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人教版（2024）版数学8年级上册
第17章 因式分解
17.1 用提公因式法分解因式
某单人跳水选手完成了一个难度系数为 p 的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数 a，b，c，选手的得分可以怎样计算？
pa + pb + pc
p(a + b + c)
=
一个多项式
两个整式的乘积
17.1 用提公因式法分解因式
17.1 用提公因式法分解因式
从整式乘法到因式分解的逆向思维
—— 人教版八年级数学上册 ——
一、复习回顾：衔接前置知识
1. 核心整式乘法法则
单项式×多项式
m(a + b + c) = ma + mb + mc
示例：2x(3x - y) = 6x - 2xy
乘法公式
平方差：(a+b)(a-b)=a -b ；完全平方：(a±b) =a ±2ab+b
示例：(x+2) = x + 4x + 4
2. 逆向思考：从积到和差
观察下列等式，思考左右两边的关系：
- ① 6x - 2xy = 2x(3x - y)
- ② x + 4x + 4 = (x + 2)
- ③ ma + mb + mc = m(a + b + c)
思考：左边是多项式，右边是几个整式的积，这种变形与整式乘法有什么关系？
二、概念引入：认识因式分解
1. 因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2. 与整式乘法的关系
整式乘法：整式×整式 = 多项式（和差形式）；因式分解：多项式 = 整式×整式（积的形式），二者是互逆变形。
判断：下列变形是否为因式分解？
- ① x - 1 = (x + 1)(x - 1) （是）
- ② x + x - 1 = x(x + 1) - 1 （否，右边不是积的形式）
- ③ 2x y = 2x·xy （否，左边是单项式，不是多项式）
三、探究活动：确定公因式
1. 公因式的定义
多项式ma + mb + mc中，各项都含有的相同因式m，叫做这个多项式各项的公因式。
2. 公因式的确定方法（“三看”）
一看系数
取各项系数的最大公约数（若系数为负，通常取正）
示例：-6x + 4x，系数最大公约数为2
二看字母
取各项都含有的相同字母
示例：6x y - 2xy ，相同字母为x、y
三看指数
取相同字母的最低次幂
示例：6x y - 2xy ，x取1次，y取1次，即xy
练一练：确定下列多项式的公因式
- ① 3x + 6y （公因式：3）
- ② 7a b - 14ab （公因式：7ab）
- ③ -4x y + 8x y （公因式：-4x y ，或4x y ，通常取负号使括号内首项为正）
四、方法讲解：提公因式法分解因式
1. 提公因式法的定义
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个整式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2. 提公因式法的步骤
步骤：一找、二提、三查
1. 一找：确定多项式各项的公因式（按“三看”原则）；
2. 二提：把公因式提到括号外面，括号内为原多项式各项除以公因式的商；
3. 三查：检查括号内的多项式是否还能继续分解，且与公因式互质。
3. 典型例题解析
例1：分解因式 8a b - 12ab c
解：① 找公因式：系数最大公约数4，相同字母a、b，最低次幂a b ，公因式为4ab ；
② 提公因式：8a b ÷4ab = 2a ，12ab c÷4ab = 3bc；
③ 写结果：8a b - 12ab c = 4ab (2a - 3bc)；
④ 检查：括号内2a - 3bc无公因式，分解彻底。
例2：分解因式 -24x - 12x + 28x
解：① 找公因式：系数最大公约数4，相同字母x，最低次幂x ，考虑符号取-4x（使括号内首项为正）；
② 提公因式：-24x ÷(-4x)=6x ，-12x ÷(-4x)=3x，28x÷(-4x)=-7；
③ 写结果：-24x - 12x + 28x = -4x(6x + 3x - 7)。
例3：分解因式 3a(x - y) - 2b(x - y)
解：① 找公因式：将(x - y)看作一个整体，各项都含有的公因式为(x - y)；
② 提公因式：3a(x - y)÷(x - y)=3a，-2b(x - y)÷(x - y)=-2b；
③ 写结果：3a(x - y) - 2b(x - y) = (x - y)(3a - 2b)。
五、易错辨析与巩固练习
易错点警示（判断对错并改正）
- ① 3x + 6x = 3x(x + 2) （√）
- ② 5x - 5x = 5x(x - 0) （×，改正：5x(x - 1)，常数项不能漏）
