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(共34张PPT)
人教版（2024）版数学8年级上册
第16章 整式的乘法
16.3.1 平方差公式
从前有一个狡猾的地主，他把一块边长 x 米的正方形的土地租给老张种植。有一天，他对老张说：“我把这块地的一边减少 5 米，另一边增加 5 米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？” 老张答应了。
你认为老张吃亏了吗？
16.3.1 平方差公式
16.3.1 平方差公式
从多项式乘法到特殊公式的飞跃
—— 人教版八年级数学上册 ——
一、复习回顾：衔接前置知识
1. 核心法则回顾
多项式×多项式法则
逐项相乘，符号紧跟，积相加，再合并
示例：(x+2)(x-3)=x -3x+2x-6=x -x-6
特殊形式回顾
两数和×两数差：(a+b)(a-b)
上节课结论：(a+b)(a-b)=a -b
2. 快速计算（观察规律）
- ① (x + 1)(x - 1) = ________
- ② (2y + 3)(2y - 3) = ________
- ③ (5 + a)(5 - a) = ________
- ④ (3m + 2n)(3m - 2n) = ________
思考：上述算式和结果有什么共同特点？能否找到更简便的计算方法？
二、情境导入：感知公式应用价值
问题1：校园有一块边长为a的正方形草坪，为拓宽道路，将草坪的一边减少b米，另一边增加b米，改造后的草坪形状是怎样的？面积是多少？
问题2：改造后的草坪面积与原草坪面积相比，是增加了还是减少了？变化了多少？
边长：a
-b
+b
正方形草坪改造示意图
三、探究活动：推导平方差公式
步骤1：代数推导——从多项式乘法出发
计算(a + b)(a - b)，运用多项式乘法法则：
(a + b)(a - b) = a·a + a·(-b) + b·a + b·(-b) （逐项相乘）
= a - ab + ab - b （计算单项式乘积）
= a - b （合并同类项，-ab与+ab抵消）
结论：(a + b)(a - b) = a - b
步骤2：几何验证——从面积变化理解
原正方形面积：a
剪去一个边长为b的小正方形，面积：b
将剩余部分拼接为长方形，长：a + b，宽：a - b
拼接后长方形面积：(a + b)(a - b)
因此：(a + b)(a - b) = a - b
面积割补示意图
步骤3：总结公式结构特征
观察公式(a + b)(a - b) = a - b ，思考：
- 左边：两个二项式相乘，这两个二项式中一项完全相同（a），另一项互为相反数（b与-b）；
- 右边：相同项的平方减去互为相反数项的平方（相同项 - 相反项 ）。
四、法则总结：平方差公式
平方差公式
(a + b)(a - b) = a - b
文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
口诀：和乘差，平方差，相同项平方减相反项平方
公式中的“a”和“b”的含义：
- ① “a”和“b”可以是单独的数字或字母（如a=3，b=2；a=x，b=y）；
- ② “a”和“b”也可以是单项式或多项式（如a=2x，b=3；a=(x+y)，b=z）；
- ③ 关键是找准“相同项”和“相反项”，与位置无关。
五、基础应用：分类型例题解析
类型1：数字与字母的简单应用
例1：计算(3x + 2)(3x - 2)
分析：相同项为3x，相反项为2与-2，直接套用公式
解：(3x + 2)(3x - 2) = (3x) - 2 = 9x - 4
类型2：含负号的应用
例2：计算(-x + 5)(-x - 5)
分析：相同项为-x，相反项为5与-5，注意符号
解：(-x + 5)(-x - 5) = (-x) - 5 = x - 25
类型3：单项式作为“a”或“b”
例3：计算(2a - 3b)(2a + 3b)
分析：相同项为2a ，相反项为-3b与3b，先对单项式平方
解：(2a - 3b)(2a + 3b) = (2a ) - (3b) = 4a - 9b
类型4：多项式作为“a”或“b”
例4：计算(x + y - 1)(x + y + 1)
分析：将(x + y)看作一个整体（即“a”），1与-1是相反项
解：(x + y - 1)(x + y + 1) = [(x + y) - 1][(x + y) + 1] = (x + y) - 1 = x + 2xy + y - 1
六、易错辨析与进阶练习
易错点警示（判断对错并改正）
- ① (x + 2)(x - 3) = x - 4 （ ） 改正：____________________
- ② (2x + 3)(2x - 3) = 2x - 9 （ ） 改正：____________________
- ③ (-a - b)(a - b) = a - b （ ） 改正：____________________
- ④ (x + y)(x - y) = x - y （ ） 改正：____________________
进阶练习（独立完成）
