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人教版（2024）版数学8年级上册
第十五章 轴对称
章末复习
知识框架
生活中的轴对称
轴对称
等腰三角形
等边三角形
作对称轴
画轴对称的图形
关于坐标轴对称的点的坐标的关系
轴对称是平面几何中研究图形对称性的核心内容，不仅揭示了图形的直观特征，更是解决线段最值、角度计算、等腰三角形相关问题的重要工具，同时为后续学习旋转、中心对称等知识奠定基础。本章复习旨在深化对轴对称概念、性质的理解，熟练掌握等腰三角形、等边三角形的轴对称性质及应用，提升利用图形对称性解决几何问题的能力。以下是对本章内容的全面梳理与整合。
一、知识框架总览
轴对称
├─ 基本概念：轴对称图形、两个图形成轴对称、对称轴、对应点
├─ 核心性质：对称轴垂直平分对应点连线、对应线段相等、对应角相等
├─ 图形的轴对称：线段的垂直平分线（性质与判定）、角的平分线（轴对称性质）
├─ 特殊三角形的轴对称：等腰三角形（性质、判定）、等边三角形（性质、判定）
├─ 轴对称作图：作一个图形的轴对称图形、利用轴对称设计图案
└─ 应用：解决线段最值问题、证明线段/角相等、实际应用（如最短路径）
二、核心知识点梳理
（一）轴对称的基本概念
1. 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。例如：等腰三角形、矩形、圆等都是轴对称图形，其中圆有无数条对称轴。
2. 两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（简称轴对称），这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点。
3. 概念辨析：“轴对称图形”是针对一个图形而言，体现图形自身的对称性；“两个图形成轴对称”是针对两个图形而言，体现图形之间的位置关系。二者的核心联系是：如果把成轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
（二）轴对称的性质
轴对称的性质是利用对称性解决问题的核心依据，主要包括以下几点：
1. 对称轴是一条直线，并且垂直平分任意一组对应点所连的线段。这是轴对称最核心的性质，可用于证明线段垂直、相等及中点问题。
2. 成轴对称的两个图形的对应线段相等、对应角相等。即折叠后能够重合的线段和角必然相等，这是证明线段和角相等的重要途径。
3. 成轴对称的两个图形全等。因为折叠后能够完全重合，所以图形的形状和大小保持不变，但位置可能不同。
4. 成轴对称的两个图形中，对应线段或其延长线的交点在对称轴上。若对应线段不平行，则它们的交点一定在对称轴上，可用于确定对称轴的位置。
（三）线段的垂直平分线
线段的垂直平分线是轴对称性质的重要体现，其性质与判定是解决线段关系问题的关键工具。
1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。线段的垂直平分线是线段的一条对称轴。
2. 性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。例如，若直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，则PA=PB。该性质可直接用于证明线段相等。
3. 判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。例如，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。该定理可用于证明点在直线上或确定线段垂直平分线的位置。
4. 推论：三角形三边的垂直平分线相交于一点（外心），该点到三角形三个顶点的距离相等。外心的位置：锐角三角形在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部。
（四）角的平分线与轴对称
角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，结合轴对称性质可得出角平分线的核心性质：
1. 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。例如，若OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE。该性质是证明线段相等的常用依据，尤其适用于与角相关的距离问题。
2. 角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。例如，若点P在∠AOB内部，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上。
3. 推论：三角形三个内角的平分线相交于一点（内心），该点到三角形三边的距离相等。内心一定在三角形内部，是三角形内切圆的圆心。
（五）等腰三角形的轴对称性质
等腰三角形是典型的轴对称图形，其对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线，这一对称性决定了它的核心性质。
1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
2. 性质：
等腰三角形的两腰相等（定义本身）；
3. 等腰三角形的两底角相等（“等边对等角”），这是角的关系的核心性质；
4. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（“三线合一”），这是等腰三角形特有的性质，可同时证明线段相等、角相等和垂直关系，应用广泛。
5. 判定：
有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义法）；