- ③ -6x + 3x = -3x (2x + 1) （×，改正：-3x (2x - 1)，提负号后括号内变号）
- ④ 2a(x + y) + 3b(x + y) = (x + y)(2a + 3b) （√）
巩固练习（独立完成）
1. ① 分解因式：15a - 5a = ____________________
2. ② 分解因式：-2x y + 4x y - 2xy = ____________________
3. ③ 分解因式：4m(m - n) + 6n(n - m) = ____________________（提示：n - m = -(m - n)）
4. ④ 已知x + y = 5，xy = 3，求x y + xy 的值（提示：先分解因式再代入）。
六、课堂小结与拓展
核心知识
1. 因式分解：多项式→整式积；
2. 提公因式法：找→提→查；
3. 公因式：系数最大公约数+相同字母最低次幂。
易错点汇总
- 漏提系数的最大公约数或符号处理错误；
- 漏提相同字母的最低次幂；
- 提公因式后括号内漏写常数项“1”或“-1”；
- 不会将多项式整体看作公因式。
知识拓展
1. 提公因式法是分解因式的基础，后续将学习公式法分解因式；
2. 因式分解的应用：简便计算、解方程、代数式求值等。
掌握提公因式法，建立逆向思维模式，为后续因式分解学习奠定基础！
在小学，我们学过整数的素因数分解.
12 =___________.
6 =___________.
8 =___________.
30 =___________.
2×3
2×2×2
2×2×3
2×3×5
类似地，有时也需要将整式分解成几个因式乘积的形式.
知识点1 因式分解
（1）x2 + x = __________；
（2）x2 – 1 = _____________；
（3）x2 + 2x + 1 = __________.
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
想：整式的乘法
x(x + 1)
(x + 1)(x – 1)
(x + 1)2
像这样，把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
下列整式乘法与因式分解之间有什么关系？
（1）m(a + b + c) = ma + mb + mc，
ma + mb + mc = m(a + b + c)；
（2）(a－7)2 = a2 －14a + 49，
a2－14a + 49 = (a－7)2；
（3）(x + 3)(x－3) = x2 －9，
x2－9 = (x + 3)(x－3).
整式乘法
因数分解
m(a + b + c) = ma + mb + mc
(a－7)2 = a2 －14a + 49
(x + 3)(x－3) = x2 －9
ma + mb + mc = m(a + b + c)
a2－14a + 49 = (a－7)2
x2－9 = (x + 3)(x－3)
互为
逆变形
观察
下列多项式有什么共同特点？
相同因式 p
相同因式 x
它们的各项都有一个公共的因式 (p 或 x) ，我们把它叫作这个多项式各项的公因式.
观察
pa + pb + pc
p
x2 + x
x
p
p
x
知识点2 公因式
试一试，将它们写成几个因式的乘积.
pa + pb + pc
x2 + x
= p(a + b + c)
= x(x + 1)
怎么得到的？
(pa + pb + pc)÷p
(x2 + x)÷x
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
知识点3 提公因式法
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .不是因式分解的，请说明原因.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2–1=(x+1)(x–1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
巩固练习
pa+pb+pc
用提公因式法分解因式
多项式中各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式.
公共因式p
观察下列多项式，它们有什么共同特点？
x2＋x
公共因式x
知识点 2
探究新知
问题1：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
探究新知
找出 3x 2 – 6xy 的公因式.
系数：最大公因数.
3
字母：相同的字母.
x
所以这个多项式的公因式是3x.
指数：相同字母的最低次数.
1
如何确定一个多项式的公因式？
探究新知
问题2：
探究新知
(1)ax＋ay＋a； (2)3mx－6mx2； (3)4a2＋10ah；
(4)x2y＋xy2；　　 (5)12xyz－9x2y2.
