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人教版（2024）版数学8年级上册
第十三章 三角形
13.2.1 三角形的边
为什么设计师们这么青睐三角形呢？三角形的边之间是不是有着什么特殊奥秘，让它能在建筑中发挥大作用呢？今天，咱们就一起深入探究三角形的边，揭开它的神秘面纱 ！
定义 图示
角平分线
线段中点
垂线
O
B
A
A
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线
复
习
回
顾
13.2.1 三角形的边
生活中的“边”问题
观察下列生活场景，思考与三角形的边相关的问题：
1. 工人师傅用三根木条钉成三角形支架，为什么这样的支架不易变形？
2. 从学校到图书馆有三条路可走（如图），哪条路最短？
3. 盖房时，屋顶的三角形框架，其中两边的长度确定后，第三边的长度有什么限制？
这些问题都与三角形边的性质密切相关，今天我们就一起来探究。
一、三角形边的相关概念
结合△ABC，回顾并明确与边相关的基础内容：
1. 边的表示
组成△ABC的三条边分别为：AB、BC、CA。为了方便表述，通常把顶点A所对的边BC记作a，顶点B所对的边AC记作b，顶点C所对的边AB记作c。
2. 按边分类的三角形回顾
- 三边都不相等的三角形：三条边长度各不相同，如边长为2、3、4的三角形。
- 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两边叫腰，第三边叫底边（如AB=AC，AB、AC为腰，BC为底边）。
- 等边三角形：三条边都相等的三角形（特殊的等腰三角形，腰与底边相等）。
注意：等腰三角形中，“腰”和“底边”是相对的，取决于哪两条边相等；等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。
二、探究：三角形三边的关系
请大家动手操作，完成以下实验，思考三角形三边之间的数量关系：
实验1：用小木棒拼三角形
给出四组小木棒（长度单位：cm），尝试能否拼成三角形，并记录结果：
- 组1：3、4、5 —— 能拼成三角形
- 组2：2、3、6 —— 不能拼成三角形
- 组3：5、5、10 —— 不能拼成三角形
- 组4：4、6、8 —— 能拼成三角形
实验2：结合生活经验分析
从点A到点B，走线段AB直接到达，比走A→C→B的路线更近，这说明什么？（AC + CB > AB）
同理，从A到C，走线段AC比A→B→C近，即AB + BC > AC；从B到C，走线段BC比B→A→C近，即AB + AC > BC。
三、三角形三边关系定理及推论
三角形三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边。
数学表示：在△ABC中，a + b > c，a + c > b，b + c > a（a、b、c为三角形的三边）。
推论：三角形任意两边的差小于第三边
推导过程：由a + b > c，可得c < a + b；同时，由a + c > b，可得b - a < c；结合b + c > a，可得a - b < c。综合起来，任意两边的差小于第三边，即|a - b| < c，|a - c| < b，|b - c| < a。
应用技巧：判断三条线段能否组成三角形，只需验证“较短两边的和是否大于最长边”即可，无需逐一验证所有组合，简化计算。
例：判断线段3cm、4cm、7cm能否组成三角形？
解：较短两边为3cm、4cm，和为7cm，与最长边7cm相等，不满足“大于”，因此不能组成三角形。
四、定理应用：线段能否组成三角形
例1：下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 1cm、2cm、3cm B. 2cm、3cm、4cm C. 2cm、5cm、8cm D. 3cm、4cm、9cm
解题步骤：
1. 找出每组中最长的线段：A中3cm，B中4cm，C中8cm，D中9cm。
2. 计算较短两边的和，与最长边比较：
A. 1 + 2 = 3，不大于3 → 不能；
B. 2 + 3 = 5 > 4 → 能；
C. 2 + 5 = 7 < 8 → 不能；
D. 3 + 4 = 7 < 9 → 不能。
3. 答案：B
练习：若线段a=5cm，b=3cm，那么线段c的长度在什么范围内，才能与a、b组成三角形？
解：根据三边关系，|5 - 3| < c < 5 + 3，即2cm < c < 8cm。
五、定理应用：确定第三边的取值范围
例2：已知一个三角形的两边长分别为5和7，求第三边长x的取值范围。
解：根据三角形三边关系定理及推论：
7 - 5 < x < 7 + 5
即2 < x < 12
所以第三边长x的取值范围是2 < x < 12（x为正数）。
例3：已知等腰三角形的两边长分别为4和9，求该三角形的周长。
解题关键：等腰三角形需分情况讨论腰长和底边长，同时要满足三边关系。
情况1：若腰长为4，底边长为9，则三边为4、4、9。
验证：4 + 4 = 8 < 9，不满足三边关系，此情况不成立。
情况2：若腰长为9，底边长为4，则三边为9、9、4。
验证：9 + 4 = 13 > 9，9 + 9 = 18 > 4，满足三边关系，此情况成立。
周长：9 + 9 + 4 = 22。
等腰三角形求边长或周长时，必须分情况讨论，且每种情况都要验证是否符合三边关系，避免出现无效解。
六、实际应用：解决生活中的问题
例4：如图，A、B是两个村庄，要在河边修建一个水泵站C，使C到A、B的距离之和最小，请确定水泵站C的位置，并说明理由。
解决方案：
1. 作点A关于河边的对称点A'；
2. 连接A'B，与河边交于点C，点C即为所求水泵站的位置。
理由：根据轴对称性质，AC = A'C，因此AC + BC = A'C + BC。根据三角形三边关系，A'C + BC ≥ A'B（当且仅当C在A'B上时，等号成立），此时AC + BC最小。
