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人教版（2024）版数学8年级上册
第十八章 分式
18.4.1负整数指数幂
你能使用两种不同的方法计算 a3÷a5 吗？
a3÷a5
= a3 – 5 = a–2
分式的约分
am÷an = am-n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)
18.4.1 负整数指数幂
一、教学目标
1. 知识与技能：理解负整数指数幂的定义，掌握\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)（\(a≠0\)，\(n\)为正整数）的核心表达式；熟练运用整数指数幂的运算性质进行计算；能用科学记数法表示绝对值较小的数。
2. 过程与方法：通过类比正整数指数幂的运算，经历“观察—推导—归纳—应用”的过程，培养类比推理和知识迁移能力，体会从特殊到一般的数学思想。
3. 情感态度与价值观：感受数学知识的连贯性，激发探究兴趣，培养严谨的思维习惯和应用数学的意识。
二、教学重难点
- 重点：负整数指数幂的定义及整数指数幂运算性质的应用；用科学记数法表示绝对值较小的数。
- 难点：理解负整数指数幂的本质意义；复杂运算中符号和指数的正确处理。
三、教学过程
（一）复习导入：引发认知冲突（5分钟）
1. 回顾旧知：我们已学过正整数指数幂，思考以下问题：
- 正整数指数幂的意义：\(a^n\)（\(n\)为正整数）表示______，如\(2^3 = 2×2×2 = 8\)。
- 同底数幂的除法法则：\(a^m ÷ a^n = a^{m - n}\)（\(a≠0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m > n\)），如\(5^5 ÷ 5^3 = 5^{5 - 3} = 5^2 = 25\)。
2. 提出疑问：当\(m < n\)时，法则还成立吗？比如计算\(2^3 ÷ 2^5\)，若按法则可得\(2^{3 - 5} = 2^{-2}\)，但\(2^{-2}\)表示什么含义？这就是我们今天要解决的问题——负整数指数幂。
（二）新知探究：负整数指数幂的定义（10分钟）
1. 定义推导：从分数与除法切入
以\(2^3 ÷ 2^5\)为例，从两个角度计算：
- 角度一：分数约分：根据除法与分数的关系，\(2^3 ÷ 2^5 = \frac{2^3}{2^5}\)；分子分母同含\(2^3\)，约分后得\(\frac{2^3}{2^3×2^2} = \frac{1}{2^2}\)。
- 角度二：同底数幂除法法则：若保持法则适用性，\(2^3 ÷ 2^5 = 2^{3 - 5} = 2^{-2}\)。
由此可得：\(2^{-2} = \frac{1}{2^2}\)。
推广到一般情况：对于任意非零数\(a\)和正整数\(n\)，规定\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)（\(a≠0\)，\(n\)为正整数）。
2. 定义解读
- 文字语言：任何不等于0的数的\(-n\)（\(n\)为正整数）次幂，等于这个数的\(n\)次幂的倒数。
- 符号语言：\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)（\(a≠0\)，\(n\)为正整数），反之\(\frac{1}{a^n} = a^{-n}\)（可逆性）。
- 关键注意：底数\(a\)不能为0，因为\(a^n\)在分母上，0的正整数次幂为0，分母为0无意义；\(n\)必须是正整数。
3. 即时小练：基础计算
计算下列各式：
1. \(3^{-2}\)：解：\(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\)；
2. \((\frac{1}{2})^{-3}\)：解：\((\frac{1}{2})^{-3} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^3} = 8\)（技巧：底倒指反，\((\frac{1}{a})^{-n} = a^n\)）；
3. \((-2)^{-4}\)：解：\((-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}\)（注意符号：负数的偶次幂为正）。
（三）知识拓展：零指数幂的补充（5分钟）
1. 推导：计算\(a^m ÷ a^m\)（\(a≠0\)，\(m\)为正整数）：