1. ① (m - 4)(m + 4) = ____________________
2. ② (3x - 5y)(3x + 5y) = ____________________
3. ③ (a + 2b - 3)(a - 2b + 3) = ____________________
4. ④ 用平方差公式计算：2025×2023 - 2024
七、实际应用与公式逆用
应用1：解决实际问题
一个长方形菜园，长为(2x + 3)米，宽为(2x - 3)米，若x=5，求菜园的面积。
解：① 菜园面积 = 长×宽 = (2x + 3)(2x - 3) = (2x) - 3 = 4x - 9；
② 当x=5时，面积 = 4×5 - 9 = 4×25 - 9 = 100 - 9 = 91（平方米）。
应用2：公式逆用（分解因式初步）
已知x - y = 36，x + y = 9，求x - y的值。
解：逆用平方差公式：a - b = (a + b)(a - b)
因此x - y = (x + y)(x - y)，代入已知条件：
36 = 9×(x - y)，解得x - y = 4。
八、课堂小结与拓展
公式核心
结构特征：左边和×差，右边平方差
关键：找准相同项和相反项
易错点汇总
- 混淆公式结构，与完全平方公式混淆
- 单项式平方时漏算系数（如(2x) 算成2x ）
- 无法识别多项式作为“a”或“b”的情况
- 符号判断错误（如(-a - b)(a - b)算成a - b ）
知识拓展
1. 后续学习：完全平方公式（与平方差公式合称乘法公式）；
2. 公式应用：因式分解、代数式求值、简便计算等。
掌握平方差公式的结构与应用，体会从一般到特殊的数学思想，提升运算效率！
（1）(x + 1)(x – 1) = __________；
（2）(m + 2)(m – 2) = __________；
（3）(2m + 1)(2m – 1) = __________.
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
x2 – 1
m2 – 4
4m2 – 1
x2 – 1
m2 – 22
(2m)2 – 1
都是形如 a + b 的多项式与 a – b 的多项式相乘
运算结果都是这两个数的平方的差
猜想：
(a + b)(a – b) = a2 – b2
探 究
某同学在计算97×103时将其变成(100–3)×(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
观察与思考
多项式与多项式是如何相乘的？
(x ＋ 3)( x＋5)
=x2
＋5x
＋3x
＋15
=x2
＋8x
＋15.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
知识点
平方差公式
面积差变了吗？
a米
5米
5米
a米
(a–5)米
相等吗？
探究新知
①(x ＋ 1)( x–1)；
②(m ＋ 2)( m–2)；
③(2m＋ 1)(2m–1)；
④(5y ＋ z)(5y–z).
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
做一做
探究新知
x2 – 12
m2–22
(2m)2 – 12
(5y)2 – z2
这些计算结果有什么特点？
想一想
(a+b)(a b)=
a2 b2
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2
2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
探究新知
平方差公式
(a+b)(a–b)=(a)2–(b)2
相同为a
相反为b，–b
适当交换
合理加括号
探究新知
平方差公式
公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项
式或者多项式；
2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另
一项互为相反数；
3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
(a+b)(a– b)=
a2– b2.
温馨提示
探究新知
(1+x)(1–x)
(–3+a)(–3–a)
(0.3x–1)(1+0.3x)
(1+a)(–1+a)
a
b
a2–b2
1
x
–3
a
12–x2
(–3)2–a2
a
1
a2–12
0.3x
1
( 0.3x)2–12
(a–b)(a+b)
填一填
探究新知
口答下列各题：
(1)(–a+b)(a+b)=_________.
(2)(a–b)(b+a)= __________.
(3)(–a–b)(–a+b)= ________.
(4)(a–b)(–a–b)= _________.
a2–b2
a2–b2
b2–a2
b2–a2
做一做
探究新知
例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x–2 ) ；
(2)(–x+2y)(–x–2y).
