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人教版（2024）版数学8年级上册
第16章 整式的乘法
16.1.1 同底数幂的乘法
知道同底数幂的乘法法则.
能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行化简和计算.
16.1.1 同底数幂的乘法
16.1.1 同底数幂的乘法
探索指数运算的核心规律
—— 人教版八年级数学上册 ——
一、复习回顾：乘方的核心概念
1. 乘方的定义：求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
2. 幂的表示：n个a相乘记作a ，其中：
- a —— 底数（可以是数字、字母或多项式）
- n —— 指数（正整数，表示相同因数的个数）
- a —— 读作“a的n次幂”或“a的n次方”
小练习：说出下列幂的底数和指数，并计算结果
① 3 —— 底数：____ 指数：____ 结果：____
② (-2) —— 底数：____ 指数：____ 结果：____
③ a —— 底数：____ 指数：____ （a为任意有理数）
二、情境导入：发现新问题
问题1：一种电子计算机每秒可进行10 次运算，它工作10 秒可进行多少次运算？
分析：运算总次数 = 每秒运算次数 × 工作时间
列算式：10 × 10 = ？
思考：
10 和10 是“同底数幂”（底数都是10），它们的乘法运算没有现成法则，该如何计算？
这就是我们本节课要解决的核心问题——同底数幂的乘法。
三、探究活动：从特殊到一般
步骤1：根据乘方的意义计算下列式子，观察规律
① 2 × 2 = (2×2×2) × (2×2) = 2×2×2×2×2 = 2 = 2^(3+2)
② a × a = (a×a×a) × (a×a) = a×a×a×a×a = a = a^(3+2) （a为任意有理数）
③ 5 × 5 = 5×5×…×5（m个5） × 5×5×…×5（n个5） = 5×5×…×5（m+n个5） = 5^(m+n) （m、n为正整数）
小组讨论：观察上述等式，你发现了什么规律？
等式左边：____________________
等式右边：____________________
底数变化：____________________
指数变化：____________________
四、法则推导与总结
1. 一般形式推导（m、n为正整数）：
∵ a = a×a×…×a（m个a），a = a×a×…×a（n个a）
∴ a × a = (a×a×…×a（m个a）) × (a×a×…×a（n个a）)
= a×a×…×a（m+n个a）
= a^(m+n)
同底数幂的乘法法则
a × a = a^(m+n)
（m、n都是正整数）
文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加
关键提醒：法则适用前提——必须是“同底数幂”相乘！
五、法则拓展：多底数幂与特殊底数
1. 拓展到三个或多个同底数幂相乘
a × a × a = (a × a ) × a = a^(m+n) × a = a^(m+n+p) （m、n、p为正整数）
例：2 × 2 × 2 = 2^(2+3+4) = 2
2. 特殊底数的处理
- 底数为负数：(-a) × (-a) = (-a)^(m+n) （注意符号与指数的关系）
例：(-3) × (-3) = (-3)^(2+3) = (-3) = -243
- 底数为多项式：把多项式看成一个整体
例：(x+y) × (x+y) = (x+y)^(3+5) = (x+y)
- 底数互为相反数：可转化为同底数幂（利用符号法则）
例：(x-y) × (y-x) = (y-x) × (y-x) = (y-x)^5 （因(x-y) =(y-x) ）
六、法则应用：基础例题精讲
例1：计算下列各式（直接运用法则）
① 10 × 10 = 10^(5+6) = 10 （底数10不变，指数5+6）
② a × a = a^(7+3) = a （底数a不变，指数7+3）
③ (-2) × (-2) = (-2)^(4+5) = (-2) = -512 （底数-2不变，指数4+5，注意结果符号）
④ (x-y) × (x-y) = (x-y)^(1+4) = (x-y) （底数(x-y)不变，注意单独的(x-y)指数为1）
易错警示：不要混淆“同底数幂乘法”与“合并同类项”
错误：a + a = a （×） 正确：a + a = 2a （合并同类项，系数相加，字母和指数不变）
错误：a × a = 2a （×） 正确：a × a = a （同底数幂乘法，底数不变，指数相加）
七、进阶应用与课堂练习
例2：已知a =3，a =5，求a^(m+n)的值
解：根据同底数幂乘法法则，a^(m+n) = a × a = 3 × 5 = 15
课堂练习：计算下列各式（独立完成后小组核对）
1. 10 × 10 × 10 = ________________
2. (-5) × (-5) × (-5) = ________________
3. b × b + b × b = ________________
4. (a+b) × (a+b) × (a+b) = ________________
5. (x-2y) × (2y-x) = ________________
提示：第5题可利用(x-2y) = -(2y-x)转化为同底数幂
八、课堂小结：核心知识梳理
1. 核心法则
a × a = a^(m+n)
（m、n为正整数）
2. 文字口诀
同底相乘，底数不变
指数相加，牢记心间
3. 关键提醒
① 先判断是否为同底数幂
② 区分乘法法则与合并同类项
③ 特殊底数可转化后再运用法则
an
n 个 a 相乘
指数
底数
幂
a×a× ···×a =
这种求n个相同因数的积的运算叫作乘方；
乘方的结果叫作幂.
