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例1. （07河北）如图13，已知二次函数的图像经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．
例2.(08河北) 如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点的另一点，使得
与的面积相等，请直接写出点的坐标．
例3．(09河北) 已知抛物线经过点和点P?（t，0），且t?≠?0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，
请通过观察图象，指出此时y的最小值，
并写出t的值；
（2）若，求a、b的值，并指出此时抛
物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．
练习:
1. 如图，直线：与直线：相交于点．
（1）求的值；
（2）不解关于的方程组请你直接写出它的解；
（3）直线：是否也经过点？请说明理由．
(4)直接写出不等式的解集。
2. 如图，直线的解析表达式为，且与x轴交于点B（－1，0），与y轴交于点D．l与y轴的交点为C（0，－2），直线l、l相交于点A，结合图像解答下列问题：
（1）求△ADC的面积；
（2）求直线l表示的一次函数的解析式；
（3）当x为何值时，l、l表示的两个函数的函数值都大于0．
（4）在 轴上是否存在一点P，使与△ADC 面积相等？
若存在，直接写出其坐标；若不存在，说明理由。
3.如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D，
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求的值；
（3）求的面积．
4. 已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．
5. 某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）
请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；
（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；
（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）

6.已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中。
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）函数有最 （大，小）值，是 。
（3）方程有解，则c的取值范围是 。
（4）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．
7. 如图，直线AB与反比例函数图象交于A（—2，1）、
B（1，）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线AB的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
8.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x(元)
15
20
30
…
y(件)
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数.
（1）求出日销售量y（件）与销售价x(元)的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
参考答案：
例1. 解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入得
解得
∴二次函数的表达式为．
（2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）．
（3）将（m，m）代入，得 ，
解得．∵m＞0，∴不合题意，舍去．
∴?m=6．
∵点P与点Q关于对称轴对称，
∴点Q到x轴的距离为6．
例2. 解：（1）由，令，得．．．
（2）设直线的解析表达式为，由图象知：，；，．
直线的解析表达式为．
（3）由解得．
，．
（4）．
例3. 解：（1）－3．
t =－6．
（2）分别将（－4，0）和（－3，－3）代入，得

解得
向上．
（3）－1
练习：1. 解：（1）∵在直线上，
∴当时，．
（2）解是
（3）直线也经过点
∵点在直线上，
∴，∴,这说明直线也经过点．
2. （1）点D坐标是（0，1）；DC=3,所以△ADC的面积是：
（2）
（3） E点坐标是:()，所以 时，两个函数的函数值都大于0．
（4）存在；（2，0）或（-2，0）。
3.（1）由，解得，所以　
（2），．
在△OCD中，，，
∴．
（3）
4.
5. 解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）．
答：销售量为4万升时销售利润为4万元．
（2）点的坐标为，从13日到15日利润为（万元），
所以销售量为（万升），所以点的坐标为．
设线段所对应的函数关系式为，则解得
线段所对应的函数关系式为．
从15日到31日销售5万升，利润为（万元）．
本月销售该油品的利润为（万元），所以点的坐标为．
设线段所对应的函数关系式为，则解得
所以线段所对应的函数关系式为．
（3）线段．
6. 解：（1）由题意得 解得
∴此抛物线的解析式为
（2）小； （3） ，
（4）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.
设直线的表达式为
则 解得
∴此直线的表达式为把代入得
∴点的坐标为
7. （1） （2） （3）
（4）
8. （1）设此一次函数解析式为
则，解得：k=1,b=40,
即：一次函数解析式为
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元
w =
=
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元
测试题
1. 已知：直线l1的解析式为y1=x+1，直线l2的解析式为y2=ax+b(a≠0)；两条直线如图所示，这两个图像的交点在y轴上，直线l2与x轴的交点B的坐标为（2，0）。
求a，b的值；
求使得y1、y2的值都大于零的x的取值范围；
求这两条直线与x轴所形成的△ABC面积是多少？
在直线AC上是否存在异于点C的另一点P，使得△ABC与△ABP的面积相等，请直接写出点P的坐标。
2. 一次函数的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点．
（1）点Ｃ坐标是　　　　　　　；点Ｄ坐标是　　　　　　　　　．
（２）求该函数的解析式；
（2）求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．
３．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点．过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、．如果四边形是正方形，求一次函数的关系式．

４．在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发（h）时，汽车与甲地的距离为（km），与的函数关系如图所示．
根据图象信息，解答下列问题：
（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；
（2）求返程中与之间的函数表达式；
（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．
５．如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为.
（1）直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交x轴于点，设点的横坐标为；
用含的代数式表示线段的长，
是否存在点P使四边形为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
6.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.（4分）
检测答案：
1.（1） (2)
(3) (4) 有，P（-2，-1）。
2.解：（1）(1,0); (1,2).
(2)将点A、B的坐标代入y＝kx＋b并计算得k＝， b＝4．
∴解析式为：y＝－2x＋4；
（3）设点C关于点O的对称点为C′，连接DC′，交OB于点P．
∴PC＋PD＝PC′＋PD≥C′D，即C′、P、D共线时，PC＋PD的最小值是C′D．
连接CD，在Rt△DCC′中，C′D＝＝2；
易得点P坐标为（0，1）．
（亦可作Rt△AOB关于y轴对称的△）
3. 解：因为四边形OBAC是正方形，所以可设点A坐标
为（a,a）. 又（a,a）在双曲线上，所以有,
, （-3舍去）。
所以点A坐标是（3，3）。把（3，3）代入 得k= , 一次函数的关系式是：
4.解：（1）不同．理由如下：
往、返距离相等，去时用了2小时，而返回时用了2.5小时，
往、返速度不同． （2分）
（2）设返程中与之间的表达式为，
则
解之，得 （5分）
．（）（评卷时，自变量的取值范围不作要求） （6分）
（3）当时，汽车在返程中，
．
这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离为48km． （8分）
5. 解：（1）A（-2，0），B（4，0），C（0，8）． 3分
抛物线的对称轴是：x=1． 4分
（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．
把B（4，0），C（0，8）分别代入得：
解得：k= -2，b=8．
所以直线BC的函数关系式为：．
当时，，
∴PF=． 6分
②当x=1时，y= -2+8=6， ∴E（1，6）．
在中，当时，　
∴ 所以DE=3 9分
∵
∴当时，四边形为平行四边形．
由解得：，当时，．
因此，存在点P使四边形为平行四边形，此时点P坐标为（2.5，3）． 10分
6. （1）将N（1，4）代入中 得k=4
反比例函数的解析式为
将M（2，m）代入解析式中 得m=2，
将M（2，2），N（1，4）代入中
解得a=2 b=-2
一次函数的解析式为
（2）由图象可知：当x＜1或0＜x＜2时反比例函数的值大于一次函数的值

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