解：（1）a；
（2）3mx;
(3)2a；
（4）xy；
（5）3xy
观察上面的公因式的特点，想一想确定公因式的方法？
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
找出多项式的公因式的正确步骤：
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
探究新知
归纳总结
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例1 把下列各式分解因式.
分析：提公因式法步骤(分两步)
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 2a(b+c) – 3(b+c).
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
素养考点 1
利用提公因式法分解因式
探究新知
解：(1) 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)；
如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？
另一个因式将是2a2b+3b2c，
它还有公因式是b.
(2) 2a(b+c)–3(b+c)
=(b+c)(2a–3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
探究新知
方法总结：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
因式分解：
(1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)–3(b＋c)；
(3) (a＋b)(a–b)–a–b.
(3)原式＝(a＋b)(a–b–1)．
解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)；
(2)原式＝(b＋c)(2a–3)；
巩固练习
把12x2y+18xy2分解因式.
解：原式 =3xy(4x + 6y).
错误
公因式没有提尽，还可以提出公因式2.
注意：公因式要提尽.
正解：原式=6xy(2x+3y).
小明的解法有误吗？
巩固练习
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
错误
注意：某项提出莫漏1.
解：原式 =x(3x–6y).
把3x2 – 6xy+x分解因式.
正解：原式=3x·x–6y·x+1·x
=x(3x–6y+1)
小亮的解法有误吗？
巩固练习
提出负号时括号里的项没变号.
错误
把 – x2+xy–xz分解因式.
解：原式= – x(x+y–z).
注意：首项有负常提负.
正解：原式= – (x2–xy+xz)
= – x(x–y+z)
小华的解法有误吗？
巩固练习
提取公因式分解因式的技巧：
①当公因式是多项式时，把多项式看成一个整体提取公因式；②分解因式分解到不能分解为止；③某一项全部提取后，不要漏掉“1”；④首项有负号常提负号；
⑤检查因式分解的结果是否正确，可用整式的乘法验证.
归纳总结
探究新知
例2 计算：
(1)39×37–13×91；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14.
(2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14)
＝20.16×100
＝2016.
＝13×20＝260；
解：(1)原式＝3×13×37–13×91
＝13×(3×37–91)
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
素养考点 2
利用因式分解进行简便运算
探究新知
=259
= 9900
(1)
992＋99
(2)
= 99×(99+1)
简便计算.
巩固练习
解：原式=259
解：原式=99×99+99
(3) 13.8×0.125+86.2×
解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
=0.125×(13.8+86.2)
=0.125×100
=12.5
例3 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.
素养考点 3
利用因式分解求整式的值
探究新知
已知a-b=5，ab=3，求a2b-ab2的值.
解: a2b+ab2 =ab(a-b)
=3 × 5
=15
巩固练习
1. 下列各式的变形中，表述正确的是( )
；
.
C
A. 都是因式分解
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解
返回
2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )
C
A.
B.
C.
D.
3. 多项式 因式分解时，应提取的公因式是
( )
A
A. B. C. D.
返回
4. 在处填入一个整式，使关于 的多项式
可以因式分解，则 可以为__________________
（写出一个即可）.
（答案不唯一）
返回
5. ［2025菏泽模拟］若 可以分解为
，那么 的值为( )
B
A. B. 1 C. D. 2
【点拨】
，
，， .
，故选B.
返回
6.母题教材P125练习 分解因式.
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
返回
7.利用简便方法计算：
（1） ；
【解】 .
（2） ．
返回
8. 计算 的值是( )
A
A. B. C. D. 0
9. 如果能被整除，则 的值可能是( )
B
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
【点拨】
，
则 的值可能是30.故选B.
返回
10. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多
项式的因式分解：___________________________.
11.［2025淄博月考］在分解因式时，甲看错了
的值，分解的结果是，乙看错了 的值，分解
的结果是，则 _____.
返回
提公因式法分解因式
定义
pa+pb+pc=p(a+b+c)
方法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
课堂小结
谢谢观看！

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