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《小数乘法：问题解决》教学设计-2025-2026学年西南大学版小学数学五年级上册
项目 具体内容
核心素养教学目标 1. 数学建模：能准确识别小数乘法相关实际问题的关键信息，将“单价×数量=总价”“长×宽=面积”等实际情境转化为小数乘法数学模型，掌握“审题—建模—计算—验证”的问题解决流程。 2. 运算能力：能根据实际问题需求，灵活运用小数乘法计算法则进行精准计算，能结合情境判断是否需要保留小数位数（如“四舍五入”取近似值），提升运算的实用性和规范性。 3. 推理意识：在分析“分段计费”“最优方案”等复杂问题时，能通过对比、归纳推理出解决策略，能清晰表达推理过程，培养合情推理与演绎推理能力。 4. 应用意识：感受小数乘法在购物、测量、计费等生活场景的广泛应用，能运用所学知识解决不同类型的实际问题，体会数学与生活的紧密联系，增强用数学解决问题的意识。 5. 数据分析观念：在处理含有多个数据的实际问题（如不同方案的价格对比）时，能整理、分析数据，通过数据对比选择最优方案，初步形成数据分析能力。 6. 创新意识：在解决开放性问题时，能尝试从不同角度思考，提出多种解决思路，培养灵活解题的创新思维。
教学重难点 1. 教学重点： （1）掌握小数乘法实际问题的解题步骤，能准确将实际情境转化为数学算式并计算； （2）能结合具体情境（如付款、测量）对计算结果进行合理处理（如取近似值、单位换算）； （3）理解并掌握“分段计费”“最优方案选择”等典型问题的解决方法。 2. 教学难点： （1）准确提取复杂情境中的关键信息，突破“多余条件干扰”“隐含条件挖掘”的认知障碍（如“买几送一”问题中的实际数量计算）； （2）在“分段计费”问题中，明确分段节点，正确计算不同段的费用并求和； （3）结合实际需求选择合适的取近似值方法（如“进一法”“去尾法”“四舍五入法”的区别应用）。 3. 重难点突破策略： （1）采用“问题链”引导审题，通过“圈画关键信息—标注数量关系—排除多余条件”三步法提升审题能力； （2）借助线段图、表格等直观模型分析“分段计费”“方案对比”问题，将抽象数量关系具象化； （3）设计“情境辨析”活动，通过不同情境的对比练习，明确三种取近似值方法的适用场景； （4）开展小组合作探究，通过“提出思路—验证方案—优化策略”的过程突破复杂问题解决难点。
教学准备 1. 教师准备：多媒体课件（包含教材例题、生活情境图、线段图模板、数据表格、易错案例）、实物投影、“审题步骤卡”“方案对比表”模板； 2. 学生准备：预习教材例题、练习本、直尺、铅笔（用于画线段图）； 3. 分组准备：4人一组，每组发放“问题解决任务包”（包含不同类型的小数乘法实际问题、小组讨论记录表）。
教学过程 （一）情境唤醒，复习导入（衔接旧知，激发需求） 1. 生活情境提问，激活经验 师：同学们，周末我们经常会和家人一起购物、出行，这些场景中藏着很多数学问题。大家看课件上的超市购物图：苹果每千克5.8元，妈妈买了2千克，一共需要付多少钱？谁能快速列出算式并算出结果？ 生：5.8×2=11.6元，因为单价×数量=总价，5.8乘2就是11.6元。 师：非常准确！你用到了“单价×数量=总价”的数量关系，这是我们之前学过的小数乘整数的应用。那如果妈妈买了1.5千克，算式又该怎么列？结果是多少呢？ 生：5.8×1.5，先算58×15=870，因数共有2位小数，所以结果是8.7元。 师：很棒！大家已经掌握了小数乘法的计算方法。但生活中的问题往往更复杂，比如“买3千克苹果，每千克5.8元，超市满20元减3元，实际需要付多少钱？”这样的问题该怎么解决呢？今天我们就一起来学习《问题解决》，探索小数乘法在生活中的综合应用（板书课题）。 2. 复习核心知识，铺垫基础 师：在解决复杂问题前，我们先回顾两个核心内容：① 小数乘法的计算法则是什么？② 常见的数量关系有哪些？（引导学生齐答） 生1：小数乘法先按整数乘法算，再看因数共有几位小数，从积的右边数出几位点小数点，位数不足补0，末尾有0化简。 生2：常见数量关系有单价×数量=总价、长×宽=面积、速度×时间=路程。 师：大家掌握得很扎实！今天我们就运用这些知识解决生活中的实际问题。 设计意图：从学生熟悉的“购物”情境切入，通过“简单问题—复杂问题”的递进，自然引出课题，激发学生的探究需求；复习小数乘法计算法则和常见数量关系，唤醒旧知储备，为后续解决复杂问题做好知识铺垫，实现“旧知迁移—新知探究”的平滑过渡。 （二）探究新知，分层突破（核心环节，解决典型问题） 1. 类型一：基础应用型问题——含多余条件与近似值处理（教材例题1） 师：请大家打开教材第12页，看例题1：妈妈带100元去超市购物，买了2袋大米，每袋30.6元；买了0.8千克牛肉，每千克26.5元。剩下的钱还够买一盒10元的鸡蛋吗？够买一盒20元的鸡蛋吗？请大家先独立审题，用老师发的“审题步骤卡”圈画关键信息。 （学生独立审题，圈画信息，教师巡视指导，随后展示学生的审题成果） 师：这位同学圈出了“100元”“2袋大米”“每袋30.6元”“0.8千克牛肉”“每千克26.5元”“10元鸡蛋”“20元鸡蛋”，非常全面！那有没有多余条件呢？ 生：没有多余条件，所有信息都要用到。 师：那要判断剩下的钱够不够买鸡蛋，我们需要先算什么？再算什么？请小组讨论，写出解题思路。 （小组讨论后，代表汇报） 组1：先算买大米花的钱，再算买牛肉花的钱，把两者加起来就是花掉的总钱数，用100元减去总钱数得到剩下的钱，再和10元、20元对比。 师：思路非常清晰！那我们按照这个思路计算。先算买大米的钱：2袋，每袋30.6元，算式是？ 生：30.6×2=61.2元。 师：再算买牛肉的钱：0.8千克，每千克26.5元，算式是？大家在练习本上计算，注意步骤规范。 （学生计算，教师投影展示正确过程）26.5×0.8，先算265×8=2120，因数共有2位小数，点上小数点得21.2元。 师：那花掉的总钱数是多少？剩下的钱呢？ 生：总钱数61.2+21.2=82.4元，剩下100-82.4=17.6元。 师：17.6元和10元、20元对比，能得出什么结论？ 生：17.6元大于10元，够买10元的鸡蛋；17.6元小于20元，不够买20元的鸡蛋。 师：非常准确！那大家有没有更简便的方法判断呢？比如不用精确计算，用估算的方法。 生：可以把30.6元估成31元，2袋就是62元；26.5元估成27元，0.8千克估成1千克，就是27元，总花费62+27=89元，剩下11元，够买10元的；如果把30.6估成30元，2袋60元，26.5估成25元，0.8千克20元，总花费80元，剩下20元，但实际花费比80元多，所以不够买20元的。 师：太聪明了！估算能帮我们快速判断结果范围。那大家思考，这道题中“17.6元”是精确结果，为什么不用保留更多小数位数？ 生：因为钱的单位是元，通常保留两位小数表示角分，但这里对比10元和20元，整数部分就够判断了，实际付款时也会保留两位小数。 师：没错！解决问题时要根据实际需求处理结果，不是所有结果都要精确计算。我们总结这类问题的解题步骤：① 审题（圈关键信息，排多余条件）；② 找数量关系（总价=单价×数量）；③ 计算（精确或估算）；④ 对比验证（结合情境判断）。 2. 类型二：分段计费问题——明确分段节点与计算方法（教材例题2） 师：生活中除了购物，出行计费也很常见。大家看教材第13页例题2：某市出租车的收费标准是3千米以内（含3千米）收费10元；超过3千米，每千米收费2.4元（不足1千米按1千米计算）。李叔叔从公司打车回家，共行驶了11.6千米，他应付车费多少元？请大家先独立思考，用线段图表示出收费情况。 （学生画线段图，教师巡视指导，展示优秀作品） 师：这位同学的线段图画得很清晰，把11.6千米分成了两段，第一段3千米，标注“10元”；第二段是11.6-3=8.6千米。大家注意题目中“不足1千米按1千米计算”，8.6千米应该按多少千米算？ 生：按9千米算，因为不足1千米按1千米，0.6千米也要算1千米。 师：非常关键！这是“分段计费”问题的易错点。那总车费应该怎么算？ 生：总车费=3千米内的费用+超过3千米的费用。 师：请大家结合线段图，在练习本上计算，小组内互相检查。 （学生计算，小组互查，教师投影展示计算过程） ① 分段：11.6千米≈12千米（此处学生出现争议，教师及时辨析） 师：大家看，11.6千米分成3千米和8.6千米，8.6千米不足1千米按1千米算，是9千米，所以总行驶的计费里程是3+9=12千米吗？不对，应该是超过3千米的部分按9千米算，不是总里程凑整。 生：哦，我错了！应该是3千米以内10元，超过的8.6千米按9千米算，费用是9×2.4=21.6元，总车费10+21.6=31.6元。 师：纠正后就对了！大家再一起说一遍计算步骤：第一步，确定分段节点（3千米）；第二步，计算超过部分的实际计费里程（不足1千米按1千米算）；第三步，分别计算两段费用；第四步，求和得总费用。 