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人教版（2024）版数学8年级上册
第十八章 分式
18.1.2.2分式的约分和通分
知识点1 分式的约分、最简分式
想一想：分数约分关键的是什么？
约去分子分母的最大公因数
约去分子分母的最大公因式
联想分数的约分，由前面的练习，你能想出如何对分式进行约分吗？
思 考
18.1.2.2 分式的约分和通分
18.1.2.2 分式的约分和通分
分式运算的基础变形技巧
—— 人教版八年级数学上册 ——
一、复习回顾：分式变形的核心依据
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变。
$\frac{A}{B} = \frac{A \times C}{B \times C} = \frac{A \div C}{B \div C}$（C≠0）
前置知识链接
① 因式分解：提公因式法、平方差公式、完全平方公式；
② 最简分数：分子分母互质的分数（如$\frac{2}{3}$）。
思考：类比分数的约分和通分，如何利用分式基本性质实现分式的约分与通分？它们的目的分别是什么？
二、分式的约分：化繁为简的核心技巧
1. 相关定义
- 约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去的变形过程；
- 最简分式：分子与分母没有公因式的分式（类比最简分数），是约分的最终目标。
2. 约分的关键：找准公因式
公因式的确定方法（“三看”）：
1. 看系数：取分子、分母系数的最大公约数；
2. 看字母：取分子、分母中相同的字母；
3. 看指数：取相同字母的最低次幂。
注意：若分子或分母是多项式，需先因式分解，再找公因式！
3. 约分的步骤与例题
步骤总结：一分解（多项式因式分解）→ 二找公因式 → 三约去公因式 → 四验最简
例1：约分 $\frac{12a^3b^2c}{18a^2b^3d}$（分子分母为单项式）
解：① 找公因式：系数最大公约数6，相同字母a、b，最低次幂a 、b ，公因式为6a b ；
② 约去公因式：$\frac{12a^3b^2c \div 6a^2b^2}{18a^2b^3d \div 6a^2b^2} = \frac{2ac}{3bd}$；
③ 检验：2ac与3bd无公因式，是最简分式。
例2：约分 $\frac{x^2 - 4xy + 4y^2}{x^2 - 4y^2}$（分子分母为多项式）
解：① 因式分解：
分子$x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$（完全平方公式），分母$x^2 - 4y^2 = (x + 2y)(x - 2y)$（平方差公式）；
② 找公因式：$(x - 2y)$（x≠2y，保证分母不为零）；
③ 约去公因式：$\frac{(x - 2y)^2 \div (x - 2y)}{(x + 2y)(x - 2y) \div (x - 2y)} = \frac{x - 2y}{x + 2y}$；
④ 检验：x - 2y与x + 2y无公因式，是最简分式。
三、分式的通分：异分母变同分母的桥梁
1. 相关定义
- 通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式的变形过程；
- 最简公分母：通分时取的相同分母，是几个分式分母的最简公倍式（类比分数的最简公分母），是通分的核心。
2. 最简公分母的确定方法
最简公分母的确定（“三取”）：
1. 取系数：各分母系数的最小公倍数；
2. 取字母：各分母中所有出现的字母（或含字母的式子）；
3. 取指数：各字母（或含字母的式子）的最高次幂。
若分母是多项式，需先因式分解，再按上述方法确定最简公分母！
3. 通分的步骤与例题
步骤总结：一分解（分母因式分解）→ 二找最简公分母 → 三同乘变形（分子分母同乘最简公分母与原分母的商）
例3：通分 $\frac{1}{2a^2b}$ 与 $\frac{3}{4ab^2}$（分母为单项式）
解：① 找最简公分母：系数最小公倍数4，字母a、b，最高次幂a 、b ，最简公分母为4a b ；
② 分别变形：
$\frac{1}{2a^2b} = \frac{1 \times 2b}{2a^2b \times 2b} = \frac{2b}{4a^2b^2}$（4a b ÷ 2a b = 2b）；
$\frac{3}{4ab^2} = \frac{3 \times a}{4ab^2 \times a} = \frac{3a}{4a^2b^2}$（4a b ÷ 4ab = a）。