6. 有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”），这是判定等腰三角形的常用方法，无需先确定边相等。
（六）等边三角形的轴对称性质
等边三角形是特殊的等腰三角形（三边都相等），因此具有更强的对称性，它有三条对称轴，分别是各内角平分线（或各边中线、各边高）所在的直线。
1. 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。
2. 性质：
三边都相等；
3. 三个内角都相等，且每个内角都等于60°；
4. 任意一条边上的中线、高和该边对角的平分线相互重合（“三线合一”），且三条线长度相等；
5. 等边三角形的外心、内心、重心、垂心重合于一点（中心）。
6. 判定：
三条边都相等的三角形是等边三角形（定义法）；
7. 三个角都相等的三角形是等边三角形；
8. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，这是判定等边三角形的便捷方法，无需验证三边相等。
（七）轴对称作图与应用
1. 轴对称作图步骤：
确定原图形的关键点（如顶点、端点等）；
2. 分别作出各关键点关于对称轴的对应点（作关键点到对称轴的垂线，延长垂线使对称轴为垂足与对应点的中点）；
3. 顺次连接各对应点，得到原图形的轴对称图形。
4. 核心应用：最短路径问题：
“将军饮马”模型：如图，在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小。解决方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B与直线l的交点即为所求点P，此时PA+PB=A'B（两点之间线段最短）。
5. 本质：利用轴对称将折线转化为直线，借助“两点之间线段最短”或“垂线段最短”解决最值问题。
三、易错点与注意事项
1. 轴对称概念混淆：混淆“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”的区别，前者是一个图形的特性，后者是两个图形的位置关系，需结合具体实例明确区分。
2. 线段垂直平分线性质应用误区：忽略“点在垂直平分线上”这一前提，直接得出线段相等；或判定时，仅证明点到线段一个端点的距离相等，就认为点在垂直平分线上，需牢记“到两个端点距离相等”的条件。
3. 等腰三角形“三线合一”适用范围错误：“三线合一”仅适用于等腰三角形的“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，不可随意扩展到腰上的线段。例如，等腰三角形一腰上的中线与该腰上的高不一定重合。
4. 等腰三角形分类讨论遗漏：涉及等腰三角形的角度计算、边长求解时，未考虑“顶角与底角”“腰与底边”的不同情况，导致漏解。例如，等腰三角形一个内角为30°，需分30°为顶角和底角两种情况计算。
5. 等边三角形判定条件模糊：误认为“有一个角是60°的三角形是等边三角形”，忽略前提条件“等腰三角形”；或未明确“三个角都相等”需每个角为60°，而非仅两个角相等。
6. 最短路径问题作图错误：未正确作出对称点，或连接对称点后未与对称轴相交确定最值点，需牢记“轴对称转化折线为直线”的核心思路。
四、典型例题解析
例题1：轴对称图形的识别与对称轴确定
下列图形中，是轴对称图形的有哪些？并指出每个轴对称图形的对称轴条数。（1）平行四边形；（2）矩形；（3）等边三角形；（4）扇形；（5）正五边形。
知识梳理
知识点1 轴对称的概念与性质
1. 轴对称：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够__________，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的________. 折叠后重合的点是对应点，叫作________.
互相重合
对称轴
注意：对称轴要用_____线表示.
虚
对称点
2. 成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形______，那么就说这两个图形关于这条直线__________.
重合
成轴对称
知识点1 轴对称的概念与性质
3. 轴对称与成轴对称：
区别 联系
轴对称图形 一个图形本身的特性 对称点在 同一个图形上
两个图形成轴对称 两个图形的位置关系 对称点分别在两个图形上 轴对称图形
两个图形关于 对称轴成轴对称
对称部分看成两个图形
看成一个整体
4. 轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴 ________.
垂直平分
举一反三训练
1. 传统文化瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一. 下面的瓷器纹饰图案不是轴对称图形的是（ ）
C
A.
B.
C.
D.
举一反三训练
2. 如图，等边三角形ABC的边长为 1，D，E 分别是 AB，AC 上的点，将△ADE 沿直线 DE 折叠，使点 A 落在点 A′ 处，且点 A′ 在△ABC 的外部，则阴影部分的图形的周长之和为______.
3
解析：由折叠的性质可得 AD = A′D，AE = A′E，
∴ 阴影部分的图形的周长之和为：
BD + A′D + BC + A′E + CE
= BD + AD + BC + AE + CE
= AB + BC + AC = 1 + 1 + 1 = 3.
知识点2 互逆命题与互逆定理
1. 互逆命题：两个命题的题设、结论正好______.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的________.
相反
逆命题
2. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是________，那么它也是一个定理，这两个定理叫作________，其中一个定理叫作另一个定理的______.