例5：用一根长为15cm的细铁丝围成一个三角形，其中一边长为3cm，另外两边的长是整数，求另外两边的长。
解：设另外两边长分别为x cm、y cm（x ≤ y），则x + y + 3 = 15，即x + y = 12。
同时满足三边关系：
1. y - x < 3（两边差小于第三边）；
2. x + 3 > y（较短两边和大于最长边）。
结合x + y = 12，y = 12 - x，代入不等式：
12 - x - x < 3 → 12 - 2x < 3 → 2x > 9 → x > 4.5；
x + 3 > 12 - x → 2x > 9 → x > 4.5。
又因为x ≤ y，即x ≤ 12 - x → x ≤ 6。
x为整数，所以x = 5或6。
当x = 5时，y = 7；当x = 6时，y = 6。
因此，另外两边的长为5cm、7cm或6cm、6cm。
七、知识梳理
1. 核心定理
三角形任意两边的和大于第三边；任意两边的差小于第三边。
2. 关键应用
- 判断三条线段能否组成三角形（验证较短两边和大于最长边）；
- 确定三角形第三边的取值范围（两边差 < 第三边 < 两边和）；
- 解决等腰三角形的边长、周长问题（分情况讨论并验证三边关系）；
- 解决生活中的最短路径、最优方案等实际问题。
3. 易错点提醒
等腰三角形问题中，忽略三边关系验证会导致错误；判断线段能否组成三角形时，避免逐一验证所有边的组合，可直接用“较短两边和与最长边比较”简化运算。
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
放、
靠、
过、
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
画.
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
想一想
我们已经知道了三角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？
三角形中线的概念
知识点 1
　　如图， 点D 是BC 的中点，
则线段AD 是△ABC 的边BC上的中线.
几何语言：BD =DC = BC．
在三角形中，连接一个顶点与它所对边的中点的线段叫做作三角形这条边上的中线．
三角形的中线的定义
如上页图，画出△ABC 的另两条中线，观察三条中线，你有什么发现？
　　画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再分别画出这三个三角形的三条中线.
三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心．
三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形.
探究新知
1.定义：在三角形中，连接一个顶点和所对边的中点的线段叫作三角形的中线.
2.三角形的重心：三角形三条中线的交点.
3.三角形的重心在各三角形中的位置：在三角形内部.
4.三角形的任何一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如上图：AD为中线，则S△ABD=S△ACD.
5.三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形长边与短边之差.△ABD的周长–△ACD的周长=AB–AC.
归纳总结
探究新知
例 如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为(　　)
A.19 cm　 B.22 cm　 C.25 cm 　D.31 cm
解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)–(AC+CD+AD)=AB –AC.
∵△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，
∴△ACD的周长为25–6=19(cm).
利用三角形的中线求线段的值
素养考点 3
A
探究新知
　如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线．
(1)AC = AE ，AE=_____；
CD = ；
AF = AB；
(2)若S△ABC = 12 cm2，
则S△ABD = ．
(3)若AB=4，AC=3，则△ABD的周长与△ACD的周长之差是___.
2
BD
6 cm
A
B
C
D
E
F
G
EC
1
巩固练习
在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗 你能通过折纸的方法得到它吗
知识点 2
三角形的角平分线
探究新知
B
A
C
用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕AD即为三角形的∠A的平分线.
A
B
C
D
探究新知
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
“三角形的角平分线”是一条线段.
几何语言：∠1=∠2= ∠BAC.
三角形的角平分线的定义
探究新知
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系
做一做
探究新知
三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点.
三角形角平分线的性质
探究新知
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，
∴∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠ADB＝180°–∠B–∠BAD
＝180°–36°–34°
＝110°.
