资源简介

(共48张PPT)
人教版（2024）版数学8年级上册
第十三章 三角形
章末复习
本章知识结构图
三角形
三角形的有关概念及分类
与三角形有关的线段
三角形的内角与外角
三角形三边的关系
三角形的中线、角平分线、高
三角形的内角和
三角形的外角
本章作为几何学习的基础，主要围绕三角形的概念、性质、判定及应用展开，构建了平面几何的基本逻辑框架。通过本章复习，需扎实掌握三角形的核心知识点，提升几何推理与计算能力，为后续四边形、圆等几何内容的学习奠定基础。以下是对本章内容的系统梳理与整合。
一、知识框架总览
三角形
├─ 基本概念：定义、顶点、边、角、高、中线、角平分线
├─ 核心性质：三边关系、三角关系、稳定性
├─ 特殊三角形：等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形
│ ├─ 等腰三角形：性质、判定、三线合一
│ └─ 直角三角形：性质、判定、勾股定理及逆定理
├─ 三角形全等：定义、性质、判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）
└─ 应用：角度计算、线段长度计算、证明线段/角相等、实际应用问题
二、核心知识点梳理
（一）三角形的基本概念与要素
1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。记作△ABC，顶点为A、B、C，边为AB、BC、AC，内角为∠A、∠B、∠C。
2. 三角形的重要线段：这三种线段是连接三角形“顶点”与“对边”的关键线段，不仅是图形特征的体现，更是后续推理的重要依据。
高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。任意三角形都有三条高，锐角三角形的高全在内部，直角三角形的两条高与直角边重合，钝角三角形的两条高在外部。
3. 中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于一点（重心），重心将中线分为2:1的两段（顶点到重心:重心到对边中点）。
4. 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边的距离相等。
（二）三角形的基本性质
1. 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。该性质是判断三条线段能否组成三角形的核心依据，同时可用于求线段长度的取值范围。例如：若三角形两边长为3和5，则第三边长x的取值范围是5-3＜x＜5+3，即2＜x＜8。
2. 三角关系：三角形三个内角的和为180°；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。这些性质是角度计算的核心工具，常与角平分线、平行线等知识结合使用。
3. 稳定性：三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。这一特性在生活中应用广泛，如自行车车架、起重机吊臂等均利用了三角形的稳定性。
（三）特殊三角形的性质与判定
1. 等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
2. 性质：两腰相等；两底角相等（“等边对等角”）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（“三线合一”），这是等腰三角形特有的重要性质，常用于证明线段相等、角相等或垂直关系。
3. 判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义法）；有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”）。
4. 等边三角形（特殊的等腰三角形）
定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
5. 性质：三边都相等；三个内角都相等，且每个内角都为60°；任意一条边上的高、中线与该边对角的平分线重合。
6. 判定：三条边都相等的三角形是等边三角形（定义法）；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
7. 直角三角形定义：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形，夹直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。
8. 性质：两个锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理），即若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，则a +b =c ；30°角所对的直角边等于斜边的一半。
9. 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形（定义法）；有两个角互余的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长a、b、c满足a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
（四）三角形全等的性质与判定
1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
2. 全等三角形的性质：对应边相等；对应角相等；对应边上的高、中线、角平分线相等；周长相等，面积相等。
3. 全等三角形的判定定理：这是证明线段相等、角相等的核心依据，需注意“SSA”和“AAA”不能判定三角形全等。
SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
4. SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（注意“夹角”不可替换为“对角”）。
5. ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
6. AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
7. HL（斜边、直角边）：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形）。
8. 全等三角形的证明思路：
已知两边：找夹角（用SAS）、找第三边（用SSS）；若为直角三角形，可找另一条直角边（用HL）。