指出下列幂的底数和指数：
(–a)2 底数为 指数为_______；
a4 底数为 指数为_______；
(x – y)3 底数为 指数为_______；
(y – x)n 底数为 指数为_______；
–a
2
a
4
x – y
3
y – x
n
10( )
搭载国产芯片的“神威·太湖之光”是世界上首台运行速度超过每秒10亿亿次的超级计算机.
17
问题 一种电子计算机每秒可进行1亿亿 (1016) 次运算，它工作 103 s 可进行多少次运算？
我们该如何列式？
1016×103
1016×103
它与我们之前所列的乘法式子有什么区别？
① 两个因式都是幂的形式；
② 底数都是10.
像1016×103一样，相同底数的幂进行的乘法运算，叫作同底数幂相乘.
×(10×10×10)
1016×103
我们该如何计算？
（乘方的意义）
3个10
（乘法的结合律）
（乘方的意义）
16个10
=(10×10×···×10)
19个10
=10×10×···×10
=1019
探究
根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) 105×102 = 10( )；
(2) a3·a2 = a( )；
(3) 5m×5n = 5( ) (m，n是正整数).
7
5
m+n
乘数和积都是幂的形式
乘数和积的底数相同
积的指数等于乘数的指数和
am·an
猜一猜
对于底数 a 与正整数 m，n
底数不变指数相加
你能证明吗？
am·an =
am+n
= (a·a·····a)
· (a·a·····a)
( )个a
( )个a
= a·a·····a
( )个a
= am+n
m
n
m+n
同底数幂的乘法法则：
即同底数幂相乘，底数______，指数______.
结果：①底数不变
②指数相加
条件：①乘法
②底数相同
不变
相加
注意
一般地，对于任意底数 a 与任意正整数 m，n，
am·an = am+n (m、n都是正整数)
口算：
am·an = am+n
小试牛刀
(1) 103×104 ；
(2) a·a3 ；
(3) (–2)5×(–2)4 ；
(4) x2·x3 .
a = a1
= 107
= a4
= (–2)9
= x5
思考
你会计算下面的算式吗？
2×24×26 = _________________；
(2) a·a2·a5 = _________________.
21+4×26
a1+2·a5
三个或三个以上同底数幂相乘，也具有相同的性质：
= 25+6
= a3+5
= 211
= a8
am·an·····ap = am+n+···+p (m、n都是正整数)
小试牛刀
am·an·····ap = am+n+···+p
计算：
(1) 24×2×22 ；
(2) x·x3·x5
解：原式 = 24+1+2
解：原式 = x1+3+5
= 27
= x9
=128
能算出结果的要算出来
例1　计算：　
(3) (–2)×(–2)4×(–2)3 ；
(1) x2·x5；
(2) a·a6 ；
(4) xm·x3m+1.
解：(1) x2·x5
= x2+5
= x7
(2) a·a6
(3) (–2)×(–2)4×(–2)3
(4) xm·x3m+1
= a1+6
= a7
= (–2)1+4+3
= (–2)8
= 256
= xm+3m+1
= x4m+1
1.计算：
① b2·b ② 10×102×103 ③ –a2·a6
= b3
= 106
= –a8
④ –5×(–5)2×(–5)4
= (–5)7
练习
2. a16 可以写成（ ）
A. a8 + a6 B. a8·a2 C. a8·a8 D. a4·a4
C
同底数幂的乘方法则可以逆用，即am+m = am + an （m，n都是正整数）
知识点1 同底数幂的乘法运算
1.填空：
（1） .
（2）
_____.
7
1
7
返回
2.［2024苏州中考］计算： ____.
返回
3.下列各项中，两个幂是同底数幂的是( )
D
A.与 B.与
C.与 D.与
返回
4.［2025厦门期末］已知，则 的值是( )
C
A.32 B.16 C.4 D.2
返回
5.［教材P练习T 变式］计算：
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） ;
解：原式 .
（4） ；
解：原式 .
（5） ;
解：原式 .
（6） .
解：原式 .
返回
知识点2 逆用同底数幂的乘法法则
6.已知，，则____·_______·___ ____.
4
3
12
返回
7.［2025长沙期末］若，则 ____.
18
返回
8.［2025郑州期末］设，，则 ( )
A
A. B. C. D.
返回
9.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万
兆曰京.”说明了大数之间的关系：1亿万万，1兆万万
亿，1京万万 兆.则1京为( )
B
A. B. C. D.
返回
10.计算： ___________.
.
返回
11. 规定 .
（1）求 ；
解： .
（2）若，求 的值.
解： ，
， ，
， .
返回
12.已知，求 的值.
解： ，
， ，
, .
.
返回
课堂小结
同底数幂的乘法法则：
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
一般地，对于任意底数 a 与任意正整数 m，n，
am·an = am+n (m、n都是正整数)
am·an·····ap = am+n+···+p (m、n都是正整数)
三个或三个以上同底数幂相乘：
谢谢观看！

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