真命题
注意：原命题成立时，它的逆命题_________________________.
可能成立，也可能不成立
互逆定理
逆定理
知识点3 线段的垂直平分线
1. 定义：经过线段______并且______于这条线段的______，叫作这条线段的垂直平分线.
中点
垂直
直线
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______.
相等
3. 判定：与线段两个端点__________的点在这条线段的垂直平分线上.
距离相等
知识点3 线段的垂直平分线
4. 作法：
A
B
(1) 分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点；
(2) 作直线 CD.
CD 就是线段 AB 的垂直平分线.
C
D
也可以用这种方法确定线段的中点
中点
知识点3 线段的垂直平分线
5. 经过已知直线外一点作这条直线的垂线：
A
B
C
(1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E；
E
D
(2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F；
(3)作直线 CF.
F
举一反三训练
1. 如图，在△ABC 中，AB 和 AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D，E，且点 D 在点 E 的左侧. 若BC = 6，则△ADE 的周长是（ ）
D
A. 3 B. 12
C. 9 D. 6
举一反三训练
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，在 BC 的下方作∠CBM =∠ABC. 请根据要求完成以下任务：
(1)利用直尺与圆规，作 BC 的垂直平分线 DE，垂足为 E，交 BM 于点 D（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若 AB = 6，求 BD 的长.
A
B
C
M
E
D
解：(1)如图所示.
举一反三训练
A
B
C
M
解：(2) ∵ AB = AC，
∴ BC 的垂直平分线过点 A.
E
D
∴ △BED≌△BEA(ASA).
∴ BD = AB = 6.
∠DBE =∠ABE ，
BE = BE，
∠DEB = ∠AEB ，
在△BED 和△BEA 中，
知识点4 与轴对称有关的作图
1. 作对称轴：找出图形中的任意一对________后连接，作出所连线段的____________，该直线即成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴.
对称点
垂直平分线
2. 画轴对称的图形：画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的_______，按顺序连接这些_______，就可以得到与原图形成轴对称的图形.
对称点
对称点
知识点4 与轴对称有关的作图
3. 用坐标表示轴对称：
点(x，y)关于 x 轴对称的点的坐标为(___，___)；
x –y
–x y
点(x，y)关于 y 轴对称的点的坐标为(___，___).
举一反三训练
1. 如图，将已知图形分别在格点图中补成关于已知直线 l 对称的图形.
①
②
③
④
l
l
l
l
举一反三训练
2. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上.
(1)作出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1 三个顶点的坐标(不写作法，点A，B，C 的对应点分别为点A1，B1，C1)；
(2)求△ABC 的面积；
1
1
2
3
4
2
3
–1
–2
–3
–4
–1
–2
–3
5
–5
–4
–5
4
5
O
x
y
A
C
B
(3)在 x 轴上画出点 P，使 PA + PC 最小.
1
1
2
3
4
2
3
–1
–2
–3
–4
–1
–2
–3
5
–5
–4
–5
4
5
O
x
y
A
C
B
举一反三训练
解：(1) △A1B1C1 如图.
A1 (–1，2)，B1 (–3，1)，C1 (–4，3)．
A1
C1
B1
(2) S△ABC =
(3) 点 P 如图所示.
A2
P
知识点5 等腰三角形的性质和判定
1. 性质：
等腰三角形的两个_____相等——“__________”；
等腰三角形底边上的______、 ____及__________重合 ——“__________”.
底角
等边对等角
中线
三线合一
高
顶角平分线
2. 判定：有____________的三角形是等腰三角形
——“____________”.
两个角相等
等角对等边
举一反三训练
1. 如图，在△ABC 中，AC = BC，点 D 和点 E 分别在 AB 和 AC 上，且 AD = AE，连接 DE，过点 A 的直线 GH 与 DE 平行. 若∠C = 40°，则∠GAD =_____°.
55
一、核心考点巩固
考点1 轴对称图形与轴对称
1.［2024重庆中考］下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是
( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.［教材探究变式］如图，与
关于直线对称，为 上任一点
（不与， 共线），下列结论中错误的是
( )
D
A. 是等腰三角形
B.垂直平分
C.与 的面积相等
D.直线，的交点不一定在 上
返回
考点2 线段的垂直平分线的性质与判定
（第3题）
3.如图，在中， ， 垂直平分
交于点，若的周长为 ，则
( )
C
A. B. C. D.
返回
4.如图，在 中，根据尺规作图的痕迹，下列判断不一定正确的是
( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
5.如图，在中， ， 平分
，于点，连接 .