9. 已知一边一角：若角为夹角，找另一条边（用SAS）；若角为对角，找另一个角（用AAS）或找这条边的另一个邻角（用ASA）。
10. 已知两角：找夹边（用ASA）、找其中一角的对边（用AAS）。
三、易错点与注意事项
1. 三角形三边关系应用时，需注意“任意两边”，不能仅判断一组边的和与差；判断三条线段能否组成三角形，只需验证“最短两边之和大于最长边”即可。
2. 三角形的高可能在三角形外部（钝角三角形），画图时需注意，避免漏画或画错位置。
3. “三线合一”仅适用于等腰三角形，且针对的是“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，不可随意扩展到腰上的线段。
4. 全等三角形判定中，SAS的“夹角”易误写为“任意角”，SSA无法判定全等，需格外注意；HL仅适用于直角三角形，不可用于一般三角形。
5. 利用勾股定理时，需先明确直角三角形的斜边和直角边，避免将直角边当作斜边计算；勾股定理的逆定理是判断直角三角形的重要依据，应用时需验证三边关系。
6. 角度计算时，需灵活运用三角形内角和、外角性质及互余、互补等关系，避免忽略“三角形的一个外角大于与它不相邻的内角”这一隐含条件。
四、典型例题解析
例题1：三角形三边关系应用
已知一个三角形的两边长分别为4和7，求第三边长x的取值范围；若第三边为奇数，求该三角形的周长。
解析：根据三角形三边关系，7-4＜x＜7+4，即3＜x＜11。因为第三边为奇数，所以x可取5、7、9。对应周长分别为4+7+5=16，4+7+7=18，4+7+9=20。故第三边取值范围为3＜x＜11，周长为16或18或20。
例题2：等腰三角形性质与角度计算
等腰三角形的一个内角为70°，求另外两个内角的度数。
解析：等腰三角形的内角分为顶角和底角，需分情况讨论：
1. 若70°为顶角，则底角为(180°-70°)÷2=55°，另外两个内角为55°、55°。
2. 若70°为底角，则顶角为180°-70°×2=40°，另外两个内角为70°、40°。
综上，另外两个内角为55°、55°或70°、40°。（注意：需验证三角形内角和为180°，确保每种情况成立）
例题3：全等三角形证明
如图，已知AB=CD，∠A=∠D，求证：△ABC≌△DCB。
1. 三角形的有关概念.
定义：由不在同一条直线上的三条线段_____________所组成的图形.
首尾顺次相接
顶点
边
三角形的内角：∠ACB
三角形的外角
点A
AB
或 c
∠ACD
三角形的表示方法：_______.
△ABC
2. 三角形的分类
直角
三角形
锐角
三角形
钝角
三角形
三边都不相等的三角形
等腰
三角形
等边
三角形
三角形按角分类
三角形按边分类
3.三角形的三边关系
三角形两边的和___________第三边.
三角形两边的差___________第三边.
三角形是具有___________的图形.
大于
小于
稳定性
4.与三角形有关的线段
三角形的中线：
连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫作三角形的这条边上的中线.
三角形的中线将三角形分成两个__________的三角形.
面积相等
一个三角形有三条中线，这三条中线相交于三角形内一点.
三角形三条中线的交点叫作三角形的________.
重心
4.与三角形有关的线段
三角形的角平分线：
在三角形中，一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点.
4.与三角形有关的线段
三角形的高：
从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，连接顶点和垂足的线段叫作三角形的这条边上的高.
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
F
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
F
锐角三角形的三条高交于三角形______，
直角三角形的高的交点是__________，
钝角三角形的高交于三角形的______ .
内部
直角顶点
外部
5. 三角形的内角和
三角形的内角和等于______.
180°
直角三角形的两个锐角______.
互余
有两个角______的三角形是直角三角形.
互余
直角三角形的性质与判定
6. 三角形外角的有关推论
三角形的外角等于与它______________________.
三角形的外角______任何一个与它不相邻的内角.
三角形的外角和等于______.
不相邻的两个内角的和
大于
360°
1.如图，在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是( )
A
2.将一个三角形分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）
A.都是直角三角形
B.都是钝角三角形
C.都是锐角三角形
D.是一个直角三角形和一个钝角三角形
C
3.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则
下列各式错误的是( )
A.AB =2BF B.∠ACE= ∠ACB
C.AE=BE D.CD⊥BE
A
C
B
F
E
D
C
4.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积是( )
A.3 B.4
C.8 D.12
C
1
1
2
4
5. 如图，CD是AB边上的中线，BE是CD边上的中线，F为DE的中点. 若△ADF的面积为2，则△ABC的面积为（ ）
A.12 B.14
C.16 D.18
C
2
4
4
6. 在探究证明“三角形的内角和是180°”时，某综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
C
过点C作
EF∥AB
延长AC到点F,过点C作CE∥AB
过点C作CD⊥AB于点D
过AB上一点D,作DE∥BC交AC于E,DF∥AC交BC于点F
A. B. C. D.
7.如图,已知l //AB，CD⊥l 于点D. 若∠C=40°,则∠1的度数是
（ ）
A.30° B.40°
C.50° D.60°
C
8.将一副三角板按照如图方式摆放，点C,B,E共线.若∠FEB=63°，则∠EDB的度数为( )
A.12° B.15°
C.18° D.22°
A
63°-45°=18°
30°-18°=12°
9. 如图，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是______________________.