- 除法本质：非零数除以自身，结果为1，即\(a^m ÷ a^m = 1\)；
- 法则应用：\(a^m ÷ a^m = a^{m - m} = a^0\)。
2. 规定：\(a^0 = 1\)（\(a≠0\)），即任何不等于0的数的0次幂都等于1；0的0次幂无意义。
小练：\(5^0 × 2^{-1} = 1 × \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)。
（四）性质推广：整数指数幂的运算性质（10分钟）
引入负整数指数幂和零指数幂后，正整数指数幂的运算性质可推广到全体整数（\(m\)、\(n\)为整数，\(a≠0\)、\(b≠0\)），列表如下：
运算性质
符号表示
示例验证
同底数幂相乘
\(a^m · a^n = a^{m + n}\)
\(a^3 · a^{-2} = a^{3 + (-2)} = a^1 = a\)，与\(a^3 · \frac{1}{a^2} = a\)一致
同底数幂相除
\(a^m ÷ a^n = a^{m - n}\)
\(a^2 ÷ a^5 = a^{2 - 5} = a^{-3} = \frac{1}{a^3}\)，与约分结果一致
幂的乘方
\((a^m)^n = a^{mn}\)
\((a^{-2})^3 = a^{-6} = \frac{1}{a^6}\)，与\((\frac{1}{a^2})^3 = \frac{1}{a^6}\)一致
积的乘方
\((ab)^n = a^n b^n\)
\((2a)^{-3} = 2^{-3} a^{-3} = \frac{1}{8a^3}\)，与\(\frac{1}{(2a)^3} = \frac{1}{8a^3}\)一致
技巧总结：混合运算时，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的，结果一般化为正整数指数幂形式。
（五）应用实践：例题与练习（12分钟）
1. 例题1：整数指数幂的混合运算
计算：\((-3)^{-2} × (2^3)^{-1} ÷ (-1)^0\)
解题步骤：
- 第一步：分别计算各部分幂的值：\((-3)^{-2} = \frac{1}{9}\)，\((2^3)^{-1} = 2^{-3} = \frac{1}{8}\)，\((-1)^0 = 1\)；
- 第二步：按运算顺序计算：\(\frac{1}{9} × \frac{1}{8} ÷ 1 = \frac{1}{72}\)。
2. 例题2：科学记数法的应用
用科学记数法表示下列各数：
- （1）0.00002；（2）-0.000125
方法：绝对值较小的数表示为\(a×10^{-n}\)（\(1≤|a|<10\)，\(n\)为正整数，\(n\)等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数）。
解答：
- （1）0.00002 = 2×10^{-5}（左边有5个零）；
- （2）-0.000125 = -1.25×10^{-4}（左边有4个零）。
3. 巩固练习
1. 计算：\((\frac{1}{3})^{-2} - (π - 3.14)^0 + (-2)^3\)（答案：9 - 1 - 8 = 0）；
2. 用科学记数法表示：0.0000036 = ______（答案：3.6×10^{-6}）。
（六）课堂总结与拓展（3分钟）
1. 知识梳理
- 核心定义：\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)（\(a≠0\)，\(n\)为正整数）；\(a^0 = 1\)（\(a≠0\)）；
- 运算性质：正整数指数幂性质推广到全体整数；
- 实际应用：科学记数法表示小数。
2. 易错提醒
- 避免“\(5^{-2} = -25\)”这类错误，牢记负指数幂表示倒数而非负数；
- 底数为分数时，运用“底倒指反”简化计算，如\((\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n\)。
3. 作业布置
- 基础题：教材对应习题，计算整数指数幂运算；
- 拓展题：查阅资料，了解负整数指数幂在物理（如电阻单位换算）中的应用。
四、教学反思（教师用）
1. 需关注学生对“负指数意义”的理解，通过多组实例推导强化认知；
2. 混合运算中，学生易混淆运算顺序和符号，应通过分步演示和错题辨析突破难点；
3. 科学记数法中\(n\)的确定是易错点，可通过“数零的个数”口诀辅助记忆。
一般地，当n 是正整数时，
这就是说， a–n (a ≠ 0) 是 an 的倒数.　　　
