，
则不等式的解集为：，
所以集合 ；
由，
得，
所以.
【知识点】交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）通过移项、作差，把分式不等式转化成一元二次不等式，从而解不等式得出集合A.
（2）利用一元二次不等式的解法把集合具体化，再根据集合的运算法则，从而得出集合.
（1）由移项得：，
通分：，
等价于：，
因此，不等式的解为：，
集合 .
（2）由因式分解得：，
不等式的解集为：，
所以集合 ；
由，得：；
所以.
16．（2025高一上·平湖月考）已知，.
（1）用定义判断并证明函数在上的单调性；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）在上为增函数.证明如下：任取，，且，所以.因为，所以，则，所以，则函数在上为增函数.（2）由（1）知，在上单调递增，因为，所以解得则，所以的取值范围是.
（1）解：在上为增函数.
证明如下：任取，，且，
所以.
因为，
所以，
则，
所以，
则函数在上为增函数.
（2）解：由（1）知，在上单调递增，
因为，
所以
解得
则，
所以的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件和增函数的定义，从而判断并证明函数在上的单调性.（2）由（1）知，在上单调递增，再利用函数的单调性和已知条件，从而得出实数的取值范围.
17．（2025高一上·平湖月考）已知，函数．
（1）当时，画出的图象，并写出的单调递增区间；
（2）当时，求在区间上的最小值．
【答案】（1）解：当时，，
作图如下：
所以的单调递增区间为：，.
（2）解：当时，，
由图可知：
当时，在区间上的最小值为，
当时，在区间上的最小值为.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）把代入函数解析式，再利用绝对值的定义将函数分段表示出，从而画出分段函数图象，再利用分段函数图象求出函数的单调递增区间.
（2）利用已知条件分类讨论，和三种情况，再分段求出函数在区间上的最小值.
（1）当时，，
作图：
所以的单调递增区间为：，；
（2）当时，，
当时，在区间上的最小值为，
当时，在区间上的最小值为，
18．（2025高一上·平湖月考）求下列各式的最值
（1）已知，求函数 的最大值
（2）设，则的最小值
（3）设正实数，，满足，当取得最大值时，求的最大值．
【答案】（1）解：由题意知，则，
所以，
当且仅当时，即当时取等号，
所以函数 的最大值为.
（2）解：由，，且，
则
当且仅当时，即当，时取等号，
则的最小值为.
（3）解：由，且，
可得，
则，
当且仅当时，即当时取等号，此时，
所以，当时取到最大值，
则当取得最大值时的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合基本不等式求最值的方法，可得，从而得出函数 的最大值.
（2）由结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
（3）由题意可得，从而可得，进而得到取等条件和，则可得，从而得出当取得最大值时的的最大值.
（1）由题知，则，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数 的最大值为.
（2）由，，且，
则，
当且仅当，即，时取等号，
所以则的最小值为.
（3）由，且，可得，
则，
当且仅当，即时取等号，此时，
所以，当时取到最大值，
所以当取得最大值时的最大值为.
19．（2025高一上·平湖月考）已知函数，，集合．
（1）若集合中有且仅有个整数，求实数的取值范围；
（2）集合，若存在实数，使得，求实数b的取值范围．
【答案】（1）解：由，
因为对称轴为，
所以，集合中有且仅有个整数，
则集合的个整数只可能是，
若即时，集合与题意矛盾，所以；
若即时，集合，
则，
解得，
若，即当时，集合，
则，
解得，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）解：若，即当时，
集合，，
因为，所以，
则，
解得；
若，即当时，集合，
则
设集合，
因为，所以，如图所示，
则，
所以，
得，
所以，
可得，
所以，
则，
又因为，
所以，
则，
综上所述，的取值范围是．
【知识点】元素与集合的关系；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件解不等式，则，分、、三种情况得到集合，再利用二次函数的对称轴分析出，再根据集合中有且仅有3个整数，则个整数只可能是，再由集合列出不等式组，从而解不等式组得出实数的取值范围.
（2）分和两种情况分别写出集合， 对应的解集，再根据列出不等式组，再利用不等式的基本性质，从而求出的取值范围．
（1）由，
由于对称轴为，所以，集合中有且仅有个整数，所以集合的个整数只可能是，
若即时，集合与题意矛盾，所以；
若即时，集合，
则解得，
若即时，集合，
则解得，
综上所述实数的取值范围是；
（2）若即时，集合，，
因为，所以即解得，
若即时，集合，
则
设集合，因为，即，如图所示，
则即得，
所以可得，所以，所以
又因为，
所以即.
综上所述的取值范围是．
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