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人教版（2024）版数学8年级上册
第十八章 分式
18.1.2.1 分式的基本性质
1.什么是分数的约分？
2.什么是分数的通分？
如果把分数换为分式，又会如何呢？
约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数.
先找分子与分母的最简公分母，再使分子与分母同乘最简公分母，计算即可.
18.1.2.1 分式的基本性质
18.1.2.1 分式的基本性质
分式变形的核心依据
—— 人教版八年级数学上册 ——
一、复习回顾：衔接前置知识
1. 核心知识回顾
分式的定义
形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。
关键：分式有意义的条件是分母B≠0。
分数的基本性质
分数的分子与分母同乘（或除以）一个不为零的数，分数的值不变。
表示：$\frac{a}{b} = \frac{a \times c}{b \times c} = \frac{a \div c}{b \div c}$（c≠0）
思考：分数有基本性质，分式作为分数的“升级版”，是否也有类似的基本性质？如果有，需要注意什么？
二、核心探究：分式的基本性质
1. 分式基本性质的推导
类比分数基本性质，结合分式的特点（分母含字母），可得：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变。
$\frac{A}{B} = \frac{A \times C}{B \times C} = \frac{A \div C}{B \div C}$
注意事项：
- C是不等于零的整式（若C为零，分子分母同乘零会使分式无意义）；
- 应用性质时，分子与分母要同时进行同乘或同除运算，不能只变分子或只变分母；
- 同乘或同除的整式要乘遍分子、分母的每一项，不能漏乘某一项。
2. 辨一辨：下列变形是否正确？为什么？
- ① $\frac{x}{y} = \frac{x \times 2}{y \times 2}$（正确，C=2≠0，符合分式基本性质）
- ② $\frac{x}{y} = \frac{x + 2}{y + 2}$（错误，性质是“同乘或同除”，不是“同加或同减”）
- ③ $\frac{x}{y} = \frac{x \times (x + 1)}{y \times (x + 1)}$（错误，未说明x+1≠0，若x=-1则C=0，分式无意义）
- ④ $\frac{x^2}{xy} = \frac{x}{y}$（正确，分子分母同除以x，隐含x≠0的条件，因为原分式中xy≠0）
三、性质应用：分式的符号法则
1. 符号法则的推导
根据分式基本性质，结合有理数的符号法则，可得：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。
$\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}$
2. 符号法则的应用（化简分式符号）
例1：化简下列分式的符号
① $\frac{-x}{-y}$ ② $\frac{-x}{y}$ ③ $\frac{x}{-y}$ ④ $-\frac{-x}{y}$
解：① $\frac{-x}{-y} = \frac{x}{y}$（改变分子、分母两个符号，值不变）；
② $\frac{-x}{y} = -\frac{x}{y}$（改变分子与分式本身符号，或直接将负号提到分式前）；
③ $\frac{x}{-y} = -\frac{x}{y}$（改变分母与分式本身符号）；
④ $-\frac{-x}{y} = \frac{x}{y}$（改变分子与分式本身符号，负负得正）。
例2：将分式 $\frac{2 - x}{-x^2 + 1}$ 的分子分母化为正号开头的形式
解：分子2 - x = -(x - 2)，分母 -x + 1 = -(x - 1)；
原式 = $\frac{-(x - 2)}{-(x^2 - 1)} = \frac{x - 2}{x^2 - 1}$（分子分母同乘-1，值不变）。
小贴士：通常将分式的分子、分母按某一字母的降幂排列，且使最高次项的符号为正。
四、综合应用：利用性质化简分式
1. 化简分式的定义
把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分后得到的分式叫做最简分式（分子与分母没有公因式的分式）。
2. 化简分式的步骤
1. 一找：找出分子与分母的公因式（先提公因式，再看是否有公式可分解）；
2. 二约：根据分式基本性质，分子分母同除以公因式；
3. 三查：检查结果是否为最简分式，分子分母是否还有公因式。
3. 典型例题解析
例3：化简分式 $\frac{12a^2b^3}{18ab^2}$
解：① 找公因式：分子12a b ，分母18ab ，公因式为6ab ；
② 同除以公因式：$\frac{12a^2b^3 \div 6ab^2}{18ab^2 \div 6ab^2} = \frac{2ab}{3}$；
③ 检查：2ab与3无公因式，是最简分式。
例4：化简分式 $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$
解：① 分解因式找公因式：
分子x - 4 = (x + 2)(x - 2)，分母x + 4x + 4 = (x + 2) ，公因式为(x + 2)；
② 同除以公因式（x + 2 ≠ 0）：$\frac{(x + 2)(x - 2) \div (x + 2)}{(x + 2)^2 \div (x + 2)} = \frac{x - 2}{x + 2}$；
③ 检查：x - 2与x + 2无公因式，是最简分式。
五、易错辨析与巩固练习
易错点警示
- ① 忽略“C≠0”的条件：如$\frac{x}{y} = \frac{x(x - 3)}{y(x - 3)}$，未说明x≠3，当x=3时变形无意义；
- ② 混淆“同乘除”与“同加减”：认为$\frac{x + 1}{y + 1} = \frac{x}{y}$，违背分式基本性质；
- ③ 约分不彻底：如$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)^2}$，未约去公因式(x + 1)；
- ④ 符号处理错误：如$\frac{-x - y}{x + y} = 1$，正确结果应为-1，分子可化为-(x + y)，约去后得-1。
巩固练习（独立完成）
1. ① 下列变形正确的是（ ）
A. $\frac{x}{y} = \frac{x^2}{y^2}$ B. $\frac{x}{y} = \frac{xy}{y^2}$ C. $\frac{x}{y} = \frac{x + 3}{y + 3}$ D. $\frac{x}{y} = \frac{x - 3}{y - 3}$
