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2025-2026学年九年级上册数学期末测试模拟卷
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.菱形与矩形都具有的性质是( )
A. 对角相等 B. 四边相等 C. 对角线互相垂直 D. 四角相等
2.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若，，则AB的长度是
A. 4 B. C. D. 8
3.如图摆放的正六棱柱的俯视图是( )
A. B. C. D.
4.如图，的面积为12，点D，E分别是边AB，AC的中点，则四边形BCED的面积为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5.已知一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当时，x的取值范围是
A. 或 B. 或
C. D.
6.如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为
A. 8cm B. C. 20cm D. 10cm
7.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是( )
A. B. C. D.
8.如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且与的相似比为设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是
A. B. C. D.
9.“红灯停绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全.小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到两次红灯的概率是( )
A. B. C. D.
10.如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，矩形CDEF的边CD在CB上，且，边CF在y轴上，且，反比例函数的图象经过点B，E，则点E的坐标是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共8小题，共24分。
11.如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，若，，则菱形ABCD的面积为______.
12.一个几何体的三种视图如图所示，这个几何体的表面积是______结果保留
13.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示.如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过12A，那么用电器的可变电阻应控制的范围是______.
14.如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离米，镜子与小华的距离米时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点已知小华的眼睛距地面的高度米，则铁塔AB的高度是______米.
15.某种商品，平均每天可销售40件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，若每天要盈利2400元，则每件应降价______元.
16.如图，已知点，，以点O为位似中心画三角形，使它与位似，且相似比为，则点E的对应点的坐标为______.
17.任取一个有序的整数对，其中，每一个这样的有序数对被选择的可能性相等，则方程没有不相等正实根的概率为______.
18.如图，已知函数和函数的图象交于A，B两点，过点A作轴于点E，若的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是______.
三、计算题：本大题共10分。
19.解方程：；
四、解答题：本大题共7小题，共56分。
20.如图，在中，，D为BC边的中点，以AB，BD为邻边作 ，连接AD，求证：四边形ADCE是矩形.
21.已知关于x的一元二次方程
求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
如果方程的两个实数根为，，且，求m的取值范围.
22.如图，已知是等边三角形，点D，B，C，E在同一条直线上，且，求证：
23.阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下长的影子如图所示.已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离，窗口底边离地面的距离，试求窗口的高度即AB的值
24.有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1，2，3，另有一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，如图所示小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则：一个人转动圆盘，另一人从口袋中摸出一个小球，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去.
用画树状图或列表的方法求出小颖参加比赛的概率；
你认为该游戏公平吗？请说明理由.
25.如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒.
如图1，连接DE，若，求t的值；
如图2，连接EF，DF，当t为何值时，？
26.如图，已知一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象的一个交点为过点B作AB的垂线BD，与反比例函数的图象交于点
求和的值；
若直线AB，BD分别交x轴于点C，E，试问在y轴上是否存在一点F，使得？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查菱形和矩形性质的异同点，熟练掌握平行四边形性质是解题的关键，菱形和矩形都是平行四边形，具有平行四边形的所有性质，菱形还具有独特的性质：四边相等，对角线垂直；矩形具有独特的性质：对角线相等，邻边互相垂直．
【解答】
解：对角相等，菱形和矩形都具有的性质，故A符合题意；
B.四边相等，菱形的性质，矩形不具有的性质，故B不符合题意；
C.对角线互相垂直，菱形具有的性质，矩形不具有的性质，故C不符合题意；
D.四角相等，矩形具有的性质，菱形不具有的性质，故D不符合题意；
故选
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出即可．
【解答】
解：四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
3.【答案】D
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，属于中档题．
先由点D、E分别是边AB、AC的中点，得，从而得∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及的面积为12，可得，用大三角形的面积减去小三角形的面积，即可得答案．
【解答】解：点D、E分别是边AB、AC的中点，
，
∽，
点D、E分别是边AB、AC的中点，
，
：：4，
的面积为12，
，
四边形BCED的面积为
故选
5.【答案】B
【解析】解：根据图象知，一次函数与反比例函数的交点是，，
当时，或；
故选：
根据图象知，两个函数的图象的交点是，由图象可以直接写出当时所对应的x的取值范围．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．
6.【答案】C
7.【答案】B
【解析】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有12种．
红 红，红 蓝，红 蓝，红
蓝 红，蓝 蓝，蓝 蓝，蓝
红 红，红 蓝，红 蓝，红
黄 红，黄 蓝，黄 蓝，黄
红 蓝 蓝
上面等可能出现的12种结果中，有5种情况可以得到紫色，
所以可配成紫色的概率是，
故选：
根据题意，用列表法得出所有可能出现的结果，分析可能得到紫色的概率，得到结论．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
8.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了位似变换的性质．
根据位似变换的性质得出的边长放大到原来的2倍，，，，进而得出点B的横坐标．
【解答】
解：如图，分别过点B，作轴，轴，
点C的坐标是以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．
点B的对应点的横坐标是a，
，，
，
点B的横坐标是：
故选
9.【答案】B
【解析】解：共有8种情况，遇到两次红灯的概率是，故选
列举出所有情况，看遇到两次红灯的情况占总情况的多少即可．
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
10.【答案】C
【解析】解：正方形OABC，
，
设，则，
，，
，
，
，
点B，E在反比例函数的图象上，因此：，
解得：舍去，或
当时，，
故选：
设出点E的横坐标为x，根据，可以表示出点B，E的坐标，再根据点B，E都在同一个反比例函数的图象上，可以列出方程求解即可得出
考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形、矩形的性质，设出未知数，表示出相应点的坐标，是解决问题的关键．
11.【答案】24
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】15
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的应用，由入射角等于反射角，，可以证出∽，从而得出线段比例，求得AB的长.
【解答】
解：入射光线和反射光线与镜面夹角相等，
，
又，
∽，
即，
，
解得：米，
故答案为
15.【答案】4
【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．关系式为：每件商品的盈利原来的销售量+增加的销售量，计算得到降价多的数量即可．
解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：
解方程得或，
在降价幅度不超过10元的情况下，
不合题意舍去，
答：每件服装应降价4元．
故答案是：
16.【答案】或
【解析】解：，以点O为位似中心画三角形，使它与位似，且相似比为，
点E的对应点的坐标为：或
故答案为：或
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，于是把都乘以或即可得到点E的对应点坐标．
本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
17.【答案】
18.【答案】，，
【解析】【分析】
此题考查了反比例函数综合，用到的知识点是反比例函数的性质、平行四边形的性质，关键是画图形把P点的所有情况都画出来．
先求出B、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标．
【解答】
解：如图
的面积为4，函数的图象过一、三象限，
，
，
，
，
函数和函数的图象交于A、B两点，
，
，
当时，，当时，，
、B两点的坐标是：，
以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，
满足条件的P点有3个，分别为：
，，
故答案为：，，
19.【答案】解：，，，
，，，
原方程可化为，，，

