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人教版（2024）版数学8年级上册
第16章 整式的乘法
16.1.2幂的乘方与积的乘方
同底数幂相乘，底数______，指数______.
不变
相加
可推广：
am·an = _______ (m、n都是正整数)
am·an·····ap =_________(m、n都是正整数)
am+n
可逆用：
am+n+···+p
am+n =_________(m、n都是正整数)
am·an
16.1.2 幂的乘方与积的乘方
16.1.2 幂的乘方与积的乘方
深化指数运算规律的探索
—— 人教版八年级数学上册 ——
一、复习回顾：衔接旧知识
1. 同底数幂的乘法法则（核心回顾）：
若m、n为正整数，则 a × a = a^(m+n)
文字口诀：同底相乘，底数不变，指数相加
2. 快速计算（检验掌握情况）：
- ① 10 × 10 = ________ （底数不变，指数4+5）
- ② a × a = ________ （底数不变，指数3+7）
- ③ (-2) × (-2) = ________ （底数不变，指数2+3，注意符号）
3. 思考新问题：若遇到(a ) 这样的式子，该如何计算？它与a ×a 有何不同？
二、情境导入：引出幂的乘方
问题1：一个正方体的棱长为10 cm，它的体积是多少立方厘米？
分析：正方体体积 = 棱长×棱长×棱长 = (10 )×(10 )×(10 )
可简化为：(10 ) （3个10 相乘），这就是“幂的乘方”形式
问题2：若棱长为a ，体积可表示为(a ) ，该如何计算其结果？
带着这些问题，我们先探索“幂的乘方”的运算规律。
三、探究活动1：幂的乘方法则
步骤1：根据乘方的意义和同底数幂乘法法则计算下列式子，观察规律
- ① (2 ) = 2 × 2 = 2^(3+3) = 2^(3×2) = 2
- ② (a ) = a × a × a = a^(4+4+4) = a^(4×3) = a （a为任意有理数）
- ③ (10 ) = 10 × 10 × 10 = 10^(2+2+2) = 10^(2×3) = 10
- ④ (a ) = a × a × … × a （n个a 相乘） = a^(m+m+…+m) （n个m相加） = a^(m×n) （m、n为正整数）
小组讨论：对比(a ) 与a^(m×n)，你发现幂的乘方有什么规律？
等式左边：幂的乘方（底数是幂，指数是正整数）
等式右边：底数不变，指数为左边幂的指数与乘方的指数的乘积
四、法则总结1：幂的乘方
幂的乘方法则
对于任意正整数m、n，有 (a ) = a^(m×n)
文字表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘
基础例题：计算下列各式
- ① (10 ) = 10^(5×2) = 10 （底数10不变，指数5×2）
- ② (a ) = a^(3×4) = a （底数a不变，指数3×4）
- ③ [(-2) ] = (-2)^(2×3) = (-2) = 64 （先算内层，再用法则）
- ④ (x ) = x^(n×5) = x^(5n) （字母指数同样适用）
易错区分：(a ) vs a ×a
① (a ) = a^(3×2) = a （幂的乘方，指数相乘）
② a ×a = a^(3+2) = a （同底数幂乘法，指数相加）
五、情境导入：引出积的乘方
问题3：一个长方体的长为2×10 cm，宽为3×10 cm，高为4×10 cm，它的体积是多少？
分析：体积 = 长×宽×高 = (2×10 )×(3×10 )×(4×10 )
若先计算系数部分：2×3×4 = 24，再计算幂的部分：10 ×10 ×10 = 10^(3+2+2) = 10 ，最终体积为24×10 = 2.4×10 cm
问题4：若长方体的长、宽、高均为ab，体积可表示为(ab) ，该如何直接计算？这就是“积的乘方”形式。
六、探究活动2：积的乘方法则
步骤1：根据乘方的意义和乘法运算律计算下列式子，观察规律
- ① (2×3) = (2×3)×(2×3) = (2×2)×(3×3) = 2 ×3 = 4×9 = 36
- ② (ab) = ab×ab×ab = (a×a×a)×(b×b×b) = a ×b （a、b为任意有理数）
- ③ (-2×x) = (-2x)×(-2x)×(-2x)×(-2x) = (-2)^4 × x^4 = 16x
- ④ (a×b) = (ab)×(ab)×…×(ab) （n个ab相乘） = (a×a×…×a)×(b×b×…×b) （n个a和n个b分别相乘） = a ×b （n为正整数）
小组讨论：(ab) 与a b 的关系，积的乘方规律是什么？
等式左边：积的乘方（底数是乘积形式，指数是正整数）