(2) 原式= (–x)2 – (2y)2
= x2 – 4y2.
解： (1)原式=(3x)2–22
=9x2–4.
素养考点 1
利用平方差公式计算
易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.
探究新知
利用平方差公式计算：
(1)(3x–5)(3x＋5)； (2)(–2a–b)(b–2a)；
(3)(–7m＋8n)(–8n–7m)．
解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25.
(2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2.
(3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2.
巩固练习
例2 计算:(1) (x-1)(x+1)(x2+1)；
(2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) ；
(3) 102×98.
解: (1)原式=(x2-1)(x2+1)=x4-1.
(2)原式= y2–22–(y2+4y–5) = y2–4–y2–4y+5= – 4y + 1.
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
素养考点 2
利用平方差公式简便运算
探究新知
(3)原式=(100＋2)×(100–2) = 1002–22=10000 – 4=9996.
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) .
解: (1) 原式=(50＋1)×(50–1)
= 502–12
=2500 – 1
=2499.
(2) 原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)
= 9x2–16–6x2–5x+6
= 3x2–5x–10.
巩固练习
计算:
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)
原式＝5×12–5×22＝–15.
＝4x2–y2–4y2＋x2
＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时，
素养考点 3
利用平方差公式进行化简求值
探究新知
先化简,再求值: (3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1),其中x=2.
巩固练习
解：(3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1)
=9–x2+2(x2–1)
=9–x2+2x2–2
=7+x2.
当x=2时，
原式=7+22 =7+4=11.
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的整数倍．
解：原式＝9n2–1–(9–n2)
＝10n2–10.
∵(10n2–10)÷10=n2–1，
n为正整数，
∴n2–1为整数.
素养考点 4
利用平方差公式进行证明
探究新知
平方差公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
归纳总结
探究新知
巩固练习
对于任意一个正整数n，整式(2n+3)(3-2n)+(4n-1)(4n+
1)+10一定能被哪一个正整数整除？请说明理由．
解：一定能被6整除.理由：
(2n+3)(3-2n)+(4n-1)(4n+1)+10=9-4n2+16n2-1+10=
12n2+18=6(2n2+3).
∵n为正整数，
∴2n2+3为正整数.
∴整式(2n+3)(3-2n)+(4n-1)(4n+1)+10一定能被6整除.
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
∵a2＞a2–16，
解：李大妈吃亏了．
理由：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16，
∴李大妈吃亏了．
素养考点 5
利用平方差公式解决实际问题
探究新知
解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．
归纳总结
探究新知
如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形(a>b ),把余下的部分剪成一个长方形(如图2).通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,这个等式是( )
A. a2–b2 = (a+b) (a–b)
B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a–b)2=a2–2ab+b2
D. (a+2b)(a–b)=a2+ab–2b2
b
a
图1
b
a
图2
巩固练习
A
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( )
C
A. B.
C. D.
2. 下列多项式中，与相乘的结果为 的是
( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 已知，则 的值为
( )
A
A. 13 B. 3 C. D. 5
4. 若，则 的值为( )
D
A. 4 B. 2 C. D.
返回
5. 已知，，则与 的大小关
系是( )
A
A. B. C. D. 不能确定
【点拨】 ，
，
.
6.若，则， 的值分别为
_________.
，
返回
7. 教材P117习题 计算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
8.［2025厦门校级期中］先化简，再求值：
，其中， .
【解】
，
当， 时，原式
.
9. 三个连续偶数，中间一个数为 ，则这三个数的积为
( )
A
A. B.
C. D.
10. 已知,则 的值是( )
A
A. B. C. 9 D. 27
【点拨】 .
返回
11. 如果，那么 的值
为( )
D
A. B. C. 2 D.
12.［2025福州校级期中］若，满足 则式子
的值为____.
返回
13. 在一个艺术工作室中，
设计师正在进行一幅拼图作品的创作.他使用
了大小不同的正方形纸片来构建图案.如图，
12
其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起
时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是24，那么
阴影部分的面积是____.
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
1.符号表示：(a+b)(a–b)=a2–b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.
课堂小结
谢谢观看！

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