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17.1 平行四边形的性质
第十七章 平行四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
平行四边形
平行四边形的边、角性质
两条平行线之间的距离
平行四边形的对角线性质
平行四边形的面积与周长
知1－讲
感悟新知
知识点
平行四边形
1
1.平行四边形的定义及表示方法:
不能单独使用符号“ ”代替“平行四边形”
定义 图示 表示方法
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用 “ ”表示，如图 ，平行四边形 ABCD 记作“ ABCD”，读作 “平行四边形 ABCD” .
感悟新知
2. 平行四边形的基本元素：
知1－讲
基本元素 主要内容 图示
边 邻边 AD 和 AB， AD 和 DC， DC 和 BC， BC 和AB，共有四对
对边 AB 和 DC， AD 和 BC，共有两对 角 邻角 ∠ BAD 和∠ ADC，∠ ADC 和∠ DCB，∠ DCB和∠ ABC，∠ DAB 和∠ ABC，共有四对 对角 ∠ BAD 和∠ BCD，∠ ADC 和 ∠ ABC，共有两对 对角线 AC 和 BD，共有两条
感悟新知
知1－讲
特别解读
1.平行四边形的表示一定要按顺时针方向或逆时针方向依次注明各顶点，不能打乱顺序.
2. 平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法.
知1－练
感悟新知
如图 17.1-1，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且∠AEC= ∠AFC.
求证：四边形AECF是平行四边形．
例1
知1－练
感悟新知
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠AFC+ ∠FCB=180°．
∵∠AEC= ∠AFC，∴∠AEC+ ∠FCB=180°，∴AE∥ FC.
又∵AD∥BC，∴四边形AECF是平行四边形．
解题秘方：紧扣平行四边形定义中的“两要素”进行识别 .
知1－练
感悟新知
1-1.如图， 分别过△ ABC 的顶点 A， B，C 作对边 BC， AC， AB的平行线，交点分别为E，F， D. 请找出图中所有的平行四边形，并表示出来 .
解：平行四边形有 ABCD， AEBC， ABFC.
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知2－讲
知识点
平行四边形的边、角性质
2
1.平行四边形的性质定理 1：平行四边形的对边相等 .
数学语言： 如图 17.1-2，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB=CD， AD=BC.
感悟新知
知2－讲
2.平行四边形的性质定理 2： 平行四边形的对角相等 .
数学语言： 如图 17-1-2，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ A= ∠ C，∠ B= ∠ D.
知2－讲
感悟新知
拓展
1. 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心.
2. 平行四边形相邻两个内角互补.
3. 平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形.
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知2－练
如图17.1-3，在ABCD中，∠ABC=68°，BE平分∠ABC，交AD于点E．AB=2，ED=1.
(1)求∠A，∠C，∠D的度数；
(2)求BC的长．
例2
知2－练
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解题秘方：紧扣“平行四边形边、角的性质”进行解答.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D= ∠ABC=68°，∠A= ∠C，AD∥ BC.
∴∠A+ ∠ABC=180°. 又∵∠ABC=68°，
∴∠A=180°- 68°=112°. ∴∠C=112°.
(1)求∠A，∠C，∠D的度数；
知2－练
感悟新知
解： ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，∴∠AEB= ∠EBC.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE= ∠EBC.
∴∠ABE= ∠AEB.
∴AE=AB=2. ∴BC=AD=AE+DE=3.
(2)求BC的长．
知2－练
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2-1.如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ ABC 交AD 于点E，CF 平分∠ BCD 交AD于点F．
(1) 已知∠AEB=30°，求∠ D 的度数；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D＝∠ABC.
∴∠EBC＝∠AEB＝30°.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC＝60°.
∴∠D＝60°.
知2－练
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(2) 请你判断AE 与DF的数量关系并证明．
AE与DF相等．证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝DC.
∴∠AEB＝∠CBE，∠DFC＝∠BCF.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∴∠ABE＝∠AEB.∴AB＝AE.
同理可得DF＝DC.∴AE＝DF.
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知3－讲
知识点
两条平行线之间的距离
3
1. 定义：两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 .
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知3－讲
三种距离之间的区别与联系：
类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线间的距离
区别 连结两点的线
段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
联系 最后都归结为两点间的一条线段的长度
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知3－讲
2. 性质：平行线之间的距离处处相等 .
知3－讲
感悟新知
特别提醒
1.距离是指垂线段的长度，它是正值；
2. 当两条平行线确定后，它们之间的距离是一个定值，不随位置的不同而改变；
3. 平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置；
4. 任何两条平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是两条平行线间最短线段的长度.