2. ② 化简分式符号：$\frac{-a}{-b} = $______，$\frac{-a}{b} = $______，$-\frac{a}{-b} = $______；
3. ③ 化简分式：$\frac{15x^3y^2}{25x^2y^3} = $______，$\frac{x^2 - 9}{x - 3} = $______（提示：x≠3）；
4. ④ 已知分式$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x - 3}$，化简该分式，并说明x为何值时分式有意义。
六、课堂小结与拓展
核心知识
1. 分式基本性质：$\frac{A}{B} = \frac{A \times C}{B \times C} = \frac{A \div C}{B \div C}$（C≠0）；
2. 符号法则：改变分子、分母、分式本身任意两个符号，值不变；
3. 约分：约去分子分母公因式，化为最简分式。
思想方法
- 类比思想：由分数性质类比分式性质，降低抽象难度；
- 转化思想：通过约分将复杂分式转化为最简分式，简化运算；
- 整体思想：将多项式因式分解后，把因式看作一个整体约去。
知识拓展
1. 后续学习：利用分式基本性质进行分式的通分，为分式加减运算做准备；
2. 实际应用：化简分式可简化工程问题、行程问题中的数量关系计算；
3. 最简分式标准：分子分母没有公因式，包括不能再分解的多项式因式。
掌握分式基本性质是分式变形与运算的基础，牢记“C≠0”和“同乘除”两大关键点！
上面几个分数是否相等？
　 这些分数相等的依据是什么？
　　分数的基本性质.
　　相等.
问题1：
观察这几个分数：
分数的基本性质：
　　分数的分子、分母都乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变．
你能叙述分数的基本性质吗？
问题2：
　　一般地，对于任意一个分数 ，有
其中a， b， c 是数．
你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？
问题3：
解：（1）分式 的分子与分母乘同一个不等于 0 的整式 c，分式的值不变，即
例2 下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？
×c
×c
（2）分式 的分子与分母除以同一个不等于 0 的整式 x，分式的值不变，即
÷x
÷x
练习
下列从左到右的变形一定正确的是（ ）
×
×，c可能为0
√
×
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变．
乘（或除以）
不等于 0
同一个
C
例3 填空：
÷x2
分母如何变化，分子也应做同样的变化
x
÷3x
2x
解：（1）因为 所以括号中应填 x .
（2）因为
所以括号中应填 2x .
×a
a
×b
2ab – b2
（3）因为 所以括号中应填 a .
（4）因为
所以括号中应填 2ab – b2 .
分子分母同时进行；
分子、分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减；
分子、分母同乘或同除以同一个整式；
除式是不等于零的整式.
运用分式的基本性质的注意事项：
方法
练习
1. 填空：
÷x
9y
÷3xy
3y
×(x + y)
10a2b
×5a
x2 – y2
4. 填空：
÷a
b
÷b
a + 1
×2y
xy
×x
2y
【教材P141练习 第2题】
知识点 分式的基本性质
1.使得等式成立的 的取值范围是( )
D
A. B. C.或 D.
返回
2.［2025杭州期末］下列从左到右的变形一定正确的是( )
D
A. B. C. D.
返回
3.如图，对于分式中的四个符号，同时改变其中两个符号，
分式的值不变的是( )
B
A.①③ B.①② C.②③ D.②④
返回
4.［教材 例3变式］填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
返回
5.［教材 例2变式］下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质
变形的？
（1） ;
解：的分子与分母都乘同一个不等于0的整式 ，分式的值不变，
即 .
（2） ；
解：的分子与分母都除以同一个不等于0的整式 ，分式的值不变，
即 .
（3） .
解：的分子与分母都除以同一个不等于0的整式 ，分式的值
不变，即 .
返回
6.［教材习题 变式］不改变分式的值，使下列分式的分子和分母
都不含“-”号：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
返回
7.不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列变形正确的是
( )
B
A. B.
C. D.
返回
8.若把， 的值同时扩大为原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是
( )
C
A. B. C. D.
返回
9.［教材P练习T 变式］不改变分式的值，把下列分式的分子、分母
中各项的系数化为整数：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
10.对分式的变形，甲同学的做法是： ；
乙同学的做法是： .请根据分
式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确.
解：甲同学将分式的分子、分母同时除以 ，而由分式有意义可
知 ，所以甲同学的做法正确；乙同学将分式的分子、分母同
时乘，但 的值是否等于0是不确定的，所以乙同学的做法是
错误的.
返回
11. ［2024北京中考］已知 ，求代数式
的值.
解：原式 .
， ，
原式 .
返回
12.阅读下列材料：
已知，求分式 的值.
解：由题意知 ，
将分式的分子与分母同时除以 ，得
原式 ，
， ，
原式 .
根据上面的解题方法解决下面的问题：
若，求分式 的值.
解：由题意知， 将分式的分子与分母同时除以 ，
得原式 ，
，
原式 .
返回
课堂小结
其中 A，B，C (C ≠ 0) 是整式.
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变.
文字语言
符号语言
分式的基本性质：
课堂小结
分式的
基本性质
内容
注意
(1) 分子分母同时进行
(2) 分子分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减
(3) 分子分母只能同乘或同除以同一个非零的数或式
其中 A，B，C (C ≠ 0) 是整式
谢谢观看！

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