20.【答案】证明：，D为BC边的中点，
，，
，
四边形ABDE是平行四边形，
，，
，，
四边形ADCE是平行四边形，
又，
四边形ADCE是矩形．
【解析】由等腰三角形的三线合一性质得出，，，由平行四边形的性质得出，，得出，，证出四边形ADCE是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
21.【答案】证明：
，
，
，即，
无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
解：根据题意得、，
解得
【解析】计算判别式得到，利用非负数的性质得到，从而得到结论；
利用根与系数的关系得到、，再利用已知条件得到，然后解关于m的不等式即可；
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义．
22.【答案】证明：是等边三角形，，
，
，，，，
，
，

23.【答案】解：由于阳光是平行光线，即，
所以
又因为是公共角，
所以∽，
则
又，，，，，
于是有，
解得
答：窗口的高度为
【解析】本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．要求学生通过投影的知识结合图形相似的性质巧妙地求解或解直角三角形，是平行投影性质在实际生活中的应用．
根据阳光是平行光线，即，可得；从而得到∽，根据比例关系，计算可得AB的数值，即窗口的高度．
24.【答案】解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况，
和小于，
小颖参加比赛的概率为：；
不公平，
小颖，
小亮
和小于和大于等于，
游戏不公平．
【解析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和和小于4的情况，则可求得小颖参加比赛的概率；
根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
25.【答案】解：如图，设AF与DE交于点
，，
，
又四边形ABCD是正方形，，，
≌，
，，，解得
四边形ABCD是正方形，
，，，
当时，，，
解得或舍去，当时，

26.【答案】解：将代入一次函数，得，即
将代入反比例函数，得
如图，过点A作轴于点M，过点D作轴于点N，则
一次函数的图象与y轴交于点B，，，
轴，即，
，即，，
，，，即，
，将D点坐标代入，得
存在.
由，得点C坐标为
，，，
可得，，，，
，，即，解得
易得点F在y轴负半轴上，则
在y轴上存在一点F，使得，点F的坐标为

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