师：如果李叔叔行驶了2.8千米，应付多少钱？行驶了3千米呢？ 生：2.8千米和3千米都在3千米以内，都付10元。 师：对！分段计费要明确“含起点”的规则，3千米以内包括3千米。 3. 类型三：最优方案选择问题——数据对比与策略优化（教材例题3） 师：生活中我们还会遇到“选择哪种方案更划算”的问题。看教材第14页例题3：学校要购买15个篮球，甲商店每个篮球48.5元，买10个送1个；乙商店每个篮球45.6元，没有优惠。去哪个商店购买更省钱？请大家分组完成“方案对比表”，先明确两个商店的优惠规则，再计算总价。 （小组合作完成表格，教师巡视指导，展示两组不同的计算思路） 师：先看甲商店的优惠“买10个送1个”，买15个需要付多少个的钱？ 组1：买10个送1个，买14个送1个，共15个，所以付14个的钱，48.5×14=679元。 组2：我们算的是买13个送1个不够，买14个送1个刚好15个，和组1一样，14×48.5=679元；乙商店15×45.6=684元，679＜684，所以甲商店更省钱。 师：大家有没有不同意见？如果买11个，甲商店付多少个的钱？ 生：买10个送1个，付10个的钱，48.5×10=485元。 师：非常好！“买几送一”问题的关键是计算“实际需要付费的数量”，即先算买多少个能送够需要的数量，再计算总价。那如果购买20个篮球，甲商店需要付多少个的钱？ 生：买10个送1个，买18个送1个不够，买19个送1个是20个，付19个的钱？不对，买18个送1个是19个，再买1个，共付19个的钱；或者买10个送1个，买19个送1个，共20个，付19个的钱。 师：更简便的方法是“送的数量=付费数量÷送的基数”，买20个，每买10个送1个，最多送2个，所以付费数量=20-2=18个，18×48.5=873元，乙商店20×45.6=912元，还是甲商店划算。 师：我们总结最优方案问题的解题步骤：① 分析各方案的优惠规则；② 分别计算各方案的实际费用；③ 对比费用，选择最优方案。 设计意图：遵循“由浅入深、分层突破”的原则，选取教材中三种典型问题，从“基础应用”到“分段计费”再到“方案优化”逐步提升难度；通过“审题步骤卡”“线段图”“对比表”等直观工具帮助学生梳理思路，突破“多余条件”“分段节点”“优惠规则”等难点；采用“独立思考—小组合作—师生辨析”的模式，让学生主动参与问题解决的全过程，培养数学建模和推理意识。 （三）师生互动，巩固提升（分层练习，强化能力） 1. 基础题：精准审题与计算（针对重点） 师：请大家独立完成以下两道题，要求写出审题过程（圈关键信息）和解题步骤。 ① 一台笔记本电脑的屏幕长3.4分米，宽2.1分米，屏幕的面积是多少平方分米？（得数保留一位小数） ② 一种洗衣液每瓶12.8元，超市搞活动“买3瓶送1瓶”，妈妈买了4瓶，实际每瓶花了多少钱？ （学生解题，教师投影展示2份作业，重点点评第①题的近似值处理和第②题的优惠规则理解） 师：第①题3.4×2.1=7.14平方分米，保留一位小数是7.1还是7.2？根据“四舍五入法”，4小于5，所以是7.1平方分米。第②题买3瓶送1瓶，4瓶付3瓶的钱，12.8×3=38.4元，38.4÷4=9.6元，这位同学算对了，另一位同学错把“买3送1”当成了“打7折”，忽略了实际购买数量，要注意优惠规则的准确理解。 2. 提升题：复杂情境应用（针对难点） 师：请小组合作完成“出行计费问题”，运用线段图分析，写出详细解题过程。 某市网约车收费标准：起步价8元（含2千米），超过2千米后，每千米收费1.5元（不足1千米按1千米算），另外每次加收1元燃油附加费。王阿姨从家到医院共行驶了5.3千米，她应付车费多少元？如果行驶了1.8千米，应付多少元？ （小组合作解题，代表汇报） 组1：5.3千米分成2千米和3.3千米，3.3千米按4千米算，超过部分费用4×1.5=6元，加上起步价8元和燃油费1元，总费用8+6+1=15元；1.8千米在2千米内，付8+1=9元。 师：非常全面！这道题增加了“燃油附加费”这个固定费用，大家没有遗漏，并且正确处理了不足1千米的情况，值得表扬。 3. 拓展题：开放性问题（针对创新意识） 师：请大家当“小采购员”，解决开放性问题：学校要购买30个文件夹，A商店每个3.5元，满100元减20元；B商店每个3.2元，买5送1；C商店每个3元，没有优惠。你会选择哪个商店购买？请说明理由，能想出多种方案吗？ （学生独立思考后，小组交流不同方案，教师鼓励创新思路） 生1：A商店30×3.5=105元，满100减20，付85元；B商店买25个送5个，25×3.2=80元；C商店30×3=90元，选B商店。 生2：我们想的是A商店如果买30个105元，减20元85元；如果买29个29×3.5=101.5元，减20元81.5元，再买1个3.5元，共85元，和买30个一样；还是B商店80元最划算。 师：大家不仅算出了最优方案，还想到了“凑满减”的思路，非常有创新意识！解决开放性问题就是要从不同角度思考，找到最合理的方案。 设计意图：设计“基础—提升—拓展”三层练习，兼顾不同学生的认知水平；基础题强化审题和基本计算，提升题突破“分段计费+固定费用”的复杂情境，拓展题通过开放性问题培养创新思维；全程采用“独立解题—小组交流—师生点评”的互动模式，让学生在实践中巩固解题方法，提升应用能力。 （四）错题辨析，强化认知（针对易错点，查漏补缺） 师：大家在解决问题时容易出现一些错误，我们来看课件上的“易错案例分析”，请大家当“小医生”，找出错误并写出改正过程。 案例1：一根长方形铁皮，长1.2米，宽0.8米，制作一个底面积是0.36平方米的无盖铁盒，剩下的铁皮面积是多少？（错误解法：1.2×0.8-0.36=0.96-0.36=0.6平方米） 案例2：出租车收费标准3千米内10元，超过3千米每千米2元，行驶5.2千米应付10+5.2×2=20.4元。 （学生独立纠错，同桌互查，代表汇报） 生1：案例1的错误是没有考虑“无盖铁盒”需要的铁皮面积不是底面积，底面积是0.36平方米，但制作铁盒需要的是底面和侧面的面积，题目中没有给出铁盒的高，无法计算，所以这个问题缺少条件，不能直接用长方形面积减底面积。 师：太精准了！这是“隐含条件缺失”的错误，解决问题前要先判断条件是否充足。 生2：案例2的错误是超过3千米的部分算成了5.2千米，应该是5.2-3=2.2千米，按3千米算，应付10+3×2=16元。 师：没错！这是“分段计费中超过部分里程计算错误”的典型问题，大家要牢记“先减起点，再凑整”的原则。 师：请大家在练习本上总结自己容易犯的错误类型，写下“避错小贴士”。 设计意图：通过“易错案例辨析”，精准定位学生的认知漏洞，如“条件判断”“分段计算”等易错点；让学生当“小医生”纠错，加深对错误原因的理解，比单纯讲解更有效；总结“避错小贴士”帮助学生形成自我反思的习惯，提升解题的严谨性。 （五）课堂小结，梳理体系（回顾梳理，构建知识网络） 师：今天我们学习了小数乘法的问题解决，大家结合以下问题在小组内交流收获：① 我们学习了哪几种典型的实际问题？② 每种问题的解题关键是什么？③ 解决实际问题的通用步骤是什么？ （小组交流后，代表汇报，教师板书知识体系） 生1：学习了基础应用型、分段计费、最优方案选择三种典型问题。 生2：基础应用的关键是审题找数量关系，分段计费的关键是明确分段节点和凑整规则，最优方案的关键是分析优惠规则算总价。 生3：通用步骤是审题（圈关键、排多余、补隐含）—建模（找数量关系列算式）—计算（精确或估算）—验证（结合情境判断结果合理性）。 师：大家总结得非常全面！解决实际问题时，我们要牢记“审题是基础，建模是核心，计算是保障，验证是关键”。希望大家以后能运用今天所学的方法，灵活解决生活中的数学问题。 设计意图：通过问题链引导学生自主梳理知识，从“典型问题—解题关键—通用步骤”三个层面构建知识体系；小组交流的形式让每个学生都有表达的机会，教师板书知识体系帮助学生形成清晰的认知框架，提升总结归纳能力。
板书设计 问题解决（小数乘法应用） 一、常见类型及解题关键 1. 基础应用型：审题找关系，处理近似值 （例：购物费用计算）数量关系：单价×数量=总价 2. 分段计费型：明确节点，凑整计算，两段求和 （例：出租车计费）总费用=基础费+超过部分费 3. 最优方案型：分析优惠，算总价，比大小 （例：商店购物）核心：算实际付费数量/金额 二、通用解题步骤 1. 审题：圈关键、排多余、补隐含 2. 建模：找数量关系，列算式 3. 计算：精确/估算，规范步骤 4. 验证：结合情境判断合理性（近似值、单位等） 三、易错点提醒 1. 分段计费：超过部分凑整，含起点规则 2. 优惠问题：准确理解“买几送一”“满减”规则 3. 结果处理：根据情境选“四舍五入/进一/去尾”

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