知3－练
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[母题 教材P81 练习T2]如图 17.1-4， 直线 a ∥ b， 点 A， E， F 在直线 a上， 点 B， C， D 在直线 b 上， BC=EF. △ ABC 与 △ DEF 的面积相等吗？为什么？
例3
知3－练
感悟新知
解题秘方：紧扣等底等高的三角形的面积相等，作三角形的高进行说明 .
解：△ ABC 与△ DEF 的面积相等 .
理由如下：
如图 17.1-4，过点 A 作 AH1 ⊥直线 b，垂足为点 H1，
过点 D 作 DH2 ⊥直线 a，垂足为点 H2.
知3－练
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设△ ABC 和△ DEF 的面积分别为 S1 和 S2，
则 S1= BC· AH1， S2= EF· DH2.
∵直线 a ∥ b， AH1 ⊥直线 b， DH2 ⊥直线 a，
∴ AH1=DH2. 又∵ BC=EF，∴ S1=S2，
即△ ABC 与△ DEF 的面积相等 .
知3－练
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3-1. 如图，在 ABCD 中，对角线 BD= 8 cm， AE ⊥BD，垂足为 E，且 AE=3 cm， BC= 4 cm， 则AD 与 BC 之间的距离为_______ .
6 cm
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知4－讲
知识点
平行四边形的对角线性质
4
平行四边形的性质定理 3：平行四边形的对角线互相平分 .
数学语言： 如图 17.1-5，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA=OC= AC， OB=OD= BD.
知4－讲
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口诀
所有平行四边形，对边相等且平行；
两组对角都相等，每对邻角都互补;
至于两条对角线，互相平分记心中.
感悟新知
知4－练
[母题 教材P84 练习T2] 如图17.1-6， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AO上一点，连结BE，过D点作DF∥EB，交AC于点F.
求证：BE=DF.
例4
知4－练
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解题秘方：紧扣平行四边形对角线的性质进行解答.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD．
∵DF∥EB，∴∠OEB= ∠OFD．
又∵∠EOB= ∠FOD，
∴△OEB≌△OFD(AAS)．∴BE=DF．
知4－练
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4-1. 如图， ABCD 中，AC 交BD 于点O，过点O 的直线交AD 于点E，交BC 于点F．求证：AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∴△AEO≌△CFO(AAS)．∴AE＝CF.
知5－讲
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知识点
平行四边形的面积与周长
5
1. 面积：平行四边形的面积=底×高(底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)
示例 平行四边形的面积 S ABCD=BC·AE=CD·AF
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知5－讲
拓展
1. 平行四边形中由两条对角线分割成的四个小三角形：
(1)面积都相等；
(2) 相对的两个三角形全等；
(3) 相邻的两个三角形的周长之差的绝对值等于平行四边形的两条邻边长之差的绝对值.
2. 过平行四边形两条对角线的交点的直线平分这个平行四边形的周长和面积.
感悟新知
2. 周长：根据平行四边形的对边相等，可知平行四边形的周长等于两邻边和的 2 倍.
知5－讲
示例 平行四边形的周长 C ABCD=2(AB+BC)
感悟新知
知识拓展：平行四边形中的面积关系
知5－讲
图 示
条 件 O为ABCD对 角线的交点 P在ABCD的 边AD 上,且不 与端点重合 P为ABCD内 任意一点 EF经过ABCD
对角线的交点O
结 论 S1=S2=S3= S4= S ABCD S1+S3=S2= S ABCD S1+S3=S2+S4=12 S ABCD S四边形ABFE=S四边形CDEF
知5－练
感悟新知
[母题 教材 P84例7 ]如图 17.1-7，在 ABDC中，对角线AD，BC交于点O，若BD=8，且△BOD的周长比△ABO的周长多 2，则AB的长为( )
A. 4 B. 6
C. 8 D. 10
例5
知5－练
感悟新知
解：∵四边形ABDC是平行四边形，∴OA=OD．
∵△BOD的周长比△AOB的周长多 2，
∴BD+BO+DO-(AB+BO+AO)=2，即BD-AB=2．
又∵BD=8，∴AB=6.
解题秘方：先根据平行四边形性质得到OA=OD，再根据已知得到BD-AB=2，即可求解.
答案：B
知5－练
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5-1.如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD 相交于 O，且 AC+BD=36，AB=12，则△ OCD 的周长为( )
A. 30 B. 48
C. 28 D. 29
A
平行四边形的性质
表示方法
平行线间的距离
平行四边形
性质
定义

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