等式右边：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
七、法则总结2：积的乘方
积的乘方法则
对于任意正整数n，有 (ab) = a ×b
文字表述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
拓展：(abc) = a b c （三个及以上因式的积的乘方，同样适用）
基础例题：计算下列各式
- ① (2×10 ) = 2 ×(10 ) = 4×10 （分别乘方，再相乘）
- ② (-3a) = (-3) ×a = -27a （注意系数的符号）
- ③ (2xy ) = 2 ×x ×(y ) = 16x y （结合幂的乘方法则）
- ④ (-a b) = (-1) ×(a ) ×b = -a b （单独的符号看作-1）
八、综合应用：法则融合运用
例1：计算 (a ) × a - (2a )
解：分步计算，先算乘方，再算乘法，最后算减法
① (a ) = a^(2×3) = a ；② a × a = a^(6+4) = a ；③ (2a ) = 2 ×(a ) = 4a ；④ 原式 = a - 4a = -3a
例2：计算 (-2x y) × (3xy )
解：① (-2x y) = (-2) ×(x ) ×y = 4x y ；② (3xy ) = 3 ×x ×(y ) = 27x y ；③ 原式 = 4x y × 27x y = (4×27)×(x ×x )×(y ×y ) = 108x y
例3：用简便方法计算 0.125 × 8
解：逆用积的乘方法则：a b = (ab)
原式 = (0.125×8) = 1 = 1
九、课堂练习：巩固提升
1. 计算下列各式（独立完成）：
1. ① (a ) = ________ ② (10 ) = ________ ③ [(-1) ] = ________
2. ④ (3a) = ________ ⑤ (-2xy) = ________ ⑥ (a b ) = ________
3. ⑦ (x ) × x = ________ ⑧ (2a ) - 3a = ________
2. 简便计算：2 × (1/2) = ________ （提示：逆用积的乘方，拆分指数）
3. 已知a =2，a =3，求(a ) × (a ) 的值（提示：先转化为含a 和a 的形式）
十、课堂小结：核心知识梳理
1. 两大法则对比
运算类型
法则表达式
核心口诀
幂的乘方
(a ) = a^(m×n) （m、n为正整数）
底数不变，指数相乘
积的乘方
(ab) = a b （n为正整数）
因式乘方，再相乘
2. 关键提醒
- ① 区分幂的乘方与同底数幂乘法（指数“相乘”vs“相加”）
- ② 积的乘方需将每个因式都乘方，包括系数和符号
- ③ 法则可逆用，如a b =(ab) ，可用于简便计算
- ④ 多法则综合运用时，遵循“先乘方，再乘除，后加减”的顺序
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 .木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
导入新知
V球= ，
其中V是体积、r是球的半径
10
103
＝边长2
＝边长×边长
S正
请分别求出下列两个正方形的面积.
幂的乘方的法则(较简单的)
S小
＝10×10
＝102
＝103×103
S大
=(103)2
知识点 1
= 106
请根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空.
观察计算的结果，你能发现什么规律？证明你的猜想.
(32)3= ___ ×___ ×___
=3( )+( )+( )
=3( )×( )
=3( )
32
32
32
2
2
2
2
3
6
猜想：(am)n=_____.
amn
(am)n
幂的乘方法则
(am)n= amn　
(m，n都是正整数)
即幂的乘方，底数______，指数＿__＿.
不变
相乘
=am·am·am…am
n个am
=am+m+…+m
n个m
证明猜想
运算 种类 公式 法则 中运算 计算结果 底数 指数
同底数幂的乘法
幂的乘方
乘法
乘方
不变
不变
指数
相加
指数
相乘
am · an = am+n
探究新知
例 计算：
解: (1) (103)5 = 103×5 = 1015.
(2) (a2)4 = a2×4 = a8 .
(3) (am)2 =am·2=a2m .
(3)(am)2；
(4)–(x4)3 =–x4×3=–x12.
(1)(103)5 ；
(2)(a2)4；
(4)–(x4)3；
(6)[(–x)4]3.
(5)[(x+y)2]3；
(5)[(x+y)2]3= (x+y)2×3 =(x+y)6 .