（1）若 ，求 的度数；
解：平分， ，
.
， ，
.
（2）求证：直线是线段 的垂直平分线.
证明：， ，
.
平分， .
又， .
， 点，点在线段的垂直平分线上， 直线
是线段 的垂直平分线.
返回
考点3 逆命题与逆定理
6.下列各命题的逆命题是真命题的是( )
A
A.等边三角形的三个内角都相等 B.若两直线垂直，则两直线有交点
C.若，，则 D.无理数是无限小数
返回
7.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是____________________
_______________.
有两个角相等的三角形是等腰三角形
返回
考点4 用坐标表示轴对称
8.［2025天津河北区月考］已知点和点 关于
轴对称，则与 的值分别是( )
D
A.2，1 B.1，2 C.1， D. ，1
返回
9. 剪纸是我国民间艺术之一.如图，蝴蝶剪纸是一个轴对
称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为 ，与其
关于轴对称的点的坐标为，则 的值为___.
1
返回
考点5 等腰三角形的性质与判定
10. 如图是跷跷板示意图，支柱与地面垂直，点 是
的中点，绕着点上下转动.若端落地时， ，则跷
跷板上下可转动的最大角度（即 ）是( )
C
A. B. C. D.
返回
11.［2024云南中考］已知是等腰三角形底边上的高，若点
到直线的距离为3，则点到直线 的距离为( )
C
A. B.2 C.3 D.
返回
12.如图，在下列三角形中，若 ，则能被一条直线分成两个小等
腰三角形的是( )
D
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
返回
13.［2024陕西中考］如图，已知直线和外一点 ，请用尺规作图法，
求作一个等腰直角三角形，使得顶点和顶点都在直线 上.
（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
解：等腰直角三角形 如图所示.
（答案不唯一）
返回
解：可以选择填写：（或①④或②③或 ）
下面以①③为例证明：，， ，
.
是等腰三角形.
14. 如图，与交于点 ，连接
，，.有下列四个条件： ；
；； .请从
已知： _______________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_______________________.（填序号）
求证： 是等腰三角形.
中选出两个作为已知条件，得出 是等腰三角形（写出一种即可），
并加以证明.
返回
考点6 等边三角形的性质与判定
（第15题）
15.如图，太阳光线平行照射在放置于地面的等
边三角形上，若 ，则 的度数为
( )
B
A. B. C. D.
（第16题）
16.如图，是等边三角形，为中线，为 上
一点，且，则 的度数是( )
A
A. B. C. D.
返回
17. 如图，一艘轮船由海平面上 地出
发向南偏西 的方向行驶100海里到达地，再由
地向北偏西 的方向行驶100海里到地，则，
两地相距( )
A
A.100海里 B.80海里 C.70海里 D.60海里
返回
18.［2024长沙中考］如图，点在线段上，， ，
.
（1）求证： ；
证明：在与中，
.
（2）若 ，求 的度数.
解：， ， ，
，是等边三角形， .
返回
考点7 含 角的直角三角形的性质
（第19题）
19.［2025温州月考］如图是某车库出入口的栏
杆，栏杆绕点 旋转，记旋转角
.若 ，
，则栏杆 端从栏杆水平位置上升的
垂直距离为__ .
（第20题）
20.如图，在中， ，
，于点，若 ，则
___.
6
返回
二、思想方法演练
思想1 方程思想
21.如图，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与 重合，
再展开.若，则 的度数为_____.
返回
思想2 分类讨论思想
22.在中，的垂直平分线分别交，于点，， 的垂
直平分线分别交，于点，.若，，则 的
周长为( )
D
A.8 B.10 C.14 D.10或14
返回
23. 如图，在 中，
，，为 的中点，已
知点在线段上由点出发向终点运动，同时点
在线段上由点出发向终点 运动，设运动时间为
.
（1）若点的速度是，则线段____， _________
；（用含 的式子表示）
（2）若点的速度是，点的速度是，且 和
恰好全等，求出相对应的和 的值.
解：, ,
有两种情况：当时，， .
,
, .
,为 的中点，
，, .
当时，,， ,
,, .
综上，,或, .
返回
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