数学中规定：
试说说当 m 分别是正整数、0、负整数时，am 各表示什么意义？
当 m 是正整数时，am 表示 m 个 a 相乘；
当 m 是 0 时，am 即为 a0，值为 1；
当 m 是负整数时，am 即为 a –m 的倒数.
归纳
如无特别说明，本套书中涉及的负整数指数幂的底数均不为0.
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数.
知识点2 整数指数幂及其运算
引入负整数指数和 0 指数后，正整数指数幂的运算性质能否推广到 m，n 是任意整数的情形？
思 考
① am·an = am+n (m，n是正整数)
② (am)n = amn (m，n是正整数)
③ (ab)n = anbn (n是正整数)
④ am÷an = am–n (a ≠ 0，m，n是正整数，m＞n)
⑤ (n是正整数)
例如：
a3·a–5
a–3·a–5
a0·a–5
= a–2
= a3+(–5)
= a–8
= a(–3) +(–5)
= a–5
= a0 +(–5)
am·an = am+n
(1)当m，n分别为正整数和负整数时，
(2)当m，n均为负整数时，
(3)当m，n分别为零和负整数时，
对于m，n是任意整数的情形仍然适用.
探 究
类似地，用负整数指数幂或 0 指数幂对其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试.
例如：
(a–3)2
= a–6
= a(–3)×2
(ab)–3
= a–3 · a–3
a–2÷a –4
= a2
= a(–2) – (–4)
即，整数指数幂有以下运算性质：
① am·an = am+n (m，n是整数)
② (am)n = amn (m，n是整数)
③ (ab)n = anbn (n是整数)
④ am÷an = am–n (a ≠ 0，m，n是整数)
⑤ (n是整数)
归纳
例1 计算：(1) a–2÷a5；
(3) (a–1b2)3；
(4) a–2b2·(a2b–2)–3.
解：(1) a–2÷a5
= a–2 – 5
= a–7
(3) (a–1b2)3
= a–3b6
(4) a–2b2·(a2b–2)–3
= a–2b2·a–6b6
= a–8b8
整式指数幂的运算结果一般用正整数指数幂来表示.
由于负整数指数的出现，使得：
方法
am÷an = am·a–n = am–n
除法
乘法
转化
同底数幂的：
商的乘方
积的乘方
转化
于是，整数指数幂的运算性质可以归结为：
(1) am·an = am+n (m，n是整数)
(2) (am)n = amn (m，n是整数)
(3) (ab)n = anbn (n是整数)
知识点1 负整数指数幂
1.［2025石家庄期末］ 可以表示为( )
D
A. B.
C. D.
返回
2.［2025大连期末］计算 的结果是( )
C
A.27 B. C. D.
返回
3.下列运算结果最大的是( )
B
A. B. C. D.
返回
4.若有意义，则 的取值范围是_______.
返回
5.计算：
（1）［2024重庆中考］ ___;
（2）［2024浙江中考］ ___.
3
7
返回
知识点2 整数指数幂的运算
6.计算： ( )
C
A. B. C. D.
返回
7.下列各式计算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
8.［教材 例1变式］计算：
（1） ;
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
返回
9.若，，则 的值是( )
D
A.5 B.7 C.9 D.11
返回
10.若，，， ，则( )
B
A. B. C. D.
返回
11.（1）若，则 __;
（2）若，，则 _____.
400
返回
12.［教材习题 变式］计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式.
返回
13.（1）比较下列各组数的大小：（填“ ”“ ”或“ ”）
___；___ ；
___；___ .
（2）由（1）猜想与为正整数 的大小关系.
解：当且 为整数时，
;
当且为整数时， .
（3）根据上面的猜想，可知___.（填“ ”“ ”
或“ ”）
返回
课堂小结
负整数指数幂
整数指数幂的运算性质
一般地，当 n 是正整数时，
(1) am·an = am+n (m，n是整数)
(2) (am)n = amn (m，n是整数)
(3) (ab)n = anbn (n是整数)
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