(6)[(–x)4]3= (–x)4×3 = (–x)12 = x12.
素养考点 1
幂的乘方的法则的应用
方法点拨
运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．在运算时，注意把底数看成一个整体，同时注意“负号”.
探究新知
计算：
① (103)7； ② (b3)4；
③ (xn)3； ④ –(x7)7
=103×7
=1021
=b3×4
=b12
=x3n
= –x7×7= –x49
⑤[(–x)3]3
=(–x)3×3= –x9
⑥[(–x)5]4
=(–x)5×4=(–x)20=x20
(–a5)2表示2个–a5相乘，结果没有负号.
(–a2)5和(–a5)2的结果相同吗 为什么
不相同.
(–a2)5表示5个–a2相乘，其结果带有负号.
n为偶数
n为奇数
知识点 2
幂的乘方的法则(较复杂的)
探究新知
想一想
下面这道题该怎么进行计算呢？
幂的乘方:
＝(a6)4
=a24
[(y5)2]2=______=________
[(x5)m]n=______=________
练一练：
(y10)2
y20
(x5m)n
x5mn
探究新知
例1 计算：
(1) (x4)3·x6;
(2) a2(–a)2(–a2)3＋a10.
解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18.
(2) a2(–a)2(–a2)3＋a10
= –a2·a2·a6＋a10
= –a10＋a10 = 0.
忆一忆有理数混合运算的顺序
先乘方，再乘除
先乘方，再乘除，最后算加减
底数的符号要统一
素养考点 1
有关幂的乘方的混合运算
探究新知
方法点拨
与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项．
探究新知
计算：
(1) (x3)4·x2 ； (2) 2(x2)n–(xn)2 ；
(3)[(x2)3]7 ； (4)[(–m)3]2 ·(m2) 4.
(1)原式= x12 ·x2
= x14.
(2)原式= 2x2n –x2n
=x2n.
(3)原式=(x6)7
= x42.
解：
(4)原式=(–m)3×2·m2×4
= m6·m8
= m14.
巩固练习
例2 已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.
(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n．
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27.
(2)102n＝(10n)2＝22＝4；
(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.
方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求值的式子正确变形，然后代入已知条件求值即可.
素养考点 2
指数中含有字母的幂的乘方的计算
探究新知
(1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值；
(2)已知2x＋5y–3＝0，求4x·32y的值．
解：(1) (x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.
(2) ∵2x＋5y–3＝0，
∴2x＋5y＝3.
∴4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
完成下列题目：
巩固练习
例3 比较3500,4400,5300的大小.
分析：这三个幂的底数不同,指数也不相同,不能直接比较大小,通过观察,发现指数都是100的倍数,可以考虑逆用幂的乘方法则.
解: 3500=(35)100=243100, 4400=(44)100=256100, 5300=(53)100=125100.
∵256100>243100>125100,
∴4400>3500>5300.
素养考点 3
幂的大小的比较
探究新知
方法点拨
比较底数大于1的幂的大小的方法有两种:
1. 底数相同,指数越大,幂就越大;
2. 指数相同,底数越大,幂就越大.
故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数的幂或同指数的幂，然后再进行大小比较.
探究新知
比较大小：233____322
233=(23) 11=811
，322=(32) 11=911 .
＜
∵811＜911，
∴233＜322.
巩固练习
解析：
1. 计算 的结果为( )
D
A. B. C. D.
2. 下列等式错误的是( )
D
A. B.
C. D.
3. 母题教材P99探究 不能写成( )
A
A. B. C. D.
返回
4. 若，则 ( )
C
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
5. 若，则， 满足的关系是( )
D
A. B. C. D.
6.若，，则 ____.
24
【点拨】， ，
.
返回
7.［2025东莞期中］若，则 的值是___.
4
【点拨】，， .
8.若正方体的棱长为 ，则它的体积为__________.
（用科学记数法表示）
返回
9.母题教材P101习题 计算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
10. 计算得，则与 的值可以是( )
C
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11. 计算 的结果是( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】 .
返回
12. ［2025周口月考］若 成立，则
( )
A
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【点拨】 ，
，， .
返回
幂的乘方
法则
(am)n=amn (m,n都是正整数)
注意
幂的乘方，底数不变，指数相乘
幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn;am ﹒an=am+n
幂的乘方法则的逆用：
amn=(am)n=(an)m
课堂小结
谢谢观看！

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