例4：通分 $\frac{x}{x^2 - 1}$ 与 $\frac{1}{x^2 + 2x + 1}$（分母为多项式）
解：① 因式分解分母：
$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$，$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$；
② 找最简公分母：$(x + 1)^2(x - 1)$（取所有因式的最高次幂）；
③ 分别变形：
$\frac{x}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x \times (x + 1)}{(x + 1)(x - 1) \times (x + 1)} = \frac{x(x + 1)}{(x + 1)^2(x - 1)} = \frac{x^2 + x}{(x + 1)^2(x - 1)}$；
$\frac{1}{(x + 1)^2} = \frac{1 \times (x - 1)}{(x + 1)^2 \times (x - 1)} = \frac{x - 1}{(x + 1)^2(x - 1)}$。
四、约分与通分的对比：本质与应用
对比维度
分式的约分
分式的通分
核心依据
分式基本性质（同除不为零的整式）
分式基本性质（同乘不为零的整式）
变形目标
分子分母无公因式（最简分式）
异分母化为同分母（最简公分母）
关键步骤
找公因式
找最简公分母
应用场景
分式乘除运算、化简分式
分式加减运算
五、易错辨析与巩固练习
易错点警示
- ① 约分漏约多项式因式：如$\frac{(x + 2)(x - 2)}{2(x + 2)}$只约去系数，未约去(x + 2)；
- ② 最简公分母确定错误：分母为多项式时未先因式分解，如$\frac{1}{x^2 - 1}$与$\frac{1}{x - 1}$的最简公分母错取为(x - 1)(x - 1)；
- ③ 通分只变分母不变分子：如$\frac{1}{2x}$通分为$\frac{1}{4x^2}$，未将分子同乘2x；
- ④ 忽略分母不为零的条件：约去含字母的公因式时，未说明字母取值范围（如$\frac{x(x - 1)}{(x - 1)}$约分后需注明x≠1）。
巩固练习（独立完成）
1. ① 约分：$\frac{24x^3y}{-18x^2y^2} = $______，$\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9} = $______；
2. ② 通分：$\frac{3}{2x^2y}$与$\frac{5}{3xy^2}$的最简公分母是______，通分后分别为______和______；
3. ③ 通分：$\frac{1}{x^2 - 4}$与$\frac{x}{4 - 2x}$，并说明x的取值范围。
六、课堂小结与拓展
核心知识
1. 约分：找公因式→约去→验最简；
2. 通分：分解分母→找最简公分母→同乘变形；
3. 关键：多项式先因式分解，牢记分母不为零。
思想方法
- 类比思想：由分数的约分通分类比分式的相关变形；
- 转化思想：将异分母分式转化为同分母分式，将复杂分式转化为最简分式；
- 整体思想：将因式分解后的多项式看作一个整体处理。
知识拓展
1. 后续应用：约分是分式乘除的基础，通分是分式加减的基础；
2. 复杂场景：多个分式通分（如三个分式找最简公分母）；
3. 实际价值：简化分式表达，方便后续运算与求值。
约分找公因式，通分找最简公分母，分式变形的核心是紧扣基本性质，牢记分母不为零！
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.
÷x2
÷3x
分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式．　
例4 约分：
分析：
当分子、分母都是单项式时，先看系数；
–25
15
5
再找相同字母的最低次幂.
a bc
ab c
abc
当分子或分母中有系数为小数或分数时，需先化为整数；
没有公因式，是最简分式
分式的约分，一般要约去分子和分母的所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式.
分析：
当分子或分母是多项式时，先分解因式；
再找公因式.
x + 3
x + 3
x – y
x – y
2
3
3
约分的步骤：
若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
1
2
若分子或分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式.