例 如图，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
D
C
素养考点 4
利用三角形的角平分线求角的度数
探究新知
如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，则：
∠1 = ；
∠3 = ；
∠ACB = 2 .
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
1
2
3
4
∠2
∠ABC
∠4
巩固练习
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
B
A
C
知识点 3
三角形高的概念
探究新知
三角形的高的定义
A
从三角形的一个顶点，
B
C
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
D
之间的线段
叫作三角形的高线，
简称三角形的高.
如右图， 线段AD是BC边上的高.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
几何语言：AD⊥BC于点D，读作AD垂直BC于点D或∠ADC=∠ADB=90°.
探究新知
你还能画出一条高来吗？
一个三角形有三个顶点，应该有三条高.
画一画
探究新知
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
O
(3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部
锐角三角形的三条高交于同一点；
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
如图所示；
锐角三角形的三条高
探究新知
直角边BC边上的高是 ;
直角边AB边上的高是 ;
(2) AC边上的高是 ;
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高，
AB
BC
它们有怎样的位置关系？
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
直角三角形的三条高
探究新知
(1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？
A
B
C
D
E
F
(2) AC边上的高呢？
AB边上呢？
BC边上呢？
BF
CE
AD
钝角三角形的三条高
探究新知
A
B
C
D
F
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？
(4)它们所在的直线交于 一点吗？
O
E
钝角三角形的三条高不相交于一点；
钝角三角形的三条高所在的直线交于一点.
探究新知
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形的三条高所在直线交于一点.
三条高所在直线的
交点的位置
三角形的三条高的特性：
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
三角形
内部
直角顶点
三角形
外部
探究新知
例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　)
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过三角形的一个顶点；(2)为顶点到其对边所在直线的垂线段.
D
素养考点 1
识别三角形的高
在下图中，正确画出△ABC 中边BC 上高的是( )
A B
C D
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
C
例2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____．
方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高， 此解题方法通常称为“面积法”．
素养考点 2
利用三角形的高求值
解析：当BP⊥AC时，BP的值最小.
∵S△ABC= BC·AD，S△ABC= AC·BP，
∴ BC·AD= AC·BP ∴BC·AD=AC·BP
∴6×4=5BP， BP= 所以BP的最小值为 .
三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 数量及交点位置
三角形 的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线. ∴ BD=CD= BC. 3条，交点叫作三角形的重心.三角形内
三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 ∵AD是△ABC的∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ∠BAC 3条，三角形内.
三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线. ∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°. 3条高，锐角三角形：三角形内；钝角三角形：三角形外；直角三角形：直角顶点
探究新知
1. 用三角尺画的边 上的高线，下列三角尺的摆放
位置正确的是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，在中，是高， 是
角平分线， 是中线.下列结论错误的
是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3. ［2025开封月考］下列说法正确的是( )
C
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于一点；
③三角形的三条高都在三角形的内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分
A. ①②④ B. ②③④ C. ②④ D. ①②③④
返回
（第4题）
4. ［2025莆田期中］如图所示的网格由
边长相同的小正方形组成，点， ，
，，，， 在小正方形的顶点上，
则 的重心是( )
A
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
返回
（第5题）
5.如图，已知是的中线， ，
，且的周长为12，则 的周长
是____.
10
返回
（第6题）
6.如图，在中，是 的
平分线，是 的平分线，若
的度数为 ，则 的
度数为____.
【点拨】是 的平分线，
是 的平分线，
, .
（第6题）
返回
7. 如图，是的中线，是
的中点，连接，若 的面积为
40，则图中阴影部分的面积是( )
A
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
【点拨】由是的中线可得 ，
再由是的中点可得 .
返回
8.母题教材P22复习题 如图，在
中，是高，平分 ，
， ，求 的
度数.
【解】是高， ，
.
， .
平分， ，
，
.
返回
9. 如图，在中，，为
的中点，延长交于点，为 上
的一点，于点 .下列判断正确的
有( )
A
是 的角平分线;
是边 上的中线;
为边 上的高.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
【点拨】①根据三角形的角平分线的概念，
知是的角平分线，是
的角平分线，故此判断错误；②根据三角
形的中线的概念，知是边 上
的中线，故此判断错误；③根据三角形的高的概念，知此判
断正确.故选A.
返回
（第10题）
10. 如图，在中， ,
平分,,垂足为,为
上一点，，则 的度数为
( )
D
A. B. C. D.
（第10题）
【点拨】平分, ,
. ,
,
.
, , .故选D.
返回
三角形重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
课堂小结
谢谢观看！

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