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2025-2026学年第一学期九年级数学第三次月考试卷
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知是关于的一元二次方程，则满足（　　）
A． B． C． D．或
3．已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．如图在中,，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对称点恰好落在变上，连接，则度数是(　　)
A． B． C． D．
5．如图，是上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．5
6．如图，切于点，连接交于点，交于点，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点A顺时针旋转，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．从，，，四个数中随机抽取一个数，这个数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．无法确定
10．如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分函数图象如图所示，下列结论正确有（ ）个．
①；②；③方程的两个根是，；④当时，随增大而减小．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共24分，每小题3分）
11．若是方程的两个实数根，则的值为 ．
12．二次函数的图象的顶点坐标是 ．
13．如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是 ．
14．如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转得到，若四边形的面积为，，则的长度为 ．
15．若点与点关于原点成中心对称，则的值是 ．
16．如图，已知的直径，是的中点，与交于点．若是的中点，则弦的长是 ．
17．如图，正方形和正三角形内接于，和相交于点，则的度数为 °．
18．如图，对折边长为4的正方形纸片，为折痕，以点O为圆心，为半径作弧，分别交于E、F两点，则扇形的面积为 ．
三、解答题（共66分）
19．（8分）解方程：
(1) (2)．
20．（6分）如图，三个顶点的坐标分别为，，，
(1)求的面积；
(2)请画出关于原点O对称的，并写出各点的坐标．
21．（6分）某公司今年7月份的生产成本是500万元，由于改进生产技术，生产成本逐步下降，9月份的生产成本是405 万元，假设该公司7，8，9月份每个月生产成本的下降率都相同．
(1)求每个月生产成本的下降率；
(2)请你预测今年10月份该公司的生产成本．
22．（6分）如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．（6分）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，求四边形是菱形时的长．
24．（8分）如图，为四边形的外接圆，延长相交于点，直径弦于点，连接．
(1)若，求证：；
(2)求证：．
25．（8分）如图，是的直径，点C，D在上，且平分，过点D作的垂线，与的延长线相交于点E，与的延长线相交于点F．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
26．（8分）如图，是的直径，且，D为上一动点（不与点B、C重合）过点C作的切线交延长线于点A，E为中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
27．（10分）如图1，抛物线与轴交于A，B（点A在点B左侧），与轴相交于C．且，抛物线的顶点为M．

(1)（3分）求抛物线的解析式；
(2)（3分）点D为直线下方抛物线上一动点，连接交于E，求的最大值．
(3)（4分）如图2，直线与抛物线交于P，Q两点，点P关于直线的对称点为，直线与直线交点于点R，求证：的长为定值．
试卷第1页，共3页
答案
1-5 DBCDA 6-10 BBBCD
11． 12． 13． 14． 15． 16． 17．75 18．
19．(1)； (2)
20．（1）的面积为：；
（2）关于原点对称的点；关于原点对称的点；关于原点对称的点．
画出如图所示，
21．（1）设每个月生产成本的下降率为，
由题意得
解得，（舍）
答：每个月生产成本的下降率为；
（2）预测10月份生产成本：（万元）
答：预测10月份该公司的生产成本为364.5万元．
22．（1）由旋转的性质得，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴（）；
（2）∵，，
由（）知：，
∴，
∵，
∴．
23．（1）∵和关于点对称，
，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）连接，
∵和关于点对称，四边形是平行四边形；
∴三点共线，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．（1）连接，
直径弦于点，
，
垂直平分，
，
，
，
为等边三角形，
．
（2）由（1）得，
，
为四边形的外接圆，
，
，
，
，
．
25．（1）连接，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 是的半径，
∴ 与相切．
（2）连接，过作于，
∵ 是的直径，
∴ ，
在中，，
∵ 平分，，
∴ ，
由，
得，即，
在中，
26．（1）如图所示，连接，
∵，
∴；
∵是的直径，
∴，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴；
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）如图所示，连接，
∵点O和点E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
27．（1）令，则，
，
解得：，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）由得：
，，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线解析式为，
分别过A，D作轴的垂线分别交于F，G点，
则，，
设，则，
，
∵，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为4．
∴的最大值为．
（3）∵，
∴顶点，对称轴为直线，
设，，
点P关于直线的对称点，
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
直线的解析式为：
，
当时，，
由得：
，
∴，，
∴，
∵，
∴，为定值．
答案第1页，共2页

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