注意：
（1）约分前后分式的值要相等；
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式；
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
归纳
知识点2 分式的通分
想一想：分数通分的关键是什么？
确定分母的最小公倍数
找最简公分母
分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值.
12
联想分数的通分，由下面的式子，你能想出如何对分式进行通分吗？
思 考
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫作最简公分母.
通分的步骤
确定各分式的最简公分母.
1
3
用所得的商去乘原各分式的分子、分母
2
用这个最简公分母除以各分式的分母.
通分的依据
分式的基本性质
方法
例5 通分：
最简公分母：
当各分母是单项式时，
整数系数的最小公倍数
2
3
相同字母的最高次幂
a2
b2
单独出现的字母(连同其指数)
c
×
×
6
a2b2
c
用最简公分母除以各分式的分母：
1
2
(6a2b2c)÷(2a2b) = _____
(6a2b2c)÷(3ab2c) = ____
3bc
2a
先分解因式：
当各分母中有多项式时，
再按单项式的方法求最简公分母：
2(x + 5)(x – 5)
约分 通分
分数 找分子与分母的 _____________ 找所有分母的
____________
分式 找分子与分母的 _____________ 找所有分母的
____________
依据 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？
思 考
最大公因数
最小公倍数
公因式
最简公分母
分数/分式的基本性质
知识点1 分式的约分
1.化简 的结果为( )
B
A. B. C. D.
返回
2.［2025南阳月考］对下列分式的约分，正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3.［教材 例4变式］约分：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
返回
知识点2 最简分式
4.下列分式中是最简分式的是( )
C
A. B. C. D.
返回
5.有分别写有，， 的三张卡片，若从中任选一张，将其上写
有的式子作为分式 的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有
___的卡片.
返回
知识点3 最简公分母
6.确定最简公分母：
（1）与 的最简公分母是______；
（2）与 的最简公分母是______________；
（3）与 的最简公分母是_______；
（4）与 的最简公分母是___________.
返回
知识点4 分式的通分
7.若将分式与通分，则分式 的分子应变为( )
A
A. B.
C. D.
返回
8.通分：
（1）1， ；
解：最简公分母是 ,
， .
（2）， ；
解：最简公分母是 ,
， .
（3）， ；
解：最简公分母是 ,
，
.
（4）， .
解：最简公分母是 ,
，
.
返回
9.已知分式，，是这两个分式中分母的公因式， 是这两个分
式的最简公分母，则 ( )
D
A. B.
C. D.或
返回
10.如图，若为正整数，则表示分式 的值的点落在( )
B
A.①处 B.②处 C.③处 D.④处
返回
11.已知分式与的最简公分母是，则分母 是__________
__________________________________.
或或或
返回
12.约分：
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
返回
13.通分：
（1）与 ；
解：最简公分母是,, .
（2）与 .
解：最简公分母是, ,
.
返回
14.甲完成某项工作需要 天，乙完成这项工作要比甲多用8天，
若工作总量为1，分别写出表示甲、乙两人工作效率的式子，若两式的
分母不同，则将两个式子进行通分.
解：甲的工作效率为 ，
乙的工作效率为 .
， .
返回
15. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分
式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.
（1）下列分式：；；； .其中是“和谐分
式”的是____（填写序号即可）；
（2）若为正整数，且为“和谐分式”，则 的值为___；
②
4
（3）在下列三个整式中，任意选择两个式子构造分式，分别作为分子、
分母，要求构造的分式是“和谐分式”，写出所有符合要求的分式.
;; .
解：, ,
易得构造的“和谐分式”是或 .
返回
课堂小结
约分
方法
依据
结果
分子和分母同时除以它们的公因式
分式的基本性质
最简分式或整式
通分
确定各分式的最简公分母
用这个最简公分母除以各分式的分母
用所得的商去乘原各分式的分子、分母
1
3
2
谢谢观看！

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