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湖南省新高考教学教研联盟2026届高三年级12月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.为虚数单位的虚部为( )
A. B. C. D.
3.若角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知向量与的夹角为，，，则( )
A. B. C. D.
6.晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图是该建筑的剖面画图圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”现使用图简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线，有相同的渐近线，焦点分别在轴、轴上，离心率分别为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若，，使得，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点与点关于点对称，若，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则，，，这组数满足( )
A. 平均数为 B. 中位数为 C. 方差为 D. 极差为
10.在正方体中，点，分别为棱，的中点，则( )
A. B. 平面
C. 平面 D.
11.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，曲线交于点，，若，则( )
A. B.
C. 面积的最小值为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.在正项等比数列中，若，，则 ．
14.已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，A.
求
若的角平分线交边于点，，，求的周长．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，且，，，，是的中点若四棱锥有外接球．
求四棱锥外接球的体积
求二面角的余弦值．
17.本小题分
将编号为，，，的小球随机放入编号为，，，的盒子，每个盒子里仅放一个小球，设编号为的盒子里小球的编号为，若，则称该小球为“配球”．
当时，求“配球”个数的分布列和期望．
已知：若随机变量服从两点分布，且，，，，，，则．
(ⅰ)求“配球”个数的期望．
(ⅱ)若满足：当时，当时，当时，，且，则称该小球为“顶球”，求“顶球”个数的期望．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，短轴长为，正的三边分别与相切于，，三点，为坐标原点．
求椭圆的方程
若直线的斜率不存在，求的中心坐标
求证：点不是的中心．
19.本小题分
已知函数
若，求证：
若数列满足，前项和为，求证：
若等差数列的公差，前项和为，，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由正弦定理，，
因，故，
所以，
由于，，两边除以得：
利用二倍角公式，代入得：
，
整理为关于的二次方程：
，
设，因，故，解方程得舍去负根，
因此，得，即；
已知是的角平分线，，故，，，
，
所以，
左边：，右边：，
故：，
由余弦定理：，即，
由解得，
因此的周长为：
．
16.解：因为平面，、平面，所以、，
而，因此、、两两垂直，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系如下图：
因为，，，，且设，
所以、、、，而是的中点，因此．
因为四棱锥有外接球，所以设四棱锥的外接球球心为，
因此四棱锥的外接球半径．
由得：，结合解得：
因此四棱锥的外接球半径，
所以四棱锥外接球的体积为．
在的坐标系下，由知：，
因此、、．
设平面的法向量为，则由得：
取得：，，因此是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，则由得：
取得：，，因此是平面的一个法向量．
设二面角的大小为，则由图知：为锐角，
因此，
即二面角的余弦值为．
17.解：当时，小球放入盒子的全排列数为种，
设“配球”个数为，的可能取值为。
：无配球即，此时的排列为、，所以．
：恰个配球，即恰好一个满足，此时排列是，，，所以．
：所有小球都是“配球”，即对所有成立，此时排列仅一种，所以．
的分布列为：
期望．
对于一般的，定义随机变量，其中如果第个球是“配球”，即，否则．
那么，“配球”个数可以表示为：．
因为每个球被放入任意一个盒子的概率是相等的，所以，．
所以，
因为，所以．
(ⅱ)定义随机变量，其中如果第个球是“顶球”，否则．
那么，“顶球”个数可以表示为：，
对于，第个球是“顶球”当且仅当，
因为和是从，，，中随机选取的不同的数，的概率是；
对于，第个球是“顶球”当且仅当同样，的概率是；
对于，第个球是“顶球”当且仅当且．
因为，，和是从，，，中随机选取的不同的数，是其中最大的数的概率是．
所以，，对于，
根据期望的线性性质，
．
18.解：由题意得，椭圆的离心率，短轴长，故，
根据椭圆的基本关系，代入，得：
，
化简得，解得，
因此，椭圆的方程为：
；
直线斜率不存在，故设其方程为，
由于是椭圆的切线，代入椭圆方程得，相切时，故，取，对称情况同理，
正三角形的另外两边与成角，由夹角公式得斜率，
设斜率为的切线方程为，相切条件，故；
同理斜率为的切线方程为，
取、，两条切线方程为：
与交于；
与交于；
与交于联立方程解得，
正三角形的重心坐标为三顶点坐标的平均值：
同理，当时，中心坐标为；
用反证法证明：假设点是的中心重心，则重心坐标为，
故，即，，
由于、、是椭圆切线的交点，满足切线条件：
在切线、上，故，，
在切线、上，故，，
将，代入在上的条件：
，
展开得：，
由于、均在上，上式化为，矛盾，
故假设不成立，点不是的中心．
19.解：由题，
，
因为，所以，故，
即，
又，即证．
由知，
，
，，
，
，
．
为等差数列，
，
同理可得，，，，
，
令，
，
，
，，
在上单调递增，则方程有且仅有一个解，，．

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