三角形具有稳定性
10. 如图，在△ABC中 ，∠C =46°，∠BAC=80°,△ABC的高AD和角平分线BE交于点F. 求∠AFE的度数.
解：∵∠C=46°，∠BAC=80°，
∴∠ABC=180°-∠C-∠BAC=54°.
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠DBF= ∠ABC=27°.
∵AD是△ABC的高，∴∠BDF=90°，
∴∠BFD=180°-∠BDF-∠DBF=63°，
由对顶角相等，得∠AFE=∠BFD=63°.
11. 如图，在△ABC 中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=75°，求∠DAC的度数.
解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=∠1+∠2=2x.
∵∠BAC=75°，
∴∠2+∠4=180°-75°=105°，
即x+2x=105°，解得x=35°，
∴∠1=35°，
∴∠DAC=∠BAC-∠1=75°-35°=40°.
一、核心考点巩固
考点1 三角形的相关概念
1.如图，以点 为顶点的三角形有( )
A
（第1题）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
返回
2.如图，钝角三角形的个数为( )
D
（第2题）
A.2 B.3 C.4 D.5
返回
3.观察如图所示的图形，回答下列问题：
（第3题）
（1）是 的______；
（2）图中以线段 为边的三角形有________________________；
（3）图中共有___个三角形，它们分别是__________________________
_______________________.
内角
，，
6
，，，，，
返回
4.已知的三边长，， 满足
，则 的形状是______三角形.
等边
返回
考点2 三角形的三边关系
5.［2025深圳罗湖区期末］下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小
棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒
再与另一根小棒首尾顺次相接，能够围成一个三角形的是( )
B
A. B. C. D.
返回
6.如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝放置在数轴上，点， 对应的数分
别为，5，从点， 两处将铁丝弯曲，使首尾两头对接，围成一个三
角形，其中点对应的数为，则点 对应的数可能为( )
A
A.2 B.3 C.4 D.5
返回
7.如图，六根木条钉成一个六边形框架，要使框架稳固且不活动，至少
还需要添加___根木条.
3
（第7题）
返回
考点3 三角形的重要线段
8.如图是三名同学的折纸示意图，则依次是 的( )
C
A.中线、角平分线、高线 B.高线、中线、角平分线
C.角平分线、高线、中线 D.角平分线、中线、高线
返回
（第9题）
9.［2025天津和平区月考］如图，为 三边
中线，，的交点， ，则
阴影部分的面积为( )
A
A. B. C. D.
返回
10.在中，，，是的中线，则 与
的周长之差为( )
C
A.14 B.1 C.2 D.7
返回
11.如图，在中，于点， 是
的平分线， ， .求
和 的度数.
解： ，
.
， .
， ， ，
.
是 的平分线，
.
.
.
返回
考点4 三角形的内角与外角
12.如图，在中， ， ，平分 ，则
的度数是( )
C
（第12题）
A. B. C. D.
返回
13.体育课上的侧压腿动作（图①）可以抽象为几何图形（图②），如
果 ，则 等于( )
C
（第13题）
A. B. C. D.
返回
14.如图，在中， ， ，
则 是( )
C
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
返回
15.［2025石家庄调研］如图，将三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开
后得到①②两个三角形纸片，则下列结论一定正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
16.任意三角形的外角和等于______.
返回
17.如图，在中，，是 边上的高，则
的度数为____ .
54
返回
18.［2025杭州期末］如图，点在上，点在上，， 相交于
点 .
（1）若 ， ， ，求 的度数；
解： ， ，
，
.
（2）试猜想与 之间的数量关系，并证明你的猜想.
解：猜想: .
证明：， ，
.
返回
二、思想方法演练
思想1 方程思想
19.如图，平分，.若 ，
，求 的度数.
解：设，则 .
平分， .
，
.
.
.
在中， ,
,解得 . ,即 .
返回
思想2 分类讨论思想
20.如图，是的角平分线，是的高， ，
，点为边上一点，当为直角三角形时，
的度数为___________.
或
（第20题）
返回
思想3 整体思想
21.如图， ______.
（第21题）
返回
谢谢观看！

展开更多......

收起↑